2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第4章第3节第2课时　简单的三角恒等变换

第2课时　简单的三角恒等变换

考点1　三角函数式的化简

　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2．三角函数式化简的方法

(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

　(1)化简：＝________．

(2)已知cos(θ＋)＝，θ∈(0，)，则sin(2θ－)＝________．

(3)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin(α＋)＝________．

(1)cos 2x　(2)　(3)－　[(1)原式＝

＝

＝＝＝cos 2x.

(2)由题意可得，cos2(θ＋)＝＝，cos(2θ＋)＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.

因为cos(θ＋)＝＞0，θ∈(0，)，

所以0＜θ＜，2θ∈(0，)，

根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，

由两角差的正弦公式，可得

sin(2θ－)＝sin 2θcos －cos 2θsin

＝×－×＝.

(3)由已知可得tan(α＋)＝－2，

∵α为第二象限角，

∴sin(α＋)＝，cos(α＋)＝－，

则sin(α＋)＝－sin(α－)

＝－sin[(α＋)－]

＝cos(α＋)sin －sin(α＋)cos ＝－.]

　(1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．

(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用．

考点2　三角函数的求值

　给角求值

　[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________．

　[原式＝(2sin 50°＋sin 10°·)·sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]

＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.]

　该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．

　给值求值

　(1)(2019·益阳模拟)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)＝________．

(2)已知cos(＋α)＝，＜α＜，则的值为________．

(1)－　(2)－　[(1)由cos(α－)＋sin α＝，

可得cos α＋ sin α＋sin α＝，

即sin α＋cos α＝，

所以sin(α＋)＝，

即sin(α＋)＝，

所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－.

(2)＝

＝

＝sin 2α＝sin 2α·tan(＋α)．

由＜α＜得＜α＋＜2π，

又cos(＋α)＝，

所以sin(＋α)＝－，tan(＋α)＝－.

cos α＝cos[(＋α)－]＝－，sin α＝－，

sin 2α＝.

所以＝×(－)＝－.]

　(1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．

(2)注意(＋x)与(－x)互余，sin 2(＋x)＝cos 2x，cos 2(－x)＝sin 2x的灵活应用．

　给值求角

　(1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)

A.　　　 B.

C.   D.或

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．

(1)C　(2)－π　[(1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，

∴cos α＝－，sin β＝，

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.

又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(，2π)，

∴α＋β＝.

(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]

＝＝＝＞0，

∴0＜α＜.

又∵tan 2α＝＝＝＞0，

∴0＜2α＜，

∴tan(2α－β)＝＝＝1.

∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，

∴2α－β＝－.]

　通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

(1)已知正切函数值，则选正切函数．

(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是(0，)，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为(－，)，则选正弦较好．

提醒：求解此类问题时，一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围．

　1.(2019·安徽六安二模)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是(　　)

A.   B.

C.或   D.或

A　[因为α∈[，π]，且0＜sin 2α＝＜，所以2α∈(，π)，

所以α∈(，)，cos 2α＝－＝－.

因为β∈[π，]，所以β－α∈(，)，

又sin(β－α)＝＞0，所以β－α∈(，π)，

所以cos(β－α)＝－＝－.

所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]

＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)

＝－×(－)－×＝.

又α∈(，)，β∈[π，]，所以α＋β∈(，2π)，所以α＋β＝.故选A.]

2．已知α∈(0，)，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________．

　[∵α∈(0，)，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，

则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，

又∵α∈(0，)，sin α＋cos α＞0，

∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，

∴cos α＝，sin α＝，

∴

＝＝＝.]

3.的值是________．

2　[原式＝＝＝＝2.]

考点3　三角恒等变换的综合应用

　三角恒等变换的应用策略

(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．

(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．

　(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sin x，x∈R.

(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；

(2)求函数y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2的值域．

[解]　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，

所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，

即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，

故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.

又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.

(2)y＝[f(x＋)]2＋[f(x＋)]2

＝sin2(x＋)＋sin2(x＋)

＝＋

＝1－(cos 2x－sin 2x)

＝1－cos(2x＋)．

因此，所求函数的值域是[1－，1＋]．

　(1)求三角函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)时要注意φ的取值范围．(2)根据二倍角公式进行计算时，如果涉及开方，则要注意开方后三角函数值的符号．

　已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．

(1)求f()的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

[解]　(1)由sin＝，cos ＝－，得

f()＝()2－(－)2－2××(－)＝2.

(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，

得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin(2x＋)．

所以f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质，得

＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).