2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章第3节　函数的奇偶性与周期性

第三节　函数的奇偶性与周期性
[最新考纲]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性．


1．函数的奇偶性

偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．函数奇偶性的三个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (　　)
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．
(　　)
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (　　)
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数． (　　)
[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材改编
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x　　　　 B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
B　[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.
－2　[f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]
3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
1　[f＝f＝－4×＋2＝1.]
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

(－2,0)∪(2,5]　[由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；
当2＜x≤5时，f(x)＜0，
又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]

考点1　判断函数的奇偶性
　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：

(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称．
(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝＋；
②f(x)＝；
③f(x)＝
(1)C　[令F1(x)＝f(x)·g(x)，
则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)
＝－F1(x)，
∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误．
令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)
＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．
令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．
令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．]
(2)[解]　①由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
②由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
　判断函数的奇偶性，其中包括2个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
　1.(2019·福州模拟)下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝tan　　　　　B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x
B　[对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcos x，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B.]
2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
D　[∵f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]
考点2　函数奇偶性的应用
　利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式．由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值．
　利用奇偶性求参数的值
　[一题多解]若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．
　[法一：(定义法)因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝.
法二：(特值法)因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，经检验，当a＝时，函数f(x)为偶函数．]
　已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得参数后，一定要注意验证．
　利用函数的奇偶性求值
(1)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(　　)
A．－ B.
C．2 D．－2
(2)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
(3)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
(1)B　(2)C　(3)－3　[(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－)＝f()，又当x＞0时，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，
即f(－)＝.
(2)f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
(3)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，
∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，
则f(ln 2)＝e－aln 2＝8，
∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.
法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f＝－(－ealn )＝8，∴aln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.]
　利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值．
　求函数解析式
　函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________．
f(x)＝　[当x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
又y＝f(x)的定义域为R且为奇函数，
∴f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝]
　不要忽视x＝0时的解析式．
　1.若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
±1　[若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
化简得(k2－1)(22x＋1)＝0，
即k2－1＝0，
解得k＝±1.]
2．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
3　[f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2，①
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4，②
由①②得，2g(1)＝6，
即g(1)＝3.]
3．(2019·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.
0　[设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．
又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]
考点3　函数的周期性及其应用
　函数周期性的判定与应用
判定
判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题
应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期
(1)(2019·贵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝(　　)
A．5 B.
C．2 D．－2
(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
(1)D　(2)　[(1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos ＝.]
　利用周期性将所求值转化到已知区间上的函数值．
　设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝则f＝________.
　[由题意可得f＝f＝f＝4×2－2＝，f＝.]