2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第6章经典微课堂规范答题系列2：高考中的数列问题
展开[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，数列解答题常以an，Sn的关系为切入点，以等差(等比)数列基础知识为依托，重点考查等差(等比)数列的判定与证明，考查数列的通项及前n项和的求法(以分组求和、裂项求和为主)，考查函数与方程的思想及逻辑推理、数学运算的核心素养，且难度有所提升．
[典例示范] (本题满分12分)(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28①.记bn＝[lg an]②，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和③.
[信息提取] 看到①想到等差数列的求和公式；
看到②想到等差数列的通项公式及对数的运算性质；
看到③想到数列的常见求和方法．
[规范解答](1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，
所以a4＝4，……………………………………………………2分
所以d＝＝1，……………………………………………4分
所以an＝a1＋(n－1)d＝n. ………………………………………5分
所以b1＝[lg a1]＝[lg 1]＝0，b11＝[lg a11]＝[lg 11]＝1，b101＝[lg a101]＝[lg 101]＝2. …………………………………………………6分
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1 000]，
当0≤lg an＜1时，n＝1,2，…，9；…………………………7分
当1≤lg an＜2时，n＝10,11，…，99；………………………9分
当2≤lg an＜3时n＝100,101，…，999；……………………11分
当lg an＝3时，n＝1 000，
所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893. …………12分
[易错防范]
易错点 | 防范措施 |
对[lg an]认识错误 | 先结合题设条件理解[x]，再结合对数的运算性质求出b1，b11，b101 |
找不出[lg an]的规律求不出{bn}的前1 000项的和 | 结合(1)的结论，合情推理推出[lg an]的规律，并分类求出bn，最后利用分组求和求{bn}的前1 000项和 |
[通性通法](1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1，d(或q)，n，an，Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程(组)的方法达到解题的目的．
(2)数列的求和问题常采用“公式法”“裂项相消法”等．
[规范特训] (2019·天津二模)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝.
(1)证明数列{bn}是等差数列；
(2)设＝2n＋1，求数列{cn}的前n项和Tn(n∈N*)．
[解](1)因为a1＝2，所以b1＝＝1.
将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)得：
＝－2，∴－＝2，即bn＋1－bn＝2.
∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∵＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1.
设Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
两式相减得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.
化简得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
设Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2，
∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2.
