2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.2　函数的单调性与最值

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第二节　函数的单调性与最值

知识体系

必备知识

1.增函数、减函数

2.单调性、单调区间的定义

若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.

3.函数的最值

易错点:

(1)易混淆两个概念

“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集.

(2)关于单调区间写法的易错点

若函数在两个不同的区间上单调性相同,则这两个区间要分开写,不能写成并集.例如,函数f(x)=在区间(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上却不是减函数.

基础小题

1.给出下列说法,其中正确的是 (　　)

A.对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,x1≠x2且(x1-x 2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数

B.函数y=的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)

C.函数y=|x|是R上的增函数

D.函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞)

【解析】选A.B错误,多个单调区间之间不能用“∪”;C错误,在(-∞,0)上递减;D错误,[1,+∞)可能是单调递增区间的子集.

2.(教材改编)已知函数y=-mx和y=在(0,+∞)上都是增函数,则函数f(x)=mx+n在R上是              (　　)

A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0

C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0

【解析】选A.因为y=-mx和y=在(0,+∞)上都是增函数,所以m<0,n<0,f(x)=

mx+n为减函数且f(0)=n<0.

3.(教材改编)如果二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减函数,则              (　　)

A.a=-2 B.a=2  C.a≤-2 D.a≥2

【解析】选C.二次函数的对称轴方程为x=-,由题意知-≥1,即a≤-2.

4.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是              (　　)

A.(-1,0)  B.(-1,0)∪(0,1]

C.(0,1)  D.(0,1]

【解析】选D.因为f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在[1,2]上是减函数,

所以a≤1.①

又g(x)=(a+1)1-x在[1,2]上是减函数.

所以a+1>1,

所以a>0.②

由①②知,0<a≤1.

5.函数f(x)在[-4,4]上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分别是________. 

【解析】由函数最值的几何意义知,当x=-4时,有最小值-2;当x=2时,有最大值4.

答案:-2,4

6.已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是__________. 

【解析】因为函数f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,

所以-a≥-1,解得a≤1.

答案:(-∞,1]

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