2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.6 幂函数与二次函数
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第六节 幂函数与二次函数
知识体系
必备知识
1.幂函数
(1)定义.
一般地,函数y=xα 叫做幂函数,其中底数x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的图象比较.
(3)常见的5种幂函数的性质
| y=x | y=x2 | y=x3 | y= | y=x-1 |
定义 域 | R | R | R | [0,+∞) | {x|x∈R, 且x≠0} |
值域 | R | [0,+∞) | R | [0,+∞) | {y|y∈R, 且y≠0} |
奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
(4)幂函数的图象和性质
①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.
②幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
③当α>0时,y=xα在[0,+∞)上为增函数;
当α<0时,y=xα在(0,+∞)上为减函数.
2.二次函数
(1)解析式.
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0).
两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)图象与性质.
解析式 | f(x)=ax2+bx+c(a>0) | f(x)=ax2+bx+c(a<0) |
图象 | ||
定义域 | (-∞,+∞) | (-∞,+∞) |
值域 | ||
单调性 | 在x∈ 上单调递增; 在x∈ 上单调递减 | 在x∈ 上单调递增; 在x∈ 上单调递减 |
奇偶性 | 当b=0时为偶函数 | |
顶点 | ||
对称性 | 图象关于直线x=-成轴对称图形 | |
1.易错点:忽视对含参数的二次函数中系数的讨论
求解含参数的二次函数、方程、不等式问题要注意对判别式,二次项的系数的讨论.
2.注意点:比较幂值大小的注意点
比较幂值的大小时,要注意是构造指数函数还是构造幂函数.
基础小题
1.下列关于幂函数y=xα(α∈Q)的论述中,正确说法的个数是 ( )
①当α=0时,幂函数的图象是一条直线;②幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)两个点;③若函数f(x)为奇函数,则f(x)在定义域内是增函数;④幂函数f(x)的图象不可能在第四象限内.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.对于①,x=0时,无意义;
对于②,y=不过(0,0);
对于③,y=是奇函数,在定义域内无单调性;
对于④,因为x>0时,y=xα>0,故幂函数图象不可能出现在第四象限,故④对.
2.(教材改编)幂函数f(x)的图象过点,则f(4)= ( )
A.16 B.2 C. D.
【解析】选C.设幂函数f(x)=xα,
因为幂函数f(x)的图象过点,
所以2α=,解得α=-,所以f(x)=,
所以f(4)==.
3.(教材改编)设α∈,则使函数f(x)=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.因为α∈,所以当α=-1时,函数f(x)=x-1为奇函数且在(0,+∞)上为减函数.
4.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点,则k+α等于 ( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选C. 由幂函数的定义知k=1.
又因为f=,
所以=,解得α=,从而k+α=.
5.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a) (a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.
【解析】由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,所以b=-2,所以f(x)=-2x2
+2a2.
又因为f(x)的值域为(-∞,4],
所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.
答案:-2x2+4
6.关于x的不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果[1,4]⊆M,则实数a的取值范围为________.
【解析】因为不等式x2-2ax+a+2≤0 的解集为M,
如果[1,4]⊆M,
令f(x)=x2-2ax+a+2,则
即解得a≥3,
故实数a 的取值范围为[3,+∞).
答案:[3,+∞)
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