2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
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第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
知识体系
必备知识
1.五点法画函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)列表:
X=ω·x+φ | 0 | π | 2π | ||
x | - | - | - | - | - |
sin X | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
y | 0 | A | 0 | -A | 0 |
(2)描点:,,,-,-A,.
(3)连线:把这5个点用光滑曲线顺次连接,就得到y=Asin(ωx+φ)在区间长度为一个周期内的图象.
2.由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤
12个小环节构成6条路线:
(以③⑨线路为例)
③把y=sin x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到y=sin(x+φ)的图象;
⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍,纵坐标不变,得到y=sin(ωx+φ)的图象;
最后把所有点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变,就得到y=Asin(ωx
+φ)的图象.
3.y=Asin(ωx+φ)的物理意义
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时 | 振幅 | 周期 | 频率 | 相位 | 初相 |
A | T= | f== | ωx+φ | φ |
1.易错点:图象左、右平移的幅度与“ω”的值有关
由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变化:将图象上所有点向左平移个单位长度而不是φ个单位长度.
2.注意点:正确进行图象平移的前提条件
进行图象平移变换时必须核实平移前后两个三角函数是同名函数,若函数名称不一致,则首先应用诱导公式化为同名函数;若ω<0,应首先把其化为正值.
基础小题
1.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期是2π
C.y=f(x)的图象关于x=对称
D.y=f(x)的图象关于对称
【解析】选C.函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)=
sin 2=sin=cos 2x的图象,是偶函数,周期为π,所以A,B都不正确,cos=-1,所以C正确,D不正确.
2.(教材改编)函数y=2sin的振幅、周期、初相分别为 ( )
A.2,2π, B.2,π,
C.2,π,- D.2,2π,-
【解析】选C.y=2sin中,A=2,ω=2,φ=-,所以T==π.
3.要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 的图象 ( )
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
【解析】选C.因为y=sin =sin,所以应将函数y=
sin 的图象向右平移个单位.
4.(教材改编)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的图象对应的函数的解析式为________________.
【解析】函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再向上平移2个单位长度,得到y=sin+2的图象.
答案:y=sin+2
5.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=
sin的图象,只需将y=f(x)的图象上________.
【解析】因为f(x)的最小正周期为π,所以=π.
所以ω=2,所以f(x)=sin.
又因为g(x)=sin=sin,
所以只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,
便可得到g(x)=sin的图象.
答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变
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