2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：4.3 平面向量的数量积及应用举例
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第三节 平面向量的数量积及应用举例
知识体系
必备知识
1.向量的夹角
定义 | 图示 | 范围 | 共线与垂直 |
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是a与b的夹角 | 设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0°≤θ≤180° | θ=0°或θ=180°⇔a∥b,θ=90°⇔a⊥b |
2.平面向量的数量积
定义 | 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量 |a||b|cos__θ__叫做a与b的数量积,记作a·b |
投影 | |a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影, |b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影 |
几何 意义 | 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积 |
3.数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e·a=a·e=|a|cos__θ.
(2)cos θ=.
(3)a·b≤|a||b|.
4.数量积的运算律
(1)交换律:a·b=b·a.
(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
5.平面向量数量积的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则
数 量 积 | a·b=x1x2+y1y2 |
模 | |a|= |
夹 角 | cos θ= |
向量垂直的 充要条件 | a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0 |
1.易错点:
(1)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
(2)性质:|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤·
.
2.注意点:
确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
基础小题
1.给出下列说法:
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.
(3)两个向量的夹角的范围是.
(4)(a·b)c=a(b·c).
其中正确的是________.
【解析】由向量的数量积的几何意义知道(1)是正确的;
两个向量的数量积是实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量,所以(2)正确;
向量夹角的范围是[0,π],所以(3)不正确;
因为数量积是实数,所以(a·b)c等于实数乘以c,a(b·c)等于实数乘以a,因为a,c方向大小都不确定,故(4)不正确.
答案:(1)(2)
2.(教材改编)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由(2a-3b)·(2a+b)=61得a·b=-6,设a与b的夹角为θ,则
cos θ===-,
所以θ=.
3.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,
=2a-6b,D为BC中点,则||等于 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选A.因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=
4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×(3-2×2××cos+4)=4,则||=2.
4.(教材改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.
【解析】由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
|b|cos θ=4×cos 120°=-2.
答案:-2
5.等边三角形ABC中,若=a,=b, 则a,b的夹角为________.
【解析】求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点,
因此a,b的夹角为120°.
答案:120°
6.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为________.
【解析】由题意得=,=,
又⊥,所以·=0,
即·=0,
化简得y2=8x(x≠0).
答案:y2=8x(x≠0)
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