2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：8.7 抛 物 线
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第七节 抛 物 线
知识体系
必备知识
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 | y2=2px (p>0) | y2=-2px (p>0) | x2=2py (p>0) | x2=-2py (p>0) |
p的几何意义:焦点F到准线l的距离 | ||||
图形 | ||||
顶点 | O(0,0) | |||
对称轴 | y=0(x轴) | x=0(y轴) | ||
焦点 | F | F | F | F |
续表
离心率 | e=1 | |||
准线 方程 | x=- | x= | y=- | y= |
范围 | x≥0,y∈R | x≤0,y∈R | y≥0,x∈R | y≤0,x∈R |
开口 方向 | 向右 | 向左 | 向上 | 向下 |
焦半 径(其 中P(x0, y0)) | |PF|= x0+ | |PF|= -x0+ | |PF|= y0+ | |PF|= -y0+ |
3.直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图可得.
①y1y2=-p2,x1x2=.
②|AB|=x1+x2+p,x1+x2≥2=p,即当x1=x2时,弦长最短为2p.
③+为定值.
④弦长AB=(α为AB的倾斜角).
⑤以AB为直径的圆与准线相切.
⑥焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°.
1.易错点:忽略定点与定直线的关系
抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线.
2.注意点:
(1)区分抛物线的标准方程与二次函数的关系
区分y=ax2(a≠0)与y2=2px(p>0),前者不是抛物线的标准方程.
(2)直线与抛物线相交易忽略的条件
直线与抛物线相交的问题,不要忘记验证判别式.当直线与抛物线有一个公共点,并不表明直线与抛物线相切.
基础小题
1.下列说法错误的有________.
①平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.②抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是4.③抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.④方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.
【解析】①错误.当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线而不是抛物线.
②错误.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2.
③错误.抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形.
④错误.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.
答案:①②③④
2.(教材改编)动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为 ( )
A.y2=-4x B.y2=4x C.x2=4y D.x2=-4y
【解析】选B.设动圆圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆圆心的轨迹方程为y2=4x.
3.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为________.
【解析】由8x2+y=0,得x2=-y.
所以2p=,p=,所以焦点为.
答案:
4.(教材改编)抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为________.
【解析】抛物线y=ax2的标准方程为x2=y,
所以-=1,即a=-.
答案:-
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