2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：10.3 几何概型
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第三节 几 何 概 型
知识体系
必备知识
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
2.几何概型的特点
(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
(2)等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布.
3.几何概型的概率公式
P(A)=.
注意点:
混淆几何概型与古典概型
两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的,不同之处是几何概型中试验结果的个数是无限的,古典概型中试验结果的个数是有限的.
基础小题
1.给出下列概率模型:
①在区间[-5,5]上任取一个数,求取到1的概率;
②在区间[-5,5]上任取一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;
③在区间[-5,5]上任取一个整数,求取到大于1的数的概率;
④向一个边长为5 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P与正方形ABCD的中心的距离不超过1 cm的概率.
其中,是几何概型的是 ( )
A.①② B.②③④ C.②③ D.①②④
【解析】选D.①在区间[-5,5]内有无限多个数,求取到1这个数的概率,它是几何概型;
②在区间[-5,5]和[-1,1]内有无限多个数(无限性),且在这两个区间内每个数被取到的可能性都相同(等可能性),故是几何概型;
③在区间[-5,5]内的整数只有11个,不满足无限性,故不是几何概型;
④在边长为5 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点(无限性),且点P落在这两个区域内的任何位置的可能性都相同(等可能性),故是几何概型.
2.(教材改编)已知A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2},B={(x,y)|≤y}.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在区域B中的概率为 ( )
A.1- B. C.-1 D.
【解析】选A.集合A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是一正方形,其面积为4,集合B={(x,y)|≤y}表示的区域为图中阴影部分,其面积为4-
×12×π.所以向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为=1-.
3.有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是 ( )
【解析】选A.因为P(A)=,P(B)=,P(C)=,
P(D)=,所以P(A)>P(C)=P(D)>P(B).
4.(教材改编)在长为3 m的线段AB上任取一点P,则点P与线段AB两端点的距离都大于1 m的概率等于______.
【解析】将线段AB平均分成3段,设中间的两点分别为C,D,所以当点P在线段CD上时,符合题意,线段CD的长度为1,所以所求概率P=.
答案:
5.一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行,则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________.
【解析】如图所示,该三角形为直角三角形,其面积为×5×12=30,阴影部分的面积为×π×22=2π,所以所求概率为=.
答案:
6.一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm的圆孔,一只小虫在木板的一个面内随机地爬行,则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于________.
【解析】如图所示,
分别以正方形的四个顶点为圆心,2 cm为半径作圆,与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形,当小虫落在图中阴影区域时,它离四个顶点的距离都大于2 cm,其中阴影区域面积为S1=S正方形-4S扇形-S小圆= (3)2-π×22-π×12=9π-5π=4π,所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm的概率为P===.
答案:
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