2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第二章第二节　函数的单调性与值域(一)

第二节　函数的单调性与值域(一)复习目标学法指导1.增函数、减函数的概念.2.函数的单调性、单调区间.3.函数的最大值和最小值.1.单调性是研究函数中的变量之间的大小关系的重要指标,要学会从数与形两个角度理解与应用单调性.2.单调区间是单调性存在和应用的范围,要注意辨析其表述形式的差异,区分其意义的不同,能根据函数结构的不同求解单调区间.3.能依据函数式特征选择相应性质与方法求解值域(或最值).一、函数的单调性1.单调函数的定义 增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.1.概念理解(1)单调性是函数的局部性质,是针对定义域I内某个区间D而言的,即DI;(2)定义的核心是判定两个不等关系的“异同”,标准是“同增异减”.(3)应用定义判定或证明函数的单调性时,x1,x2必须表示任意的自变量,切忌用特殊值代替.(4)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应用逗号间隔,一般不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.(5)区分两种叙述形式:“函数在区间D上单调”与“函数的单调区间是D”,二者意义不同:前者中D是函数单调区间的子集,后者中D是函数唯一的单调区间.2.与判定函数单调性相关的结论(1)利用定义判断或证明函数的单调性的等价形式设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么①>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; <0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(2)判断复合函数单调性的方法y=f(t)增增减减t=g(x)增减增减y=f[g(x)]增减减增复合法可简记为“同增异减”,即内、外函数的单调性相同时复合函数是增函数,相异时复合函数是减函数.(3)运算性质①若f(x),g(x)均是区间D上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间D上的增(减)函数.②若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.③函数f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与的单调性相反;与的单调性相同.二、函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.(3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[,+∞);当a<0时,值域为(-∞, ].(3)y=(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log ax(a>0且a≠1)的值域是R.(6)y=sin x,y=cos x的值域是[-1,1].(7)y=tan x的值域是R.1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(　A　)(A)y= (B)y=(x-1)2(C)y=2-x (D)y=log0.5(x+1)解析:显然y=是(0,+∞)上的增函数;y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;y=2-x,即y=()x在R上是减函数;y=log0.5(x+1)在(0,+∞)上是减函数.故选A.2.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是(　C　)(A)y=在R上为减函数(B)y=|f(x)|在R上为增函数(C)y=2-f(x)在R上为减函数(D)y=-[f(x)]3在R上为增函数解析:根据题意,依次分析选项:对于A,对于函数f(x)=x,y==,在R上不是减函数,A错误;对于B,对于函数f(x)=x,y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,令t=f(x),则y=2-f(x)=()f(x)=()t,t=f(x)在R上为增函数,y=()t在R上为减函数,则y=2-f(x)在R上为减函数,C正确;对于D,对于函数f(x)=x,y=-[f(x)]3=-x3,在R上为减函数,D错误.故选C.3.函数y=x2-2ax+b在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　;若其单调递减区间是(-∞,1),则实数a的值是　　　　. 解析:函数y=x2-2ax+b的递减区间是(-∞,a],所以(-∞,1](-∞,a],故a≥1.其单调递减区间是(-∞,1)时,a=1.答案:[1,+∞)　14.已知函数f(x)=x(2x-),若f(x-1)>f(x),则x的取值范围是　　　　. 解析:当x>0时,f(x)在(0,+∞)上递增,而f(-x)=f(x),f(x)是偶函数,故f(x)在(-∞,0)上是减函数,若f(x-1)>f(x),则|x-1|>|x|,即(x-1)2>x2,解得x<.答案:(-∞,)5.若函数f(x)=3x+ax(a>0且a≠1)是偶函数,则函数 f(x) 的值域为　　　　. 解析:由f(x)为偶函数可得,f(-1)=f(1),即+=3+a,解得a=,所以f(x)=3x+,因为3x>0,所以3x+≥2(当且仅当3x=,即x=0时取等号),所以f(x)≥2,即f(x)的值域为[2,+∞).答案:[2,+∞)考点一　函数单调性的判定[例1] 判断函数f(x)=(其中a>0)在x∈(-1,1)时的单调性.解:设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-==.因为-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0.因此当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数.利用定义判定函数单调性的步骤(1)取值:任取所给区间上两个变量x1,x2;(2)作差,若f(x)>0(或<0),也可以作商;(3)变形:化简后的代数式中须出现“x1-x2”;(4)定号:判定差的正负或商与1的大小,必要时分类讨论;(5)判定:注意完整的叙述.(2019·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　A　)(A)y= (B)y=2-x(C)y=x (D)y=解析:y==,y=2-x=()x,y=x,y=的图象如图所示.由图象知,只有y=在(0,+∞)上单调递增.故选A.考点二　求函数的单调区间[例2](1)函数f(x)= (x2-4)的单调递增区间为(　　)(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)(2)函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=f(log ax)(0<a<1)的单调减区间是(　　) (A)[0,](B)[,1](C)(-∞,0)∪[,+∞)(D)[,]解析:(1)函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y=f(x)是由y=t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y=t在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-∞,-2)上单调递减,所以函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增,故选D.(2)因为u=logax(0<a<1)在(0,+∞)上是减函数,又因为g(x)递减,所以此时y=f(u)需为增函数,由图可知,f(u)在[0,]上递增,所以0≤logax≤,所以≤x≤1,故选B.求函数单调区间的常见方法(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数确定函数的单调区间.1.f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是(　D　)(A)(-∞,1) (B)(1,)(C)(,+∞) (D)(2,+∞)解析:令t=x2-3x+2=(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,故函数的定义域为{x|x<1或x>2},f(x)=ln t单调递增,根据复合函数单调性知原函数f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是(2,+∞).故选D.2.已知函数y=|4x-m|在区间[1,+∞)上单调递增,则m的取值范围为　　　　. 解析:由于y=|4x-m|=则函数y=|4x-m|的增区间为[,+∞),减区间为(-∞,),所以要使函数y=|4x-m|在区间[1,+∞)上单调递增,则≤1,解得m≤4,故m的取值范围为(-∞,4].答案:(-∞,4]考点三　求函数的最值(值域)[例3] (1)f(x)=xlg x在区间[2,10]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　. (2)函数y=-x(x≥0)的最大值为　　　　. (3)函数f(x)=(x>1)的最小值为　　　　. 解析:(1)g(x)=x在[2,10]上递增且为正数,h(x)=lg x在[2,10]递增且为正数,所以f(x)=xlg x在区间[2,10]上递增,所以最大值为f(10)=10,最小值为f(2)=2lg 2.(2)令t=,则t≥0,所以y=t-t2=-+, 结合图象知,当t=,即x=时,ymax=.(3)f(x)===(x-1)++2≥+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时,f(x)min=8.答案:(1)10　2lg 2　(2)　(3)8求函数最值(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法:易确定单调性的函数,利用单调性法研究函数最值(值域).(2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点,求出最值(值域).(3)基本不等式法:分子、分母中一个为一次,一个为二次函数结构以及两个变量(如x,y)的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域).(4)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上类型中的某种,再求解.用换元法时,一定要注意新“元”的范围.1.(2018·台州模拟)若函数f(x)=a- (a∈R)是奇函数,则a=　　　　,函数f(x)的值域为　　　　. 解析:函数f(x)=a-(a∈R)是奇函数,f(-x)+f(x)=0,即a-+a-=2a-(+)=2a+=0,解得a=-1;令y=-1-⇒1-2x=,即有2x=>0,解得y>1或y<-1,故f(x)=-1-的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:-1　(-∞,-1)∪(1,+∞)2.(2018·江苏卷)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　. 解析:f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(x>0).①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增,又f(0)=1,所以f(x)在(0,+∞)上无零点.②当a>0时,由f′(x)>0解得x>,由f′(x)<0解得0<x<,所以f(x)在（0,）上递减,在（,+∞）上递增.又f(x)只有一个零点,所以f（）=-+1=0,所以a=3.此时f(x)=2x3-3x2+1,f′(x)=6x(x-1),当x∈[-1,1]时,f(x)在[-1,0]上递增,在[0,1]上递减.又f(1)=0,f(-1)=-4,所以f(x)max+f(x)min=f(0)+f(-1)=1-4=-3.答案:-3考点四　易错辨析[例4] 判断函数f(x)= 的单调性.解:设t=x2-2x-3,因为t>0,所以x<-1或x>3,因为y==在(0,+∞)上单调递减,且t=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)=在(-∞,-1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减.(1)易忽略函数的定义域,只求解二次函数的单调区间;(2)错用复合函数的单调性法则或错用“外层函数”的单调性.1.已知单调函数f(x),对任意的x∈R都有f[f(x)-2x]=6,则f(2)等于(　C　)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:设t=f(x)-2x,f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,因为f(x)是单调函数,所以t=2,即f(x)=2x+2,则f(2)=22+2=6.故选C.2.已知f(x)=(a>0且a≠1),若f(x)有最小值,则实数a的取值范围是　　　　. 解析:当a>1时,x≤1时,f(x)=ax+a在(-∞,1]上递增,则f(x)∈(a,2a],x>1时,f(x)=|x-a|+1≥1,当x=a时取得最小值1,则f(x)的值域为[1,+∞),可得a>1时f(x)取得最小值1;当0<a<1时,x≤1时,f(x)=ax+a在(-∞,1]上递减,则f(x)∈[2a,+∞);x>1时,f(x)=|x-a|+1=x-a+1递增,可得f(x)>2-a,若f(x)存在最小值,可得2-a≥2a,即a≤,可得0<a≤.综上可得a>1或0<a≤.答案:（0,]∪(1,+∞)