2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第二章第六节　函数的图象(二)

第六节　函数的图象(二)复习目标学法指导能研究某些简单的复合函数及分段函数的性质和图象.1.含绝对值的函数的图象的画法,首先考虑应用变换法则,若函数式结构特征不符合,则需分类讨论转化为分段函数处理.2.识别复合函数、含绝对值的函数及分段函数优选赋值法,其次应用性质.3.应用数形结合思想可以解决非常规的方程根的个数、不等式的解及参数的取值范围问题,关键在于正确的分解、构造函数,并准确作图.变换作图 3.周期变换:∀x∈A,都有f(x+T)=f(x).1.与图象变换相关的结论(1)y=f(x)的图象变换到y=f(ax+b)的方法有两种:一是先伸缩后平移,其步骤为y=f(x)y=f(ax)y=f(ax+b).二是先平移后伸缩,其步骤为y=f(x)y=f(x+b)y=f(ax+b).(2)进行图象变换时,要合理选择变换的顺序,并进行适当的转化变形,无论哪种顺序,要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则.2.与图象应用相关联的知识用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(　C　)解析:距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故选C.2.(2019·新高考研究联盟)已知某函数图象如图所示,则此函数的解析式可能是(　A　)(A)f(x)=·sin x (B)f(x)=·sin x(C)f(x)=·cos x (D)f(x)=·cos x解析:由图象可知,该函数是偶函数,因为选项A,B的函数是偶函数,选项C,D是奇函数,故排除C,D.选项A,B中,因为f(π)=0,取x=,则×>0,所以可以排除选项B.故选A.3.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)的部分图象如图所示,则a,b所满足的关系为(　B　)(A)0<b-1<a<1(B)0<a-1<b<1(C)0<b<a-1<1(D)0<a-1<b-1<1解析:由函数f(x)单调递增得a>1,又f(0)=logab∈(-1,0),所以0<a-1<b<1,故选B.4. 若函数f(x)=的图象如图所示,则m的范围为(　C　)(A)(-∞,-1)(B)(-1,2) (C)(1,2) (D)(0,2)解析:由于函数f(x)=,根据奇偶函数的性质可知,该函数是奇函数,又f(1)>0,>0,所以-1<m<2.又当x>0时,f(x)=,由2-m>0,0<x<时是增函数,x>时是减函数,所以>1,得到m>1,故可知参数m的范围是(1,2),选C.5.若函数f(x)=(a,b,c∈R)的部分图象如图所示,则b=　　　　. 解析:由图象可知ax2+bx+c=0的两个根为1和3,由根与系数的关系可得-=4,=3,则b=-4a,c=3a,函数f(x)= 满足f(2)=-1,所以a=1,b=-4.答案:-4考点一　函数图象的画法[例1] 作出下列函数的图象:(1)y=|x-2|(x+1);(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=a|x|(0<a<1).解:(1)当x≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-;当x<2,即x-2<0时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-)2+.所以y=这是分段函数,每段的图象可根据二次函数图象作出(如图(1)).(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(2)所示.(3)因为y=(0<a<1),所以只需作出0<a<1时函数y=ax(x≥0)和y=(x<0)的图象,合起来即得函数y=a|x|(0<a<1)的图象.如图(3)所示.(1)①熟练掌握几种基本函数的图象;②必要时需对所给函数先进行变形化简(一定注意定义域).(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.(3)特别注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.1.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是(　D　)解析:当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1),在R上单调递减,于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递增,函数y=loga(x+)的图象过定点(,0),在(-,+∞)上单调递减.因此,选项D符合.当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1),在R上单调递增,于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递减,函数y=loga(x+)的图象过定点(,0),在(-,+∞)上单调递增.显然A,B,C三个选项都不符合.故选D.2.函数f(x)=则y=f(x+1)的图象大致是(　B　)解析:作出f(x)=的大致图象,如图所示,再把f(x)的图象向左平移一个单位,可得到y=f(x+1)的图象,故选B.考点二　函数图象的识别[例2] 函数f(x)=()x-x2的大致图象是(　　)解析:特殊值法:f(0)=()0-02=1>0,所以排除B,f(-4)=()-4-(-4)2=0,排除A,f(-10)=()-10-(-10)2>0,排除C.故选D.知图选式或选性质的策略①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域.②从图象的变化趋势,观察函数的单调性.③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性.④从图象的循环往复,观察函数的周期性.利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.1.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象大致是(　C　)解析:由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以y=f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,结合各选项知,选C.2.函数y=xsin x(x∈[-π,π])的图象可能是(　C　)解析:通过判断奇偶性知函数f(x)=xsin x为偶函数,故排除B,D,当x∈(0,π)时,x>0,sin x>0,xsin x>0,排除A,故选C.考点三　函数图象的应用[例3] [x]表示不超过x的最大整数,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论中正确的有　　　　. ①函数f(x)的值域为[0,1]②方程f(x)=有无数个解③函数f(x)的图象是一条直线④函数f(x)在区间[k,k+1)(k∈Z)上是增函数解析:因为f(x)=x-[x],所以f(x)的图象如图所示.所以由图可知,①错误,值域应为[0,1);②方程f(x)=有无数个解,正确;③错误;④函数f(x)在区间[k,k+1)(k∈Z)上是增函数,正确.答案:②④函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质:①根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.②从图象的对称性,分析函数的奇偶性.③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.④从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.提醒:利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合,因此作出的函数图象一定要准确.1.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(　C　)(A)当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值(B)当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值(C)当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值(D)当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),则f′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=xex-1.因为f′(1)=e-1≠0,所以f(x)在x=1处取不到极值;当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,则f′(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=(x-1)(xex+ex-2),所以f′(1)=0,且当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x0<x<1时(∃0<x0<1,使x0+-2=0),f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极小值.故选C.2.(2019·杭州市高三三校联考)已知函数f(x)= 若函数y=f(x)-log2(a-x)恰有两个零点,则实数a的取值范围为　　　　　　　. 解析:函数y=f(x)-log2(a-x)恰有两个零点等价于函数 f(x)与g(x)=log2(a-x)的图象恰有两个交点,在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示,当g(x)=log2(a-x)的图象过点(-2,0)时,a=-1,g(x)与f(x)只有一个交点;当g(x)=log2(a-x)的图象过点(0,0)时,a=1,g(x)与 f(x) 只有一个交点;当g(x)=log2(a-x)的图象过点(2,0)时,a=3,g(x)与 f(x) 有两个交点;当g(x)=log2(a-x)的图象过点(2,1)时,a=4,且此时 g(x) 的图象也过点(0,2),g(x)在(2,4)上与f(x)有一个交点,共3个交点;当g(x)=log2(a-x)的图象过点(4,)时,a=4+,此时f(x)与g(x)有一个交点;当a>4+时,f(x)与g(x)无交点.综上,当a<-1或a>4+时,函数g(x)与f(x)的图象无交点;当-1≤a≤1或4<a≤4+时,函数g(x)与f(x)的图象有一个交点;当1<a≤3时,函数g(x)与f(x)的图象有两个交点;当3<a≤4时,函数g(x)与f(x)的图象有三个交点,所以1<a≤3.答案:(1,3]考点四　易错辨析[例4] 已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(　　)(A)(-∞,0] (B)(-∞,1](C)[-2,1] (D)[-2,0]解析:作出y=|f(x)|的大致图象如图所示.当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立,若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|=x2-2x相切为界限,此时a=f′(0)=-2,所以a的取值范围是[-2,0].故选D.(1)搞不清不等式与两函数图象的对应关系,无法求解.(2)当a≤0时,不会确定其上边界,导致无法求解,直线与二次函数曲线的关系常以切线为其上、下边界.(2019·浙江卷)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　. 解析:由题意,得f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)=a[(t+2)3-t3]-2=a(t+2-t)[(t+2)2+(t+2)·t+t2]-2=2a(3t2+6t+4)-2=2a[3(t+1)2+1]-2.由|f(t+2)-f(t)|≤,得|2a[3(t+1)2+1]-2|≤,即-≤2a[3(t+1)2+1]-2≤,≤a[3(t+1)2+1]≤,所以·≤a≤·.设g(t)=·,则当t=-1时,g(t)max=.所以当t=-1时,a取得最大值,满足题意.答案:类型一　函数图象的画法1.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是(　C　)解析:作出f(x)=2x-2的图象,再将x轴下方的图象沿x轴向上翻折即可得函数y=|f(x)|的图象.2.已知函数f(x)=|x+1|-|x|,则f(x)(　D　)(A)是奇函数(B)有最小值1(C)图象关于直线x=-对称(D)在[-1,0]上是增函数解析:当x≤-1时,f(x)=-x-1+x=-1;当-1<x≤0时,f(x)=x+1+x=2x+1;当x>0时,f(x)=x+1-x=1.作出其函数图象如图所示,由图象可知只有D正确,故选D.类型二　函数图象的识别3.(2019·嘉兴市期末测试)函数f(x)=(x+1)ln|x-1|的大致图象是(　B　)解析:当x→+∞时,f(x)→+∞,排除A,C,f(-5)=-4ln 6<0,排除D.故选B.4.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<f(x)≤1,则函数y=loga的图象大致为(　B　)解析:因为f(x)=a|x|,0<f(x)≤1,所以0<a|x|≤1,因为对所有的x∈R恒成立,所以0<a<1,对函数y=loga,当x>0时,y=loga为增函数,又函数y=loga为偶函数,故选B.5.(2018·金华十校高三上期末)函数y=的图象大致是(　D　)解析:该函数为偶函数,故排除B,当x>0时,y===xln x,y′=1+ln x,当x∈(0,)时,y′<0,函数递减,x∈(,+∞)时,y′>0,函数递增,故选D.6.(2019·绍兴适应性考试)函数y=(x3-x)ln|x|的图象是(　C　)解析:设f(x)=(x3-x)ln|x|,易得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=[(-x)3-(-x)]ln|-x|=-(x3-x)ln|x|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,函数图象关于原点中心对称,所以排除B选项;当0<x<1时,f(x)=(x3-x)ln x,因为x3-x<0,ln x<0,所以f(x)=(x3-x)ln x>0,所以排除A选项;当x>1时,f(x)=(x3-x)ln x,因为x3-x>0,ln x>0,所以f(x)=(x3-x)ln x>0,所以排除D选项.故选C.7.定义在R上的函数f(x)=若关于x的方程f(x)=c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1,x2,x3,则 x1+x2+x3=　　　　. 解析:函数f(x)的大致图象如图所示,由图象知c=1,又f(0)=1,从而x1+x2+x3=0.答案:0类型三　函数图象的应用8.(2019·杭二中高考仿真)函数f(x)=x3-|ax2-b|-1在(0,2)上有2个零点,则的取值范围是　. 解析:根据题意得x3-|ax2-b|-1=0在x∈(0,2)时有2个根,即x3-1=|ax2-b|在x∈(0,2)时有2个根,即y=x3-1与y=|ax2-b|的图象在(0,2)上有2个交点,由图象的性质易得ax2-b=0的正根在[1,2)上,所以1≤<4,故的取值范围是[1,4).答案:[1,4)9.已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象如图所示,给出下列4个命题,正确的是　　　　. ①f[g(x)]=0有且仅有6个根;②g[f(x)]=0有且仅有3个根;③f[f(x)]=0有且仅有5个根;④g[g(x)]=0有且仅有4个根.解析:f(t)=0三根t1,t2,t3满足-2<t1<-1,t2=0,1<t3<2,g(x)=ti(i=1,2,3)分别有2个根,所以f[g(x)]=0有且仅有6个根,故①对;f(x)=t1有1根,f(x)=t2有3个根,f(x)=t3有1个根,所以f[f(x)]=0有且仅有5个根,故③对;g(s)=0两根s1,s2满足-2<s1<-1,0<s2<1,f(x)=s1有1根,f(x)=s2有3个根,所以g[f(x)]=0有且仅有4个根,故②错;g(x)=s1有2根,g(x)=s2有2个根,所以g[g(x)]=0有且仅有4个根,故④对.答案:①③④