2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第四章第三节　二次函数与不等式

第三节　二次函数与不等式复习目标学法指导1.二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的关系.2.一元二次不等式的一般解法.3.含绝对值的一元二次不等式、含参数的一元二次不等式的解法.1.一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论,而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数图象揭示解(集)的几何特征.即2.解一元二次不等式,一般先化二次项系数为正,然后解得其对应的一元二次方程的两个根,再借用图象写出不等式的解集.一、二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者之间的关系 Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2没有实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠-}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}三个“二次”间关系二次函数、一元二次不等式、一元二次方程可以相互转化.即令二次函数y=ax2+bx+c的y=0,则原式变为一元二次方程ax2+bx+c=0,令一元二次不等式ax2+bx+c>0的不等号变为等号,则原式转变为一元二次方程ax2+bx+c=0.二、一元二次不等式ax2+bx+c≥0(<0)的解法解一元二次不等式首先应将二次项系数化为正值,然后根据不等式对应的二次方程的根的情况得出解集.关于ax2+bx+c≥0,x∈R恒成立可等价为或1.解法理解(1)表达式中最高次项前含有字母参数,注意是否需要讨论.(2)解一元二次不等式的一般步骤:①一解:解出方程ax2+bx+c=0的实根;②二画:画出函数y=ax2+bx+c的图象;③三读:读出不等式的解集(结合原不等式和图象).2.相关联知识(1)对于含参数的不等式,必须进行讨论,在讨论时常用逻辑划分的思想进行分类,然后对划分的每一类分别进行求解,再综合解出答案.(2)含绝对值不等式的常见解法主要有以下几种:①|f(x)|>c与|f(x)|<c(c>0)型;②|f(x)|>g(x)(f(x)<g(x))型;③|f(x)|±|g(x)|>c型;④a<|f(x)|<b型.1.若不等式x2+2x+a≥-y2-2y对任意实数x,y都成立,则实数a的取值范围是(　C　)(A)[0,+∞) (B)[1,+∞) (C)[2,+∞) (D)[3,+∞)解析:由已知得a≥-(x+1)2-(y+1)2+2,而-(x+1)2-(y+1)2+2的最大值为2,所以a≥2,故选C.2.不等式x2-|x|-2<0的解集是(　A　)(A){x|-2<x<2} (B){x|x<-2或x>2}(C){x|-1<x<1} (D){x|x<-1或x>1}解析:原不等式⇔|x|2-|x|-2<0⇔(|x|-2)(|x|+1)<0⇔|x|-2<0⇔-2<x<2.3.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(　A　)(A)(-∞,-2) (B)(-2,+∞)(C)(-6,+∞) (D)(-∞,-6)解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.故选A.4.(2018·浙江温州中学高三模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则(　C　)(A)f(m+1)≥0 (B)f(m+1)≤0(C)f(m+1)>0 (D)f(m+1)<0解析:f(0)=f(-1)=a>0,f(m)<0,所以-1<m<0,0<m+1<1,f(x)在(-,+∞)上单调递增,所以f(m+1)>f(0)>0.故选C.5.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是(　A　)(A)0≤k≤1 (B)0<k≤1(C)k<0或k>1 (D)k≤0或k≥1解析:当k=0时,不等式为8≥0恒成立,符合题意;当k>0时,若不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则Δ=36k2-4k(k+8)≤0,解得0<k≤1;当k<0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能对任意x∈R恒成立.综上,k的取值范围是0≤k≤1.故选A.考点一　一元二次不等式与一元二次方程之间的关系[例1] 已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(-,3),求不等式cx2+bx+a<0的解集.解:法一　因为不等式ax2+bx+c>0的解集是(-,3),所以a<0,且-和3是方程ax2+bx+c=0的两个根.由⇒得cx2+bx+a=c(x2+x+)=c(x2+x-)=c(x+2)(x-),所以不等式cx2+bx+a<0的解集为(-2,).法二　因为不等式ax2+bx+c>0的解集是(-,3),得a<0且-和3是方程ax2+bx+c=0的两个根.在方程cx2+bx+a=0中,因为a≠0,得x≠0.设y=,方程cx2+bx+a=0可化为ay2+by+c=0.由-和3是方程ax2+bx+c=0的两个根,得-2和是方程cx2+bx+a=0的两个根.又方程的两根异号及a<0,得c>0.所以,不等式cx2+bx+a<0的解集为(-2,).二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象(抛物线)与x轴的两交点的横坐标x1,x2(x1<x2),即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根,同时,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是{x|x<x1或x>x2};对于ax2+bx+c<0(a>0),解集是{x|x1<x<x2}.若对于任意的x∈R,都有ax2+ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是(　B　)(A)(0,4) (B)[0,4)(C)(0,+∞) (D)(-∞,4)解析:若对任意的x∈R,都有ax2+ax+1>0恒成立,则必有或a=0,所以0≤a<4.故选B.考点二　|f(x)|>c与|f(x)|<c(c>0)型含绝对值一元二次不等式 [例2] 解不等式|x2-2x-1|<1.解:原不等式可化为-1<x2-2x-1<1,解不等式x2-2x-1>-1得,x<0或x>2;解不等式x2-2x-1<1得,1-<x<1+,所以原不等式解集为{x|1-<x<0或2<x<1+}.对|f(x)|>c与|f(x)|<c(c>0)型含绝对值不等式问题,有两种方法.法1:将f(x)看作整体,转化为|t|<c或|t|>c型,利用|t|<c和|t|>c同解变形原理转化为不含绝对值的不等式求解;法2:利用绝对值的意义,对绝对值内部通过分类讨论去掉绝对值,转化为不含绝对值的不等式求解.设max{a,b}=已知x,y∈R,m+n=6,则F=max{|x2-4y+m|,|y2-2x+n|}的最小值为　　　　. 解析:因为max{a,b}=且m+n=6,F=max{|x2-4y+m|,|y2-2x+n|},故F≥|x2-4y+m|,F≥|y2-2x+n|所以2F≥|x2-4y+m|+|y2-2x+n|≥|x2-4y+m+y2-2x+n|=|(x-1)2+(y-2)2+1|≥1,所以F≥,故F=max{|x2-4y+m|,|y2-2x+n|}的最小值为.答案:考点三　易错辨析[例3] 已知f(x)=(x+1)·|x-1|,若关于x的方程f(x)=x+m有三个不同的实数解,求实数m的取值范围.解:函数解析式f(x)=(x+1)·|x-1|=(1)x≥1时,由x2-1=x+m,得x2-x-1-m=0.由两根之和为1,得此方程大于1的解至多一个.设x=1+t,原方程可化为t2+t-1-m=0.原方程有一个大于1的解,即此方程有一个正解.由-1-m<0,得m>-1时,方程f(x)=x+m有一个大于1的解;(2)x<1时,由1-x2=x+m,得x2+x-1+m=0.设x=1+t,原方程可化为t2+3t+1+m=0.原方程有两个小于1的解,即此方程有两个负解.由得-1<m<时,方程f(x)=x+m有两个小于1的解;综合(1),(2),当-1<m<时,关于x的方程f(x)=x+m有三个不同的实数解.易错点有两处:(1)采用数形结合易发现,它的图象是由两段抛物线弧组成,因此方程f(x)=x+m的三个不同的实数解表现为直线y=x+m与其中一段抛物线弧有两个交点,与另一段抛物线弧仅有一个交点,边界值容易混淆出错.(2)观察它们的图象易知,应对x分类讨论,容易被忽略.即当x≥1时,方程有一解;当x<1时,方程有两解.已知函数f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1,若对任意的实数x0,f(x0)与g(x0)中至少有一个为正数,则实数t的取值范围是(　A　)(A)(-∞,-2)∪(0,2] (B)(-2,0)∪(0,2](C)(-2,2] (D)(0,+∞)解析:函数f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1.Δ=16-4×(2-t)×1=8+4t,①当t=0时,f(x)=0,Δ>0,g(x)有正有负,不符合题意,故排除C.②当t>2时,当x取-∞时,f(x)与g(x)都为负值,不符合题意,故排除D.③当t<-2时,Δ<0,所以g(x)=(2-t)x2-4x+1>0恒成立,符合题意,故B不正确,故选A.