2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第六章第六节　两角和与差的三角函数

第六节　两角和与差的三角函数复习目标学法指导1.两角差的余弦公式两角差的余弦公式证明.2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦公式.(2)两角和与差的正切公式.3.理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法,理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理、正确地拆分,能对公式进行简单的逆用.1.准确掌握公式的结构特征与符号特点,能熟练正用、逆用、变形应用.2.巧变角:三角函数中往往出现较多的差异角,注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,运用角的变换,化多角为单角或减少角的数目,联系条件角与待求角,使问题顺利获解.3.将三角变换与代数变换密切结合:三角变换主要是利用相应的三角公式,对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.两角和与差的余弦公式cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 2.两角和与差的正弦公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 3.两角和与差的正切公式tan(α+β)=,tan(α-β)=.1.公式理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点如下:C(α±β)同名相乘,符号反;S(α±β)异名相乘,符号同;T(α±β)分子同,分母反.2.公式的常用变式(1)和(差)与积互换公式tan α±tan β= tan(α±β)(1∓tan αtan β),tan αtan β=1-=-1.涉及tan α±tan β与tan α·tan β问题可利用两角和与差的正切及以上变形公式求解.(2)辅助角公式:asin α+bcos α=sin(α+)(中sin =,cos =)一般形式有sin x+cos x=sin(x+)=cos(x-),sin x+cos x=2sin(x+)=2cos(x-),sin x±cos x=2sin(x±).3.与三角变换相关的结论三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称,其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.1.sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是(　C　)(A) (B) (C)- (D)-解析:sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°=-(cos 34°cos 26°-sin 34°sin 26°)=-cos(34°+26°)=-cos 60°=-.2.已知tan(α-)=,tan(+β)= ,则tan(α+β)的值为(　D　)(A) (B) (C) (D)1解析:tan(α+β)=tan[(α-)+(+β)]===1.3.的值是(　C　)(A) (B) (C) (D)解析:原式====.故选C.4.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=　　　　. 解析:因为tan (20°+40°)=,所以-tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°,即tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=.答案:5.设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=,则a,b,c按从小到大的顺序排列为　　　　. 解析:a=sin 14°+cos 14°=sin 59°,b=sin 16°+cos 16°=sin 61°,c==sin 60°,因为59°<60°<61°,所以sin 59°<sin 60°<sin 61°,所以a<c<b.答案:a<c<b考点一　两角和与差公式的基本应用[例1] 已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=,(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈(0,),求f(-θ).解:(1)由f()=,得Asin =,又sin =,所以A=.解: (2)由(1)得f(x)=sin(x+),由f(θ)+f(-θ)=,得sin(θ+)+sin(-θ+)=,化简得cos θ=,因为θ∈(0,),所以sin θ===,故f(-θ)=sin(-θ+)=sin θ=×=. 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.1.已知角α为锐角,若sin(α-)=,则cos(α-)等于(　A　)(A) (B)(C) (D)解析:由于角α为锐角,且sin(α-)=,则cos(α-)=,则cos(α-)=cos[(α-)-]=cos(α-)cos +sin(α-)sin =×+×=,故选A.2.设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sin θ+cos θ=　　　. 解析:由θ在第二象限,且tan(θ+)=,因而sin(θ+)=-,因而sin θ+cos θ=sin(θ+)=-.答案:-考点二　两角和与差公式的逆用与变形应用[例2] [2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·=　　　　. 解析:原式=[2sin 50°+sin 10°(1+)]·sin 80°=(2sin 50°+sin 10°·)·　cos 10°=[2sin 50°cos 10°+2sin 10°(cos 10°+sin 10°)]=2[sin 50°cos 10°+sin 10°cos(60°-10°)]=2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)=2sin(50°+10°)=2sin 60°=2×=.答案: 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β )的值是　　　　. 解析:-1=tan =tan(α+β)=,所以tan αtan β-1=tan α+tan β.所以1-tan α-tan β+tan αtan β=2,即(1-tan α)(1-tan β)=2.答案:2考点三　角的变换[例3] 已知α,β均为锐角,且sin α=,sin(α-β)=-,(1)求cos β的值;(2)求sin(α-2β)的值.解:(1)因为α,β∈(0,),所以-<α-β<,因为sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=,因为α为锐角,且sin α=,所以cos α=.所以cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×(-)=.解: (2)因为sin(α-β)=-,cos(α-β)=,cos β=,sin β=.所以sin(α-2β)=sin [(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=(-)×-×=-. (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的配角技巧:α=2·;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α=[(α+β)+(α-β)];β=[(α+β)-(α-β)]; +α=-(-α).1.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为　　　　. 解析:因为α为锐角且cos(α+)=>0,所以α+∈(,),所以sin(α+)=.所以sin(2α+)=sin[2(α+)-]=sin 2(α+)cos -cos 2(α+)·sin =sin(α+)cos(α+)-[2cos2(α+)-1]=××-[2×()2-1]=-=.答案:2.已知α∈(,π),β∈(,π),且sin +cos =,sin(α-β)=-,则cos β的值为　　　　. 解析:因为sin +cos =,两边同时平方,得sin α=.又<α<π,所以cos α=-.又因为<β<π,所以-π<-β<-,故-<α-β<.又sin(α-β)=-,得cos(α-β)=.cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-×+×(-)=-.答案:-考点四　易错辨析[例4] 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为　　　　. 解析:因为tan α=tan[(α-β)+β]===>0,所以0<α<.又tan 2α===>0,所以0<2α<.所以tan(2α-β)===1.因为tan β=-<0,所以<β<π,-π<2α-β<0.所以2α-β=-.答案:- 解决此类给值求角问题,防止增解的方法有两种,一是缩小角的范围,尽量缩至一个象限内;二是求合理的三角函数值,若角在第一、二象限,宜求余弦,若角在第一、四象限,宜求正弦.1.(2019·嘉兴高三检测)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β, 的大小关系是(　B　)(A)α<<β (B)β<<α(C)<α<β (D)<β<α解析:因为α为锐角,sin α-cos α=>0,所以<α<.又tan α+tan β+tan αtan β=,所以tan(α+β)== ,所以α+β=,又α>,所以β<<α.故选B.2.已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=-,则2α+β=　　　. 解析:因为sin α=,α∈(0,),所以cos α=,因为cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π),所以sin(α+β)= ,所以sin(2α+β)=sin [α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=×(-)+×=0.又2α+β∈(0,),所以2α+β=π.答案:π类型一　两角和与差公式的基本应用1.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β的值为　　　　. 解析:因为cos(α+β)=,所以cos αcos β-sin αsin β=.①因为cos(α-β)=,所以cos αcos β+sin αsin β=.②①+②得cos αcos β=.②-①得sin αsin β=.所以tan αtan β==.答案:2.已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为　　　　. 解析:因为cos(+θ)cos(-θ)=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)=(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ=,所以cos 2θ=.故sin4θ+cos4θ=()2+()2=+=.答案:类型二　两角和与差公式的逆用与变形应用3.已知sin x-sin y=-,cos x-cos y=,且x,y为锐角,则tan(x-y)等于(　B　)(A)     (B)-(C)±     (D)±解析:因为sin x-sin y=-,x,y为锐角,所以-<x-y<0,又①2+②2,得2-2sin xsin y-2cos xcos y=(-)2+()2,即2-2cos(x-y)=,得cos(x-y)=,又-<x-y<0,所以sin(x-y)=-=-=-,所以tan(x-y)==-.故选B.4.已知sin β=msin(2α+β),且tan(α+β)=3tan α,则实数m的值为(　B　)(A)2 (B) (C)3 (D)解析:因为sin β=msin(2α+β),所以sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α],即sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α],也即(1-m)sin(α+β)·cos α=(1+m)cos(α+β)sin α,所以==3,所以m=.故选B.类型三　角的变换5.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β等于(　D　)(A) (B) (C) (D)解析:依题意有sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= ,又0<β<α<,所以0<α-β<,故cos(α-β)= =,而cos α=,所以sin α=,于是sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.故β=.6.在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为(　B　)(A)- (B) (C) (D)-解析:由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1,所以在△ABC中,A+B=,则C=,cos C=.