2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第六章第四节　函数y=Asin(ωx+)的图象与性质(一)

第四节　函数y=Asin(ωx+)的图象与性质(一)

复习目标
学法指导
1.y=Asin(ωx+)的图象
(1)用五点法画出y=Asin(ωx+)的
图象.
(2)y=Asin(ωx+)与y=sin x的图象间的关系.
(3)函数y=Asin(ωx+)的振幅、周期.
(4)函数y=Asin(ωx+)的频率、相位和初相.
2.掌握函数y=Acos(ωx+)的图象与y=Asin(ωx+)的图象的联系.
1.由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+)的图象时注意两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是||个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.
2.作函数y=Asin(ωx+)的图象应注意的问题
(1)首先要确定函数的定义域.
(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.
3.由函数图象求解析式的方法
(1)如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数表达式y=Asin(ωx+)中的参数A和ω,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx+=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得.
(2)通过若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,ω,.依据是五点法.
(3)运用逆向思维的方法,根据图象变换可以确定相关的参数.


一、y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的有关概念
y=Asin(ωx+)
(A>0,ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f=
=
ωx+

二、用“五点法”作函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象的一般
步骤
1.定点:如表.
x
-




ωx+
0

π

2π
y=Asin(ωx+)
0
A
0
-A
0
2.作图:在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(ωx+)在一个周期内的图象.
3.扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+)在R上的图象.
三、由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象的步骤
　法一　　　　　　　　　　　　　　法二
画出y=sin x的图象　　 画出y=sin x的图象　
　　　　　　　　　　
得到y=sin(x+)的图象 得到y=sin ωx的图象　
　　　　　　　　　　
得到y=sin(ωx+)的图象得到y=sin(ωx+)的图象　
　　　　　　　　　　
得到y=Asin(ωx+)的图象得到y=Asin(ωx+)的图象

1.法则理解
(1)无论哪种变换,每一种变换总是针对“自变量x”而言的. 即图象变换要看“自变量x”发生什么变化,而不是看角“ωx+”的变化.
(2)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,左右平移的单位长度是不一样的.前者平移||个单位长度,后者平移||个单位长度,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误.
(3)平移的法则是“左加右减,上加下减”.
2.与确定解析式y=Asin(ωx+)+b中参数相关的结论
(1)求
①代入法.把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法.确定值时,往往寻找“五点法”中的一个点为突破口,具体如下:
选“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,令ωx+=0;
选“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+=;
选“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时,令ωx+=π;
选“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+=;
选“第五点”时,令ωx+=2π.
(2)求ω
因为T=,所以求ω即求T.
①图象上相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T,相邻的一个最高点与最低点之间的距离是.
②图象的相邻的对称轴(中心)之间的距离为,相邻的一个对称中心与对称轴之间的距离为.

1.将函数f(x)=sin(2x+θ)(-0,ω>0,00,00,ω>0)的解析式的步骤
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,
则A=,b=.
(2)求ω:确定函数的周期T,则ω=.
(3)求:常用方法有①代入法:把图象上的一个与x轴的交点坐标代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点坐标代入.②五点法:确定值时,往往寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.

已知函数f(x)=Atan(ωx+)(ω>0,||0,ω>0,0