2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第七章第一节　正弦定理和余弦定理

第一节　正弦定理和余弦定理复习目标学法指导1.会证明正弦定理、余弦定理.2.理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用.3.能用正弦定理、余弦定理解斜三角形.4.会用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形.5.了解正弦定理与三角形外接圆半径的关系.1.正弦定理和余弦定理是解三角形的基础,熟记定理内容及变形公式,在解决问题时注重数形结合.2.在给定方程的化简和变形上要注重“统一”“消元”思想的运用.统一:统一角度或边长.消元:多个角度利用A+B+C=π进行消元.一、正弦定理正弦定理内容:===2R(R为△ABC外接圆半径).变形形式:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.②sin A=,sin B=,sin C=.③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.④==.1.概念理解(1)正弦定理主要解决两类三角形问题:①知两角和一边;②知两边和其中一边所对应的角.在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况.(2)正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A和sin A=是表达式变形中常用公式,在统一角度或统一长度上发挥作用.2.与正弦定理有关的结论(1)三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.(2)在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin A<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解二、余弦定理余弦定理内容:a2=b2+c2-2bc·cos A,b2=a2+c2-2ac·cos B,c2=a2+b2-2ab·cos C.变形形式:cos A=,cos B=,cos C=.1.概念理解(1)余弦定理解决两类三角形问题:一是知两边及其夹角的三角形,二是知三边的三角形.(2)利用余弦定理来解决三角形问题时,要注意角的取值范围.通常求解三角形的内角度数时,不是解该角的正弦,而是解该角的余弦.2.与余弦定理有关的结论由cos A=(设A为最大内角)若b2+c2>a2,则该三角形为锐角三角形.b2+c2=a2,则该三角形为直角三角形.b2+c2<a2,则该三角形为钝角三角形.1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B等于(　A　)(A) (B) (C) (D)解析:由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,所以sin Bsin(A+C)=sin B.因为sin B≠0,所以sin(A+C)=,即sin B=,所以B=或.又因为a>b,所以A>B,所以B=.故选A.2.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(　C　)(A)有一解 (B)有两解(C)无解 (D)有解但解的个数不确定解析:由正弦定理得=,所以sin B===>1.所以角B不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C.3.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于　　　　. 解析:因为=,所以sin B=1,所以B=90°,所以AB=2,所以S△ABC=×2×2=2.答案:24.(2019·临海高三检测)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=　　　　. 解析:由3sin A=5sin B,得3a=5b.又因为b+c=2a,所以a=b,c=b,所以cos C===-.因为C∈(0,π),所以C=.答案:考点一　利用正弦定理解三角形[例1] (1)在△ABC中,a=,b=,B=45°,求角A,C和边c;(2)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,求角A的大小.解:(1)由正弦定理=,得sin A==,所以A=60°或120°.①当A=60°时,C=75°,由=,得c==2·sin 75°=.②当A=120°时,C=15°,c=2·sin 15°=.解:(2)由A+C=2B,A+C+B=180°得B=60°.所以由正弦定理得=,所以sin A=.所以A=30°或150°.又因为b>a,所以B>A.所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1)注重条件和图形的结合;(2)知两边及一边对应的角时,要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角,再利用“大边对大角”的条件排除;(3)正弦定理的变形公式.1.(2019·浙江卷)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=　　　,cos∠ABD=　　　　. 解析:如图,易知sin C=,cos C=.在△BDC中,由正弦定理可得=,所以BD===.由∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,可得cos∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin∠CBD=sin[π-(∠C+∠BDC)]=sin(∠C+∠BDC)=sin C·cos∠BDC+cos C·sin∠BDC=×+×=.答案:　2.在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为　　　　. 解析:在△ABC中,由正弦定理得===2,所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin(120°-A)+4sin A=2sin(A+),其中,tan =,又因为A∈(0°,120°),所以最大值为2.答案:2考点二　利用余弦定理解三角形[例2] 若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为(　　)(A) (B)8-4(C)1 (D)解析:由已知得a2+b2-c2+2ab=4,由于C=60°,所以cos C==,即a2+b2-c2=ab,因此ab+2ab=4,ab=,故选A. 利用余弦定理解三角形:一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次关系时,考虑使用余弦定理.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A等于(　C　)(A) (B) (C) (D)解析:在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,因为b=c,所以a2=2b2(1-cos A),又因为a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,所以tan A=1,因为A∈(0,π),所以A=,故选C.考点三　正、余弦定理的综合应用[例3] 设△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知=.(1)求角B;(2)若b=3,cos A=,求△ABC的面积.解:(1)因为=,所以=,所以a2-b2=ac-c2,所以cos B===,又因为0<B<π,所以B=.解:(2)由cos A=可得sin A=,由=可得a=2,而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以△ABC的面积S=absin C=. (1)利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理.(2)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.解:(1)由题设得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=,故sin Bsin C=.解:(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=- .所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8,由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+.类型一　利用正弦定理解三角形1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于(　A　)(A) (B)-  (C)± (D)解析:因为8b=5c,所以由正弦定理,得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B≠0,所以cos B=,所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=.故选A.2.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,向量p=(1,- ),q=(cos B,sin B),p∥q,且bcos C+ccos B=2asin A,则C等于(　A　)(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°解析:因为p∥q,所以-cos B=sin B,即得tan B=-,所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin2A,即sin A=sin(B+C)=2sin2A,又由sin A≠0,得sin A=,所以A=30°,C=180°-A-B=30°.故选A.类型二　利用余弦定理解三角形3.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于(　D　)(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cos A=.又由a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+36-b,整理得5b2-12b-65=0,解得b=-(舍)或b=5.即b=5. 故选D.4.若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于　　　　. 解析:设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsin A=10得sin A=,因为A为锐角,所以A=60°,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=64+25-2×40×=49,故a=7,即BC=7.答案:7类型三　正弦定理和余弦定理的综合应用5.在△ABC中,∠B=120°,AB=,∠BAC的平分线AD=,则AC等于(　D　)(A) (B) (C)2 (D)解析:如图,在△ABD中,由正弦定理,得sin∠ADB===.由题意知0°<∠ADB<60°,所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°,所以∠BAC=2∠BAD=30°,所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°,所以BC=AB=,于是由余弦定理,得AC===.故选D.