2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第八章第一节　向量及其运算

第一节　向量及其运算复习目标学法指导1.平面向量的实际背景及基本概念(1)向量的物理背景与概念向量的概念.(2)向量的几何表示零向量、单位向量、向量模的概念.(3)相等向量、平行向量、共线向量的概念.2.平面向量的线性运算(1)①向量加法的定义及几何意义.②向量加法的交换律和结合律.(2)①相反向量的概念.②向量减法的定义及几何意义.(3)①向量的数乘运算.②向量数乘运算的几何意义.1.熟记概念,对于概念中的前提条件引起重视.2.解决向量的概念问题要注意两点,一是考虑大小,更要考虑方向;二是考虑零向量的特殊性.3.向量的线性运算,要在所表达的图形上多思考、多联系相关几何图形.一、平面向量的有关概念1.向量的有关概念(1)定义既有大小又有方向的量叫做向量.(2)表示方法①用字母表示:如a,b,c等;②用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.如,等.(3)模向量的大小叫做向量的模,记作|a|,|b|或||,||.2.特殊向量名称定义备注零向量长度为零的向量记作0,0的方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的同向单位向量为平行(共线)向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行(或共线)相等向量长度相等且方向相同的向量两个向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01.概念理解(1)仅从向量的模定义零向量和单位向量,它们方向不确定,因此解题时注意特殊性.(2)按照方向相同或相反定义平行向量和共线向量,因此两个向量方向相同或相反即可判定是否为共线向量.2.与零向量有关的结论(1)零向量与任意向量为共线向量;(2)0·a=0.二、平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb概念理解(1)利用三角形法则进行加法运算时,要注意两向量的首尾相连,在几何图形中求和向量时,一般要进行向量的平移让两个向量首尾相连.(2)减法运算必须要求两向量有相同起点,差向量即为从减数终点指向被减数终点的向量,如:-= .三、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.1.概念理解(1)向量的平行和直线平行不同,两向量所在直线重合也可以称平行向量.(2)注意定理中a≠0的条件.2.与共线向量相关联的结论(1)若a,b,c均不为零向量,则平行具有传递性.(2)在a(a≠0)方向上的单位向量:.(3)利用共线向量定理证明三点共线的步骤:第1步:三点构造两个向量;第2步:证明两向量之间成倍数关系.1.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为(　C　)(A)3e2-e1 (B)-2e1-4e2(C)e1-3e2 (D)3e1-e2解析:由题图可知a=-4e2,b=-e1-e2,则a-b=e1-3e2.故选C.2.设两个非零向量e1和e2,且e1与e2不共线,=e1-e2, =3e1+2e2,=-8e1-2e2,则下列三点共线的是(　D　)(A)A,B,C (B)A,B,D (C)B,C,D (D)A,C,D解析:=e1-e2,=+ =4e1+e2,因为=-,且有公共点C,所以A,C,D三点共线.故选D.3.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　. 解析:由题中条件得=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.答案:　-考点一　平面向量的基本概念[例1] (1)下列有关向量相等的命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)(A)②③ (B)①② (C)③④ (D)②③④(2)设a,b都是非零向量,则“a=2b”是“=”成立的(　　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)下列与共线向量有关的命题:①相反向量就是方向相反的向量;②若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为　　　　.(填序号) 解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,它们的方向不一定相同.②正确.因为=,所以||=||且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||,与方向相同,因此,= .③正确,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且|a|=|b|,不一定a=b,也可以是a=-b.故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.故选A.解析:(2)因为=,则向量a与向量b方向相同,但它们的模没有关系.因此“a=2b”是“=”成立的充分不必要条件.故选A.解析:(3)①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正确,两向量不能比较大小;③不正确.当λ=μ=0时,a与b可能不共线;④正确.答案:(1)A　(2)A　(3)①②③　 (1)相等向量具有传递性,共线向量不具有传递性,只有当非零向量之间才具有传递性.(2)注意0的特殊性,验证命题为假命题时,通常采用举反例的方式,在向量概念问题的判定上,反例通常可以选取0.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量相等.下列命题中正确的个数为(　B　)①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;②若向量a与b满足a+b=0,则a与b共线;③若向量a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等;④设e为单位向量,若a与e平行,则a=|e|·a.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①不正确,若向量a与向量b中有一个为零向量,则两个向量方向不一定相同或相反;②正确;③不正确,因为|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|与|a|+|b|不一定相等;④正确,因为|e|=1,所以a=|e|a成立.故选B.考点二　平面向量的线性运算[例2] 下列各式不能化简为的是(　　)(A)+(+ )(B)(+)+(-)(C)-+(D) +-解析:选项A,+(+)= ++=+=;选项B,( +)+(-)=(+)+(-)=;选项C,-+=+- = ;选项D,+ -=-得不到.故选D. 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,在运算时,要注意两种法则的适用条件.在三棱锥O-ABC中,若D为BC的中点,则等于(　C　)(A)+-(B)++(C)+-(D)++解析:如图根据向量加法三角形法则,=(+)=(-+-),所以=+-.故选C.考点三　共线向量定理及应用[例3] 设两个非零向量a与b不共线,(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.(1)证明:因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),所以=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.所以,共线,又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)解:因为ka+b与a+kb同向,所以存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b是不共线的两个非零向量,解得或又因为λ>0,所以k=1. (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别:只有两向量有公共点且共线时,才能得出三点共线.(2)a与b共线是指存在不全为零的λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则a与b不共线.1.设a,b是不共线的两个非零向量,若=ka+12b, =4a+5b,=-ka+10b,且点A,B,C三点共线,则k=　　　　. 解析:=-=(4-k)a-7b,=-=(4+k)a-5b,因为A,B,C三点共线,所以=,k=-.答案:-2.在△ABC所在平面内有一点P,如果++=,则△PAB与△ABC的面积之比是　　　　　　. 解析:因为++==-,所以2+=0,=-2=2,所以点P是线段AC的一个靠近点A的三等分点.所以△PAB与△ABC的面积之比是1∶3.答案:1∶3类型一　平面向量的基本概念1.以下给出了4个命题:(1)两个长度相等的向量一定相等;(2)相等的向量起点必相同;(3)若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;(4)若向量a的模小于b的模,则a<b.其中正确命题共有(　D　)(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个解析:长度相等方向相同的向量是相等向量,故(1)错误;根据相等向量的定义知,相等向量起点不一定相同,故(2)错误;因为a·b=a·c,所以a·(b-c)=0,又因为a≠0,所以必有a⊥(b-c),而b=c不一定成立,故(3)错误;向量不能比较大小,故(4)错误.故选D.2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ (λ,μ∈R),则λ+μ等于(　B　)(A)(B) (C) (D)2解析:根据向量的平行四边形加法法则,=+,又根据向量的三角形加法法则,=+=+=+,=-,所以=λ+μ=λ(+0+μ(-)=(λ-μ)+(λ+μ),所以解得所以λ+μ=.故选B.类型二　平面向量的线性运算3.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(　B　)(A)a+b (B)a+b(C)a+b (D)a+b解析:=+,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,所以=,所以=a+b+(a-b)=a+b.故选B.4.在△ABC中,G为△ABC的重心,D在边AC上,且=3,则(　B　)(A)=+(B)=--(C)=-+(D)=-+解析:如图所示,=+,=×(+)=(+),=.所以=-(+)+=--.故选B.5.任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,则=　　　　(用向量,表示). 解析:因为=++,=++,所以2=+++++=+,所以=(+).答案:(+)类型三　共线向量定理6.已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t等于(　B　)(A) (B) (C) (D)解析:设E是BC边的中点,则 (+)=,由题意得=,所以==(+)=+,又因为B,O,D三点共线,所以+=1,解得t=,故选B.7.已知点P是△ABC所在平面内一点,边BC的中点为D,若2=(1-λ)+,其中λ∈R,则P点一定在(　C　)(A)AB边所在的直线上 (B)BC边所在的直线上(C)AC边所在的直线上 (D)△ABC的内部解析:因为D为边BC的中点,所以2=+=(1-λ)+=(1-λ)+-,即2=(1-λ),故A,P,C三点共线,即点P在AC边所在的直线上.故选C.8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-4+3=0,则等于(　A　)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由-4+3=0,得-=3(-),即=3,所以=3,所以||=3||,所以=3.故选A.