2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十章第三节　空间图形的基本关系与公理

第三节　空间图形的基本关系与公理复习目标学法指导1.平面的基本性质.2.空间点、线、面位置关系.3.异面直线及其夹角.1.平面的基本性质作用分别是:性质1可用来证明点、直线在平面内;性质2可用来确定一个平面,证明点线共面;性质3可用来确定两个平面的交线,判断或证明多点共线,以及多线共点问题.2.空间点、线、面的位置关系要结合图形去记忆符号表示.3.异面直线所成角问题一般采取两种方案:(1)平移法作出平面角;(2)补形法作出平面角.一、平面的基本性质及相关公(定)理 文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内⇒l⊂α判断直线在平面内公理2过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α是确定平面的依据,可证明点、线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线⇒α∩β=l,且P∈l寻找两平面的交线,证明线共点公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行⇒m∥n证明线线平行两角相等或互补的定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补⇒∠A=∠A′或∠A+∠A′=π判断或证明两角相等或互补1.概念理解(1)平面的基本性质即三个公理要能用三种语言来表示(文字语言、图形语言、符号语言).(2)公理4是判断空间两直线平行的依据.(3)等角定理为解决空间角相等提供了依据.2.与平面性质相关联的结论(1)直线及直线外一点可以确定一个平面.(2)两相交直线确定一个平面.(3)两平行直线确定一个平面.二、空间中点、线、面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β交点个数000图形语言符号语言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l交点个数11无数个图形语言 符号语言a,b是异面直线a⊂α 交点个数0无数个 1.概念理解(1)空间两直线的位置关系有三种:相交、平行、异面.(2)空间直线与平面的位置关系有三种:平行、相交、直线在平面内.(3)空间两平面的位置关系有两种:平行、相交.2.与这些位置关系相关联的结论(1)空间两直线的位置关系中相交、平行也叫共面.(2)空间直线与平面平行、相交也叫线在面外.三、异面直线所成角1.定义设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线 a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.2.范围:.1.概念理解(1)异面直线所成角是个空间角,求解时我们通过平移法变为平面角.(2)范围中有两异面直线垂直,因此空间中两直线垂直位置关系可以相交、异面.2.与异面直线相关联的结论(1)一个三棱锥中六条棱构成“三对”异面关系;(2)平移法求角时点的选取常常是特殊点(中点或端点上).1.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是(　D　)解析:A,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面.故选D.2.若a,b是异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是(　D　)(A)b∥α (B)相交(C)b⊂α (D)b⊂α、相交或平行解析:三种情况都有.故选D.3.下列结论中正确的是(　B　)①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内;③一条直线与两条平行直线中的一条相交,那么它也与另一条相交;④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么 b∥c.(A)①②③ (B)②④(C)③④ (D)②③解析:①错,两条直线不相交,则它们可能平行,也可能异面;②显然正确;③错,若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条直线可能相交,也可能异面;④由平行直线的传递性可知正确.故选B.4.下列命题中正确的个数是(　B　)①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①l与α可能相交,错误;②可能异面,错误;③另一条可能在平面内,错误;④正确.故选B.考点一　平面的基本性质及应用[例1] (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:①E,C,D1,F四点共面;②CE,D1F,DA三线共点;(2)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图②中F是B1B的中点,在图①中画出平面BC1D与平面ACD1的交线,在图②中画出平面AD1F与平面ABCD的交线,在图③中画出平面A1BC1与平面ABCD的交线.(1)证明:①连接EF,CD1,A1B,因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1.又因为A1B∥D1C,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面.证明:②因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点.(2)解:作法:在图①中连接AC,CD1,分别交BD,C1D于点O,E,连接AD1,OE,则OE是平面BC1D与平面ACD1的交线;在图②中,延长D1F交DB的延长线于G,连接AG,则AG是平面AD1F与平面ABCD的交线;在图③中,延长DC使得CH=DC,连接BH,则BH是平面A1BC1与平面ABCD的交线. 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题,一般有两种途径:①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题,一般有两种途径:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.(3)证明线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.(4)画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置.以下四个命题中,正确命题的个数是(　B　)①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图,显然b,c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面.故正确的个数为1.故选B.考点二　空间两直线的位置关系[例2] 关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;④若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n;其中正确命题的序号是　　　　　.(把你认为正确命题的序号都填上) 解析:①错,m,n可能相交,也可能异面.②正确,是利用向量法求二面角的依据.③正确,因为m⊥α,n∥β且α∥β,所以m⊥β,m⊥n.④错,m与n可能异面或相交.答案:②③ 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作(　D　)(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条解析:如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,所以体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.故选D.考点三　异面直线所成的角[例3] 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值.(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)解:取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角.因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以AF=,AE=,EF=,cos∠AEF===,所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为. (1)找异面直线所成的角的三种方法①利用图中已有的平行线平移.②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.③补形平移.(2)求异面直线所成角的三个步骤①作:通过作平行线,得到相交直线.②证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角.③算:通过解三角形,求出该角.如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　A　)(A) (B) (C) (D)解析:由三视图及题意得如图所示的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1,又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是BC的中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=,在直角三角形DAO中可以求得DO=.在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE==,故选A.考点四　易错辨析[例4] 一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中(　　)(A)AB∥CD (B)AB与CD相交(C)AB⊥CD (D)AB与CD所成的角为60°解析:如图,把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图2所示的直观图,可见选项A,B,C不正确.图2中,BE∥CD,∠ABE为AB与CD所成的角,△ABE为等边三角形.所以∠ABE=60°,所以正确选项为D.故选D. 侧面展开图问题应还原为原来的几何体,从直观图中观察或求值.如图,侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过A作截面AEF,则截面△AEF周长的最小值为　　　　. 解析:沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内,则AA′即为截面△AEF周长的最小值,且∠AVA′=3×40°=120°.在△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6.答案:6类型一　平面基本性质及应用1.已知A,B,C,D,E是空间五个不同的点,若点E在直线BC上,则“AC与BD是异面直线”是“AD与BE是异面直线”的(　B　)(A)充分不必要条件 (B)充分必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线,而点E在BC上,所以AD与BE也是异面直线;若AD与BE是异面直线,而点E在直线BC上,所以AD与BC是异面直线,所以A,B,C,D四点不共面,所以AC与BD是异面直线,所以是充分必要条件,故选B.2.若平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定　　　　　个平面. 解析:如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个.答案:1或4类型二　空间两直线的位置关系3.已知直线a,b都与平面α相交,则a,b的位置关系是(　D　)(A)相交 (B)平行(C)异面 (D)以上都有可能解析:a,b的位置关系三种情况都有可能.故选D.4.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　　对. 解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有3对.答案:3类型三　异面直线所成的角5.矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为(　C　)(A)[0,] (B)[0,](C)[0,] (D)[0,]解析:初始状态直线AD与直线BC成的角为0,翻折过程中当BC⊥BD时,直线AD与直线BC所成的角为直角,因此直线AD与直线BC所成的角范围为[0,],故选C.6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E是CC1的中点,那么异面直线EO和D1A所成的角的余弦值等于(　C　)(A) (B)(C) (D)解析:如图,取BC的中点F,连接EF,OF,∠OEF即为EO和D1A所成的角,且△OEF为直角三角形,设OF=1,则EF=,故OE=,cos ∠OEF=.7.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB,M是PA的中点,DM和PC所成角的正切值是　　　　. 解析:如图,连接AC,BD交于点O,连接MO,O是AC的中点,而M是PA的中点,从而MO∥PC,所以∠DMO(或其补角)是DM和PC所成角,设PA=2,经计算得MO=,DO=,MD=,所以△MDO是直角三角形,从而tan ∠DMO==.答案: