2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十章第六节　空间直角坐标系及空间向量的线性运算

第六节　空间直角坐标系及空间向量的线性运算复习目标学法指导1.会确定空间点的坐标.2.会求直线方向向量及平面法向量.3.会进行空间向量的几何运算及代数运算.4.会进行空间向量的数量积及坐标运算.1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个数组成的有序数组.2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,平面的法向量与平面上的任何直线都垂直.3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量类似.4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达直线、平面位置关系.一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.2.空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=.②点P(x,y,z)与坐标原点O之间的距离为|OP|=.(2)中点公式设点P(x,y,z)为线段P1P2的中点,其中P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则有3.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模单位向量长度(或模)为1的向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 a∥b共面向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量概念理解(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为(4)共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b≠0.(5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量.二、数量积与坐标运算1.数量积及相关概念(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=,则称向量a与b互相垂直,记作a⊥b.若<a,b>=0,则称向量a与b同向共线,若<a,b>=π,则称向量a与b反向共线.(2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b的数量积,记作 a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.2.两个向量数量积的性质和结论已知两个非零向量a和b.(1)a·e=|a|cos<a,e>(其中e为单位向量).(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)cos<a,b>=.(4)a2=a·a=|a|2,|a|=.(5)|a·b|≤|a||b|.3.空间向量数量积的运算律(1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b).(2)交换律:a·b=b·a.(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.4.向量坐标的定义设i,j,k为空间三个两两垂直的单位向量,如果=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量的坐标.5.空间向量运算的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么(1)加、减运算:a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2).(2)数量积:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.(3)夹角公式:cos<a,b>=.(4)模长公式:|a|==.(5)数乘运算:λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R).(6)平行的充要条件:a∥b⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(7)垂直的充要条件:a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.1.概念理解(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致.(3)向量的坐标是终点坐标减去起点坐标.(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.2.与数量积及坐标运算相关联的结论(1)表示单位向量.(2)|a|2=a·a.(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若=2x+3y+3z,则x+y+z等于(　D　) (A) (B) (C) (D)解析:因为=+-,所以所以所以x+y+z=.故选D.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(　A　)(A)5 (B)6 (C)4 (D)8解析:设=a,=b,=c,则=a+b+c,=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此||=5.故选A.3.在空间四边形ABCD中,·+· +·等于(　B　)(A)-1 (B)0(C)1   (D)不确定解析:如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.考点一　空间直角坐标系[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|=　　　　;点A到坐标平面yOz的距离是　　　　. 解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,得|OA|==3.因为A(1,2,2),所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.答案:3　1 (1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy(x,y,-z)坐标平面yOz(-x,y,z)坐标平面zOx(x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度;②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为(　A　)(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.考点二　空间向量的线性运算[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,.解:=+=+=+(-)=+[(+)-]=++.=-=-=++-=-++. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用,,表示,等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量,,表示向量,设=x+y+z,则x,y,z的值分别是(　D　)(A)x=,y=,z=(B)x=,y=,z=(C)x=,y=,z=(D)x=,y=,z=解析:设=a,=b,=c,因为G分MN所成的比为2,所以=,所以=+=+(-)=a+(b+c-a)=a+b+c-a=a+b+c,即x=,y=,z=.考点三　空间向量的数量积与坐标运算[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=,b=,(1)求a和b的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值.解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=,b=,所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2).(1)cos θ===-,所以a和b的夹角θ的余弦值为-.解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0.解得k=-或k=2. (1)求空间向量数量积的方法①定义法.设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ;②坐标法.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2.③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算.(2)数量积的应用①求夹角.设非零向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角;②求长度(距离).运用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;③解决垂直问题.利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD中,E,F分别为直线AB,CD上的动点,且|EF|=.若记EF中点P的轨迹为L,则|L|等于　　　　.(注:|L|表示L的测度,在本题,L为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积) 解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为,建立如图所示的空间直角坐标系,设E(0,y1,y1),F(,y2,-y2),P(x,y,z),|EF|==,即(y1-y2)2+(y1+y2-)2=1,又即代入上式得(2z-)2+(2y-)2=1,即(y-)2+(z-)2=,即P的轨迹为半径为的圆,周长为|L|=2πr=π.答案:π2.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是(　C　)(A)钝角三角形 (B)锐角三角形(C)直角三角形 (D)不确定解析:因为M为BC的中点,所以=(+).所以·=(+)·=·+·=0.所以AM⊥AD,即△AMD为直角三角形.考点四　易错辨析[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(,,0),点D在平面yOz内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求的坐标;(2)设和的夹角为θ,求cos θ的值.解:(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E.在Rt△DCB中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=.所以DE=CDsin 30°=.OE=OB-BDcos 60°=1-=.所以D点坐标为(0,-,),即的坐标为(0,-,).解:(2)依题意,=(, ,0),=(0,-1,0), =(0,1,0),所以=-=(-,-1, ),=-=(0,2,0).由和的夹角为θ,得cos θ===-.所以cos θ=-. 解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误.(2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.类型一　空间直角坐标系1.在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,设=a, =b, =c,则可表示为(　A　)(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a (D)a+c-2b解析:因为=a,=b,=c,在▱ABCD中,=-=a-b,- ===a-b,所以=+=a-b+c.故选A.2.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的(　B　)(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当x=2,y=-3,z=2时,即=2-3+2.则-=2-3(-)+2(-),即=-3+2,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设=m+n(m,n∈R),即-=m(-)+n(-),即=(1-m-n)+m+n,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.故选B.3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,则|b|=　　　　　. 解析:因为a⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2,故|b|==2.答案:2类型二　空间向量线性运算4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量-+化简后的结果是(　A　)(A) (B) (C) (D)解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得-+=++=,故选A.类型三　空间向量数量积及坐标运算5.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则·的取值范围是(　D　)(A)[-1,-] (B)[-,-](C)[-1,0]   (D)[-,0]解析:如图,以D1为原点,以D1C1,D1A1,D1D方向为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C1(1,0,0),P(x,y,0), =(-x,1-y,1), =(1-x,-y,0),·=(x-)2+(y-)2-,(其中0≤x≤1,0≤y≤1),所以·的取值范围是[-,0].故选D.6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(　C　)(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2解析:·=(+)·=(·+·)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.故选C.7.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于(　B　)(A)1 (B)2 (C)13 (D)26解析:设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则⇒令y=4,则n=(1,4,),则h===2.故选B.8.=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2)(其中O为坐标原点),点Q在OP上运动,当·取最小值时,点Q 的坐标为(　C　)(A)( ,,) (B)( ,,)(C)( ,,) (D)( ,,)解析:设=λ=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ), =(2-λ,1-λ,2-2λ),·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-.当λ=时,·取得最小值,此时Q(,,).故选C.9.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是(　B　)(A)钝角三角形 (B)锐角三角形(C)直角三角形 (D)不确定解析:·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,所以cos∠DBC>0,∠DBC为锐角,同理∠BDC,∠BCD为锐角.所以△BCD为锐角三角形,故选B.