2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十一章第二节　圆的方程

第二节　圆的方程复习目标学法指导1.圆的定义及标准方程(1)圆的定义.(2)圆的标准方程.(3)判断点与圆的位置关系.2.圆的一般方程(1)圆的一般方程.(2)圆的一般方程化为标准方程.(3)求曲线方程的基本方法.3.认识圆的方程与x2,y2项系数相同的二元二次方程之间的联系.1.圆与圆的方程是高考重点内容之一,常与直线、向量、圆锥曲线等知识综合命题.这部分内容要注重数形结合思想、转化化归思想的应用.2.准确理解圆的形成过程、定义以及x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形,对学好圆很关键.一、圆的定义与方程1.圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.2.圆的方程标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心(a,b),半径r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圆心半径1.概念理解(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)中,有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆方程就会被确定.其中,圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.(2)圆的一般方程的形式特点①x2,y2项的系数相等且不为0.②无xy项.③D2+E2-4F>0.(3)圆的标准方程体现了圆的几何性质,即圆心与半径,而圆的一般方程体现了圆的代数性质,即圆方程是一个二元二次方程(x2,y2的系数相等,不为0且不含xy项).2.与圆方程相关结论圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),配方后得(x+)2+(y+)2=(D2+E2-4F).当D2+E2-4F>0时,方程才能表示圆;当D2+E2-4F=0时,方程表示点(-,-);当D2+E2-4F<0时,方程无意义,不表示任何曲线.二、点A(x0,y0)与☉C的位置关系1.|AC|<r⇔点A在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2<r2;2.|AC|=r⇔点A在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2;3.|AC|>r⇔点A在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2>r2.1.概念理解判断点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系,有几何法与代数法两种,两种方法的核心都是比较点到圆心的距离与半径r的大小.2.与点与圆位置关系相关的知识(1)同一平面内,不共线三点确定一个圆.(2)证四点共圆的方法:①证其中一点在另外三点确定的圆上;②证四边形一组对角互补.1.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(　A　)(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=(C)x2+y2=1 (D)x2+y2=4解析:AB的中点坐标为(0,0),|AB|==2,所以圆的方程为x2+y2=2.故选A.2.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(　A　)(A)1+ (B)2 (C)1+ (D)2+2解析:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1.故选A.3.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为　　　　　　　　. 解析:由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3.①过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②联立①②,解得所以圆心坐标为(3,0),半径r==,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=24.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　　　　　　　　　. 解析:法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),所以解得所以圆的方程为x2+y2-2x=0.法二　画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=05.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,则x2-y的取值范围为　　　　　. 解析:x2=1-y2,-1≤y≤1,x2-y=1-y2-y=-(y+)2+∈[-1,].答案:[-1,]考点一　圆的方程[例1] (1)求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程;(2)已知圆过P(4,-2),Q(-1,3),且在y轴上截得的线段长为4.求该圆方程.解:(1)法一　因为圆过A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有解得所以C(2,1),r=|CA|==.所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.法二　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其圆心为(-,-).则由已知可得整理得解得所以所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0,即(x-2)2+(y-1)2=10.解:(2)法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.①将P,Q点的坐标分别代入①得令x=0,由①得y2+Ey+F=0.④由已知|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程④的两根,所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.⑤解②③⑤组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4,故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.法二　PQ中点M(,),kPQ==-1.因为圆过P,Q两点,所以圆心在PQ的中垂线上,即在直线y-=1×(x-)上,也就是在直线y=x-1上,设圆心为C(a,b),半径为r,则有解得或所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37. (1)求圆的方程,一般采用待定系数法.①若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程.②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程.(2)在求圆的方程时,常用到圆的以下两个性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上.1.以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),则该圆的方程为　　　　　　　　　　　　. 解析:由题意设圆的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0),根据条件得解得所以该圆的方程为x2+(y-)2=.答案:x2+(y-)2=2.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程为　　　　　　　　　. 解析:设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,所以解得故所求圆的方程为(x-2)2+=.答案:(x-2)2+(y+)2=考点二　与圆有关的轨迹问题[例2] 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0),当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?解:设M(x,y),因为M是PA的中点,所以P(2x-12,2y),又因为点P在圆上,故(2x-12)2+(2y)2=16,即(x-6)2+y2=4,所以线段PA的中点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆. (1)“轨迹”与“轨迹方程”的区别:“轨迹”是图形,要指出形状、位置、大小(范围)等特征;“轨迹方程”是方程(等式),不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围.(2)求轨迹方程的步骤如下:建系,设点:建立适当的坐标系,设曲线上任一点坐标M(x,y).写集合:写出符合条件p的点M的集合 {M|p(M)}.列式:用坐标表示p(M),列出方程f(x,y)=0.化简:化方程f(x,y)=0为最简形式.证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.求与圆有关的轨迹方程的方法如下:1.已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解:(1)设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).解:(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).2.求到两点A(-3,0),B(3,0)距离之比为2的点P的轨迹方程.解:设P(x,y),==2,化简得x2-10x+y2+9=0,经检验符合要求,故所求轨迹方程为x2-10x+y2+9=0.考点三　与圆有关的最值问题[例3] 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.解:原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±(如图1).所以的最大值为,最小值为-.解:(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±(如图2).所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.解:(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4. (1)形如m=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,求的值.解:法一　y2=4+2∈[4,8],所以M=2,x=-1时取到;m=2,当x=1或-3时取到,所以=.法二　设=u,=v,则u≥0,v≥0,且u2+v2=4,设u=2cos θ,v=2sin θ,其中θ∈,所以u+v=2sin(θ+)∈[2,2],所以M=2,当θ=时取到,m=2当θ=或0时取到,所以=.考点四　易错辨析[例4] 若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则实数a的值是　　　　. 解析:令a2=a+2,得a=-1或a=2,当a=-1时,原方程化为(x-1)2+y2=2表示圆,当a=2时,原方程化为x2+y2+x+=0(*),因为1+0-4×<0,所以方程(*)不表示任何图形.答案:-1 方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是(1)C=0;(2)A=B≠0;(3)D2+E2-4FA>0,仅满足A=B不能判定二元二次方程表示的图形一定是圆.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是　　　　　　. 解析:圆的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,其圆心为 (-1,2),且5-a>0,即a<5.又圆关于直线y=2x+b成轴对称,所以2=-2+b,所以b=4,a-b=a-4<1.答案:(-∞,1)