2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十二章第二节　直线与椭圆的位置关系(一)

第二节　直线与椭圆的位置关系(一)复习目标学法指导1.直线与椭圆相切问题.2.直线与椭圆相交问题(1)交点个数.(2)相交弦问题.3.直线与椭圆的对称问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点.这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想来设而不求,或与弦长公式及韦达定理联系去解决.2.解析几何题目部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,将简化解题运算量.一、直线与椭圆的位置关系1.若直线斜率不存在,数形结合分析.2.若直线斜率k存在,设直线方程为y=kx+m,联立得关于x的方程(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2(m2-b2)=0,则有直线与椭圆相交⇔有两个交点⇔Δ>0,直线与椭圆相切⇔有一个交点⇔Δ=0,直线与椭圆相离⇔没有交点⇔Δ<0.1.概念理解(1)直线与椭圆位置关系的判定有两种方法:几何法和代数法,几何法即借助椭圆与直线的图形进行判定,代数法即直线方程与椭圆方程联立得到关于x(或y)的一元二次方程,然后再判定直线与椭圆的关系,解题时应根据情况,进行判定.(2)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切,过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切,过椭圆内一点的直线均与椭圆相交,这与直线与圆的位置关系类似.2.与直线与椭圆的位置相关的结论(1)若P0(x0,y0)在椭圆+=1上,则过P0的椭圆的切线方程是+=1.(2)若P0(x0,y0)在椭圆+=1外,则过点P0作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2的直线方程是+=1.二、直线与椭圆相交问题的处理方法1.常规方法(通法)(1)设直线y=kx+m与椭圆+=1的交点为A(x1,y1), B(x2,y2);(2)把直线与椭圆方程联立,得方程组;(3)消去y得关于x的一元二次方程(或消去x得关于y的一元二次方程);(4)由韦达定理得x1+x2,x1·x2的值(或y1+y2,y1·y2的值);(5)求解(用中点公式、弦长公式等).2.点差法Ⅰ型(1)设直线y=kx+m与椭圆+=1的交点为A(x1,y1),B(x2,y2);(2)把点的坐标代入椭圆方程且作差可得kAB,弦长公式|AB|=·|x1-x2|=·|y1-y2|.3.点差法Ⅱ型(弦AB的中点为(a,b))(1)设交点坐标为A(x,y),B(2a-x,2b-y);(2)把点的坐标代入椭圆方程;(3)作差后依题意求解.1.概念理解常规方法是直线与椭圆相交问题的通用方法,运算量较大,运算应细心,按步骤整理,避免出错.在涉及中点、斜率问题时,可考虑点差法.设出点的坐标,在遇到垂直、夹角问题时,可考虑运用向量法进行解题,基本思路是先设元(设点的坐标),后消元.2.与直线与椭圆相交问题相关的结论(1)AB是椭圆+=1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM·kAB=-,即kAB=-.(2)若P0(x0,y0)在椭圆+=1内,则被P0所平分的中点弦的方程为+=+.1.若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是(　D　)(A)m>1 (B)m>0(C)0<m<5且m≠1 (D)m≥1且m≠5解析:由消去y整理得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意知Δ=100k2-20(1-m)(5k2+m)≥0对一切k∈R恒成立,即5mk2+m2-m≥0对一切k∈R恒成立,由于m>0且m≠5,所以m≥1且m≠5.故选D.2.已知椭圆+=1,过点P(2,1)且被点P平分的椭圆的弦所在的直线方程是(　B　)(A)8x+y-17=0 (B)x+2y-4=0(C)x-2y=0   (D)8x-y-15=0解析:设过点P(2,1)且被点P平分的椭圆的弦为AB, A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=4,y1+y2=2,又因为A,B两点均在椭圆上,所以+4=16,+4=16,两式作差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以=-=-,即弦AB所在的直线的斜率为-,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-1=-(x-2),整理得x+2y-4=0.3.F1,F2是椭圆+y2=1的左、右焦点,过F2作倾斜角为的弦AB,则△F1AB的面积为(　C　)(A) (B)1 (C) (D)2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得AB的方程为y=x-1,代入椭圆方程得3x2-4x=0,则x1+x2=,x1x2=0.所以|x1-x2|=,|y1-y2|=.所以=+=|F1F2||y1-y2|=.故选C.4.已知A,B是椭圆3x2+y2=m(m>0)上不同两点,线段AB的中点为N(1,3),则m的取值范围为　　　　,AB所在的直线方程为　　　　　　　　　　. 解析:由题意,N(1,3)在椭圆3x2+y2=m(m>0)内,所以3×12+32<m,得m>12.又由点差法得直线AB斜率为k=-1,所以AB所在的直线方程为x+y-4=0.答案:(12,+∞)　x+y-4=05.直线y=x+m与椭圆+y2=1相切,则m=　. 解析:联立方程组将①代入②,得+(x+m)2=1,整理,得5x2+8mx+4m2-4=0.Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2)=0.解得m=±.答案:±考点一　直线与椭圆的位置关系及弦长问题[例1] (1)已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1,试问当m取何值时,直线l与椭圆C:①有两个不重合的公共点;②有且只有一个公共点;③没有公共点.(2)求直线l:x-y+b=0被椭圆+y2=1所截得的弦MN的长度的最大值.解:(1)将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将(i)代入(ii),整理得9x2+8mx+2m2-4=0,(iii)方程(iii)根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.①当Δ>0,即-3<m<3时,方程(iii)有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.解:②当Δ=0,即m=±3时,方程(iii)有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.③当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程(iii)没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.解:(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),将x-y+b=0与+y2=1联立,得消去y得4x2+6bx+3b2-3=0,x1+x2=-b,x1x2=,由Δ>0得-2<b<2,又|MN|=|x1-x2|=,故当b=0时,|MN|的最大值为. (1)直线与椭圆公共点个数的讨论,是直线与椭圆位置关系等其他问题的基础.(2)依据直线与椭圆的交点个数,求参数时,联立方程并消元得到一元二次方程,将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.(3)当直线斜率存在时,则可用弦长公式求弦长.1.若P(m,n)是椭圆+=1上任意一点,则2m+n的取值范围是　　　　　. 解析:设t=2m+n,因为点P(m,n)是椭圆+=1上的点,所以直线2x+y-t=0与椭圆相交或相切.联立得消去y,整理得19x2-16tx+4(t2-3)=0,所以Δ=(-16t)2-4×19×4(t2-3)≥0,解得-≤t≤,所以2m+n的取值范围是[-,].答案:[-,]2.(2019·嘉兴基础测试)已知椭圆+y2=1(a>1),直线l经过点P(0,)交椭圆于A,B两点.(1)当l∥x轴时,|AB|=2,求椭圆方程;(2)求|AB|的取值范围.解:(1)当l∥x轴时,A,B的坐标是(±1,).所以+=1,a2=2,故椭圆方程为+y2=1.解:(2)当l⊥x轴时,|AB|=2.当斜率存在时,设l:y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2).由⇒(2k2+1)x2+2kx-1=0.Δ=8k2+4(2k2+1)=4(4k2+1),x1+x2=-,x1x2=-.|AB|=|x1-x2|=·=2.令2k2+1=t,则t≥1,|AB|=2=因为0<≤1,所以2≤|AB|≤.(当=,即t=2时,|AB|max=),故2≤|AB|≤,即|AB|的取值范围是[2,].考点二　椭圆中弦的相关问题[例2] (1)求直线l:x-y+b=0被椭圆+y2=1所截得的弦MN的中点轨迹方程;(2)已知点A(0,-1),能否找到一条直线l:x-y+b=0与椭圆+y2=1交于两个不同的点M,N,使得AM⊥AN,若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x,y),直线x-y+b=0与椭圆+y2=1联立得消去y得4x2+6bx+3b2-3=0,由Δ>0得-2<b<2,又x1+x2=-b,x==-b,-<x<,y===.消去参数b,得y=-x(-<x<).所以弦MN的中点的轨迹方程为y=-x(-<x<).解:(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y,得4x2+6bx+3b2-3=0,所以x1+x2=-b,x1x2=.又因为AM⊥AN,所以·=0,即(x1,y1+1)·(x2,y2+1)=0,又因为y1=x1+b,y2=x2+b,故2x1x2+(1+b)(x1+x2)+b2+2b+1=0,整理得2b2+b-1=0,所以b=-1或b=.当b=-1时,直线过A(0,-1),不符合题意,所以当b=时,存在满足题意的直线l. (1)直线与椭圆相交,常设一些中间变量而并不解出这些变量,利用这些变量架起已知量与未知量之间的桥梁,从而使问题得到解决,这种方法称为设而不求法,点差法和消参法都是设而不求法的一种,注意使用这些方法.(2)直线与椭圆相交,与弦相关的垂直、夹角问题,可考虑引入向量,利用向量的坐标运算能简化一些繁杂的运算.已知椭圆+=1(a>b>0)过点(1,),且离心率 e=.(1)求椭圆方程;(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点G(,0),求k的取值范围.解:(1)因为椭圆的离心率e=,所以=1-=,即4b2=3a2,①又椭圆过点(1,),所以+=1,②由①②得a2=4,b2=3,所以椭圆的方程为+=1.解:(2)由消去y整理,得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0,因为直线与椭圆交于不同的两点,所以Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,整理得m2<4k2+3.(*)设M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中点A(x0,y0),则x1+x2=-,x1x2=,所以x0=-,所以y0=kx0+m=-+m=,所以点A的坐标为(-,),所以直线AG的斜率为kAG==,又直线AG和直线MN垂直,所以·k=-1,所以m=-,将上式代入(*)式,可得()2<4k2+3,整理得k2>,即k>或k<-.所以实数k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).考点三　椭圆中的对称问题[例3] 已知椭圆C的方程为+=1,试确定m的取值范围,使得椭圆C上有不同的两点关于直线l:y=4x+m对称.解:法一　设椭圆上A,B两点关于直线l对称,且直线AB交l于M,则由已知可设直线AB的方程为y=-x+n,解方程组得xM=(n-m).由消去y,得13x2-8nx+16n2-48=0,(*)所以xM==,所以(n-m)=n,即n=-m.又A,B在椭圆上,所以(*)中Δ=64n2-4×13(16n2-48)>0,即4n2<13,所以4×m2<13,所以-<m<.即m的取值范围为(-,).法二　设A,B关于直线l对称,且直线AB交l于M,则由已知可设直线AB的方程为y=-x+n.解方程组得xM=(n-m).由消去y,得13x2-8nx+16n2-48=0,所以xM==,所以(n-m)=n,即n=-m.所以即M(-m,-3m).因为A,B在椭圆上,所以M在椭圆内,所以+<1,解得-<m<.即m的取值范围为(-,).法三　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB与l的交点M(x0,y0),则+=1,①+=1.②①-②得=-×=-=-,所以y0=3x0.③又M∈l,所以y0=4x0+m,④联立③④解得M(-m,-3m).因为A,B在椭圆上,所以M在椭圆内,所以+<1,解得-<m<.即m的取值范围为(-,). 椭圆上有A,B两点关于直线l对称,可转化为三个已知条件:(1)直线AB⊥直线l,即kAB·kl=-1;(2)由弦AB的中点在直线l上,即求得弦AB中点坐标代入直线l方程,方程成立;(3)点A,B在椭圆上,即设点A(x1,y1),B(x2,y2),则点的坐标代入椭圆方程成立,从而可用点差法解题.已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解:(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得(+)x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①设AB的中点为M,则M(,),代入直线方程y=mx+,解得b=-,②由①②得m<-或m>.解:(2)令t=∈(-,0)∪(0,),则t2∈(0,).则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)= |AB|·d=≤,当且仅当t2=时,等号成立,此时满足t2∈(0,).故△AOB面积的最大值为.考点四　椭圆中与三角形相关的问题[例4] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为时,求k的值.解:(1)由已知条件得a=2,e==,c=,b=,故椭圆C的方程为+=1.解:(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则由消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.因为直线y=k(x-1)过椭圆内的点(1,0),所以直线y=k(x-1)与椭圆C恒有两个不同交点,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,S△AMN=×1×|y1-y2|=×|kx1-kx2|==×=,即7k4-2k2-5=0,解得k=±1. (1)椭圆中涉及三角形面积可考虑用S△=×底×高求面积,这时三角形底一般是直线与椭圆相交弦的长,用弦长公式求得,高一般用点到直线的距离公式求得;(2)求三角形面积时,可根据具体问题选择便于求出底边长及高的情况进行求解,这也是求三角形面积应注意的问题;(3)四边形面积可以通过分割的方法转化为求三角形的面积.(2019·金华一中模拟)已知直线y=x+m(m>0)与椭圆3x2+y2=1交于A,B不同两点,O为坐标原点.(1)若⊥,求m的值;(2)若△OAB为锐角三角形,求△OAB面积S的取值范围.解:(1)设A(x1,x1+m),B(x2,x2+m),x1<x2,联立方程组消元得4x2+2mx+m2-1=0,则x1+x2=-,x1x2=,由Δ>0,得m2<.由⊥,得·=x1x2+(x1+m)(x2+m)=m2-=0,又m>0,解得m=.解:(2)由(1)得4x2+2mx+m2-1=0,解得x1=,x2=.因为△OAB为锐角三角形,故·>0,·>0,·>0,即有解得<m<1.|AB|=|x1-x2|=,原点O到直线AB的距离为,所以△OAB 面积S==,又<m2<1,所以△OAB面积S的取值范围是(,].直线与椭圆相交弦问题[例题] 已知椭圆G: +y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由已知得a=2,b=1,所以c==.所以椭圆G的焦点坐标为(-,0),(,0),离心率为e==.解:(2)由题意知|m|≥1.当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为(1, ),(1,-),此时|AB|=.当m=-1时,同理可得|AB|=.当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.又由l与圆x2+y2=1相切,得=1,即m2k2=k2+1.所以|AB|====.由于当m=±1时,|AB|=也适合上式,所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).因为|AB|==≤2,且当m=±时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.规范要求:(1)求离心率e,要紧扣其定义e=.(2)联立方程组,利用根与系数的关系、弦长公式求解是此类问题的常用解法.温馨提示:解答本题时易忽略的步骤(1)对m的范围不作出判断.(2)判断出m的范围后不去分m=-1,m=1,|m|>1进行讨论.(3)化简|AB|=时,易忽略m的范围而化简|AB|=.(4)对|AB|的最值求法不会使用基本不等式变形求最值.对于直线与椭圆的综合问题,因为其综合性强,运算量大,能力要求较强,注意平时训练要严谨,以提高综合解题能力.[规范训练] (2018·天津卷)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以椭圆的方程为+=1.解:(2)解设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y2.由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.所以k的值为或.类型一　直线与椭圆的位置关系问题1.直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是(　B　)(A)(1,+∞) (B)(1,3)∪(3,+∞)(C)(3,+∞) (D)(0,3)∪(3,+∞)解析:由得(m+3)x2+4mx+m=0(m>0).由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.故选B.2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(　C　)(A)3 (B)2 (C)2 (D)4解析:根据题意设椭圆方程为+=1(b>0),则将x=-y-4代入椭圆方程,得4(b2+1)y2+8b2y-b4+12b2=0,因为椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,所以Δ=(8b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0,所以b2=3,长轴长为2=2.故选C.类型二　直线与椭圆的弦长问题3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　C　)(A)2 (B) (C) (D)解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-t,x1x2=.所以|AB|=|x1-x2|=·=·=·,当t=0时,|AB|max=.4.(2019·七彩阳光联盟第一次联考)直线l与椭圆C: +y2=1相交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于C,D两点.如果C,D是线段AB的两个三等分点,则直线l的斜率为　　　　　　. 解析:设l:y=kx+m,则C(-,0),D(0,m),CD中点为M(-,),由于kOM·k=-,从而-k2=-⇒k=±.答案:±5.已知A(0,-1),直线l:x+y-h=0与椭圆+y2=1交于两个不同的点M,N,当∠MAN为锐角时,h的取值范围是　　　　,当∠MAN为钝角时,h的取值范围是　　　　. 解析:由得4x2-6hx+3h2-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),=(x1,y1+1),=(x2,y2+1),当∠MAN为锐角时,·>0,即2h2+h-1>0,故h<-1或h>.又Δ=48-12h2>0,即-2<h<2,所以-2<h<-1或<h<2.同理∠MAN为钝角时,解得-1<h<.答案:(-2,-1)∪(,2)　(-1,)类型三　椭圆中与三角形相关的问题6.(2019·全国Ⅲ卷)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　. 解析:由已知可得a2=36,b2=20,所以c2=a2-b2=16,所以c=4,所以|MF1|=|F1F2|=2c=8.因为|MF1|+|MF2|=2a=12,所以|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则=·|F1F2|·y0=4y0,又=×4×=4,所以4y0=4,解得y0=,所以+=1,解得x0=3(x0=-3(舍去)),所以M的坐标为(3,).答案:(3,)