2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十二章第三节　直线与椭圆的位置关系(二)

第三节　直线与椭圆的位置关系(二)

复习目标
学法指导
1.直线与椭圆的位置关系.
2.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法.
1.理解研究直线与椭圆位置关系的基本思路.
2.理解几何法与代数法求解的基本步骤.


一、最值问题
1.椭圆上的点到某一焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c,即椭圆长轴的端点到其中一个焦点的距离为a-c,到另一个焦点的距离为a+c.
2.椭圆的焦点三角形面积的最大值为bc,即短轴端点与两焦点组成的焦点三角形面积最大.

1.概念理解
椭圆中最值可结合几何图形理解,也可转化为函数求最值问题,解题时应结合具体情况进行分析.
2.与最值相关的结论
因椭圆方程+=1在形式上可化为+=1,与三角函数中sin2α+cos2α=1在形式上相同,所以椭圆方程也可设为(其中θ为参数),从而使问题转化为三角函数问题.
二、定值、定点问题
1.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点且与长轴垂直的弦,称为椭圆的通径,其长为定值.
2.设P点是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2为焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=,=b2tan .
三、范围问题
1.椭圆+=1(a>b>0)中,-a≤x≤a,-b≤y≤b.
2.椭圆离心率为e,02a-2c,
所以3c>a,即>,
又当点P不在短轴上,
所以|PF1|≠|BF1|,即2c≠a,
所以≠.
所以椭圆的离心率满足4,y=b时,f(b)=2b.
所以f(b)=
答案:
5.已知点A在椭圆+=1上,点P满足=(λ-1)(λ∈R)(O是坐标原点),且·=72,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为　　　　. 
解析:因为=(λ-1),所以=λ,
即O,A,P三点共线,因为·=72,
所以·=λ2=72,
设A(x,y),OA与x轴正方向的夹角为θ,线段OP在x轴上的投影长度为=|λ||x|===≤=15,
当且仅当|x|=时取等号.
答案:15

考点一　最值问题
[例1] P,Q,M,N四点都在椭圆x2+=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知与共线,与共线,且·=0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
解:由题意知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ,NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,

又PQ过点F(0,1),
故PQ的方程为y=kx+1,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得(2+k2)x2+2kx-1=0,
则x1=,x2=,
从而|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,
即|PQ|=,
①当k≠0时,MN的斜率为-,
推得|MN|=,
故四边形面积S=|PQ|·|MN|
=
=,
令u=k2+得S==2(1-).
因u=k2+≥2,当k=±1时,u=2,S=,且S是以u为自变量的增函数,所以≤Sb>0)的离心率为,且过点(,),点P在第四象限,A为左顶点,B为上顶点,PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求△PCD面积的最大值.
解:(1)由已知得=⇒=,
将点(,)代入+=1,
可得+=1.解得b2=1,a2=4,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)可得A(-2,0),B(0,1).
设P(m,n),m>0,n0)的离心率为,且过点P(1,-).直线l:y=kx+m交椭圆E于不同的两点A,B,设线段AB的中点为M.
(1)求椭圆E的方程;
(2)当△AOB的面积为(其中O为坐标原点)且4k2-4m2+3≠0时,试问在坐标平面上是否存在两个定点C,D,使得当直线l运动时,|MC|+|MD|为定值?若存在,求出点C,D的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由于椭圆的离心率为,则
a2∶b2∶c2=4∶3∶1,
故设椭圆E:+=λ(λ>0),
又椭圆过点P(1,-),从而λ=+=1,
从而椭圆E的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
则
从而y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
从而点M的坐标为(,),
由于|AB|=|x1-x2|
=·,
点O到直线l的距离为d=,
则△AOB的面积S△AOB=|AB|·d
=2·.
由题得S△AOB=2·=,
从而化简得3(4k2+3)2-16m2(4k2+3)+16m4=0,
故[(4k2+3)-4m2]·[3(4k2-3)-4m2]=0,
即m2=或m2=.
又由于4k2-4m2+3≠0,从而m2=.
当m2=时,由于xM=,yM=,
从而()2+()2=()2+()2
==,
即点M在椭圆+=1上.
由椭圆的定义得,存在点C(-,0),D(,0)或D(-,0),C(,0),使得|MC|+|MD|为定值2.
考点三　范围问题
[例3] 已知圆G:x2+y2-2x-y=0经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m>a)作倾斜角为π的直线l交椭圆于C,D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.
思路点拨:(1)由圆G过椭圆的右焦点和上顶点,可分别得出c,b的值;(2)将直线l的方程代入椭圆方程得到一元二次方程,设C(x1,y1),D(x2,y2),可求得x1+x2,x1x2,由点F在以线段CD为直径的圆E的内部,得·0可解之.
解:(1)因为圆G:x2+y2-2x-y=0经过点F,B,
所以F(2,0),B(0,),
所以c=2,b=,所以a2=b2+c2=6,
故椭圆的方程为+=1.
(2)由题意知直线l的方程为y=-(x-m),m>,
由
消去y,得2x2-2mx+(m2-6)=0.
由Δ=4m2-8(m2-6)>0,
解得-2b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,证明k1·k2=1;
(3)设λ=+,求证λ为定值.
(1)解:由题意知,椭圆的离心率为=,得a=c,
又2a+2c=4(+1),
所以可解得a=2,c=2,
所以b2=a2-c2=4,
所以椭圆的标准方程为+=1;
所以椭圆的焦点坐标为(±2,0),
因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为-=1.
(2)证明:设P(x0,y0),则k1=,k2=,
所以k1k2==1.
(3)证明:设直线AB方程为y=k(x+2),
则直线CD方程为y=(x-2),
由
得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-,x1x2=,
|AB|=|x1-x2|=,
同理|CD|=,
λ=+=+=.
即λ为定值.
类型三　范围问题
6.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,且经过点M(2,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过圆O:x2+y2=上任意一点作圆的一条切线l交椭圆C于A,B两点.
①求证:OA⊥OB;
②求|AB|的取值范围.
(1)解:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),因为长轴长是短轴长的倍,所以椭圆方程为+=1.
因为M(2,)在椭圆C上,所以+=1,
所以b2=4,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)①证明:当切线l的斜率不存在时,切线方程为x=(或x=-),与椭圆+=1的两个交点为(,)(或(-,)),满足⊥,
即OA⊥OB;
当切线l的斜率存在时,可设l的方程为y=kx+m,将l方程与椭圆方程联立得
消去y得x2+2(kx+m)2=8.
即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=-+m2
=.
因为l与圆x2+y2=相切,
所以=,
所以3m2=8k2+8,
所以·=x1x2+y1y2==0,
所以OA⊥OB.
综上,OA⊥OB.
②解:当l的斜率存在时,
由①可知(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=-4×
=,
|AB|=
=
=
=
=.
当k≠0时,|AB|=,
因为4k2++4≥8,
所以00,得00)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|-|0,得k2