2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析2.1　函数及其表示 学案

温馨提示：

 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析

考点一　函数的定义域 

1.函数y=的定义域是 (　　)

A.(-1,3)      B.(-1,3]

C.(-1,0)∪(0,3)　　  D.(-1,0)∪(0,3]

2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是

(　　)

A.[-1,2 019]    B.[-1,1)∪(1,2 019]

C.[0,2 020]     D.[-1,1)∪(1,2 020]

3.(2020·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6],则函数的定义域为

(　　)

A.(0,3)   B.[1,3)∪(3,8]

C.[1,3)   D.[0,3)

4.函数f(x)=lg+(4-x)0的定义域为____________. 世纪金榜导学号 

【解析】1.选D.由题意得

解得-1<x≤3且x≠0,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].

2.选B.由0≤x+1≤2 020,得-1≤x≤2 019,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-1,1)∪(1,2 019].

3.选D.因为函数f(x)的定义域为[0,6],所以0≤2x≤6,解得0≤x≤3.又因为x-3≠0,所以函数的定义域为[0,3).

4.由已知得解得x>2且x≠3且x≠4,所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞).

答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)

题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是[0,2 020]”改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2 020]”,则函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________. 

【解析】由0≤x≤2 020,得-1≤x-1≤2 019,再由-1≤x+1≤2 019,解得-2≤x≤2 018,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2 018].

答案:[-2,1)∪(1,2 018]

1.具体函数y=f(x)的定义域

2.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域

解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x,还是求整体的取值范围.

(1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域.

(2)已知y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.

【秒杀绝招】　

1.排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证.

2.转化法解T4,将二次函数的定义域转化为二次不等式的解集,利用三个二次的关系解题.

考点二　求函数解析式 

【典例】1.已知f=ln x,则f(x)=________. 

2.已知f=x2+x-2,则f(x)=________. 

3.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________. 

4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,则f(x)=________. 

【解题导思】

【解析】1.设t=+1(t>1),则x=,

代入f=ln x得f(t)=ln,

所以f(x)=ln (x>1).

答案:ln(x>1)

2.因为f=x2+x-2=-2,

又因为x+≤-2或x+≥2,

所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).

答案:x2-2(x≤-2或x≥2)

3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由f(0)=2,得c=2,

f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,

所以即

所以f(x)=x2-x+2.

答案:x2-x+2

4.在f(x)=2f·-1中,将x换成,则换成x,

得f=2f(x)·-1,

由

解得f(x)=+.

答案:+

　 函数解析式的求法

(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.

(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.

(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.

(4)消去(方程组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).

1.已知f(+1)=x+2,则f(x)=________. 

【解析】令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,

所以f(x)=x2-1(x≥1).

答案:x2-1(x≥1)

2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________. 

【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),

则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,

所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立,

所以解得

所以f(x)=2x+7.

答案:2x+7

考点三　分段函数及其应用 

分段函数的求值问题

【典例】已知f(x)=则f+f的值为 (　　)

A.    B.-    C.-1   D.1

【解析】选D.f+f=f+1+

f=cos+1+cos=1.

如何求分段函数的函数值?

提示:分段函数求函数值时,要根据自变量选取函数解析式,然后再代入.

分段函数与方程问题

【典例】已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)= 世纪金榜导学号(　　)

A.-   B.-   C.-   D.-

【解析】选A.当a≤1时不符合题意,所以a>1,

即-log2(a+1)=-3,解得a=7,

所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.

求分段函数含有参数的函数值,如何列方程?

提示:列方程时,若自变量的范围确定时,则直接代入;若不确定,则需要分类讨论.

分段函数与不等式问题

【典例】设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________. 世纪金榜导学号 

【解析】令g(x)=f(x)+f,

当x≤0时,g(x)=f(x)+f=2x+;

当0<x≤时,g(x)=f(x)+f=2x+x+;

当x>时,g(x)=f(x)+f=2x-1,

写成分段函数的形式:g(x)=f(x)+f=函数g(x)在区间(-∞,0],,三段区间内均连续单调递增,且g=1,20+0+>1,(+2)×20-1>1,

可知x的取值范围是.

答案:

如何求解由分段函数构成的不等式?

提示:求解分段函数构成的不等式,关键是确定自变量在分段函数的哪一段,用对解析式.

1.设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)= (　　)

A.3　　   B.6    C.9    D.12

【解析】选C.因为函数f(x)=

所以f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3,

f(log212)==×=12×=6,则有f(-2)+f(log212)=3+6=9.

2.(2020·长沙模拟)已知函数f(x)=那么f(f(-3))=________. 

【解析】由已知得f(-3)=2-(-3)=5,从而f(f(-3))=f(5)=52=25.

答案:25

1.已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),如果f(x+2 020)=那么f·f= (　　)

A.2 020   B.    C.4   D.

【解析】选C.当x≥0时,有f=sin x,

所以f=sin =1,

当x<0时,f=lg(-x),

所以f(-7 980)=f(-10 000+2 020)=lg10 000=4,

f·f=1×4=4.

2.在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y.那么你认为y是n的函数吗?如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系.如果不是,请说明理由.

【解析】y是n的函数.理由如下:n任取一个数字,就有0到9之间的一个数字与之对应,符合函数的定义,所以函数的定义域是{1,2,3,4,…,n}(其中n是圆周率小数点后面的位数);值域是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};对应关系是y与π的小数点后第n位上的数字对应.

关闭Word文档返回原板块