2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析2.3函数的奇偶性、对称性与周期性 学案

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核心考点·精准研析

考点一　函数奇偶性的判断 

1.下列函数为奇函数的是 (　　)

A.f(x)=　    B.f(x)=ex

C.f(x)=cos x　   D.f(x)=ex-e-x

2.已知函数f(x)=3x-,则f(x) (　　)

A.是奇函数,且在R上是增函数

B.是偶函数,且在R上是增函数

C.是奇函数,且在R上是减函数

D.是偶函数,且在R上是减函数

3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则 (　　)

A.函数f(g(x))是奇函数

B.函数g(f(x))是奇函数

C.函数f(x)·g(x)是奇函数

D.函数f(x)+g(x)是奇函数

4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是              世纪金榜导学号(　　)

A.f(x)是奇函数　　   B.f(x)是偶函数

C.f(x)+5是奇函数　  D.f(x)+5是偶函数

【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B, f(-x)=e-x=≠-f(x),故不是奇函数;对于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函数;对于D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),是奇函数.

2.选A.因为函数f(x)的定义域为R,

f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),

所以函数f(x)是奇函数.

因为函数y=在R上是减函数,

所以函数y=-在R上是增函数.

又因为y=3x在R上是增函数,

所以函数f(x)=3x-在R上是增函数.

3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.

4.选C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.

　判断函数奇偶性的方法

(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.

(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.

(3)验证法:即判断f(x)±f(-x)是否为0.

(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

考点二　函数的周期性及应用 

【典例】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈时,f(x)=x3-3x,则f(2 018)=              (　　)

A.2　　  B.-18　  C.18　  D.-2

2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 017)+f(2 019)的值为              (　　)

A.0　   B.-4   C.-2   D.2

3.(2019·重庆模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________.              世纪金榜导学号 

【解题导思】

【解析】1.选D.因为f(x)满足f(x+5)=f(x),

所以f(x)是周期为5的函数,

所以f(2 018)=f(403×5+3)

=f(3)=f(5-2)=f(-2),

因为f(x)是奇函数,且当x∈时,f(x)=x3-3x,

所以f(-2)=-f(2)=-(23-3×2)=-2,

故f(2 018)=-2.

2.选A.当x≥0时,f(x+2)=-,

所以f(x+4)=f(x),

即4是f(x)(x≥0)的一个周期.

所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,

f(2 019)=f(3)=-=-1,

所以f(-2 017)+f(2 019)=0.

3.根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,

则有f(x)=f(6-x),

又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),

则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),

则f(x)的最小正周期是12,

故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.

答案:2

1.抽象函数的周期性

(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.

(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

(4)如果f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|.

(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|.

(6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.

2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.

1.(2020·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为              (　　)

A.1   B.-1   C.0   D.2

【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,

所以f=f=f,

因为f(x)为奇函数,所以 f=-f=-1.

2.(2019·长春模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=则f(-7)+f(8)=              (　　)

A.11   B.   C.7   D.

【解析】选A.根据f(x)的周期是6,

故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4,

f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,

所以f(-7)+f(8)=11.

3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=____________. 

【解析】因为f(x+4)=f(x-2),

所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,

所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).

又f(x)是定义在R上的偶函数,

所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.

答案:6

考点三　函数性质的综合应用 

求函数值、解析式或参数值

【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=              (　　)

A.e-x-1   B.e-x+1

C.-e-x-1   D.-e-x+1

2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=__________. 

【解析】1.选D.当x<0时,

则-x>0,则有f(-x)=e-x-1,

又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),

所以f(x)=-e-x+1.

2.f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.

答案:12

1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式?

提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.

2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值?

提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.

奇偶性与单调性交汇问题

【典例】函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是              (　　)

A.[-2,2]    B.[-1,1]   C.[0,4]   D.[1,3]

【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x满足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x满足1≤x≤3.

解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么?

提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决.

奇偶性与周期性交汇问题

【典例】(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=              (　　)

世纪金榜导学号

A.-50    B.0   C.2   D.50

【解析】选C.f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x),

则f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.

又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.

如何求解项数较多的式子的值?

提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解.

1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)= 则g(-8)= (　　)

A.-2　   B.-3   C.2   D.3

【解析】选A.方法一:当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),

所以f(x)=-log3(1-x).

因此g(x)=-log3(1-x),x<0,

故g(-8)=-log39=-2.

方法二:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.

2.(2020·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为              (　　)

A.(-1,4)   B.(-2,1)    C.(-1,2)   D.(-1,0)

【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)=f(-1)=f(1),即<1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4.

3.设函数f(x)=为奇函数,则a=______. 

【解析】因为f(x)=为奇函数,

所以f(1)+f(-1)=0,

即+=0,

所以a=-1.

答案:-1

1.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=(　　)

A.ex-e-x    B.(ex+e-x)

C.(e-x-ex)   D.(ex-e-x)

【解析】选D.由f(x)+g(x)=ex　①,

可得f(-x)+g(-x)=e-x.

又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,

可得f(x)-g(x)=e-x　②,

则两式相减,可得g(x)=.

2.(2020·南昌模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)-f(x)=0,f(0)=,则f(10)等于________. 

【解析】因为f(2-x)-f(x)=0,

所以f(x)=f(2-x),

又f(x)为偶函数,

所以f(x)=f(x-2),

故f(x)的周期T=2,f(10)=f(2×5+0)=f(0)=.

答案:

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