2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析2.5对数与对数函数 学案

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核心考点·精准研析

考点一　对数式的化简与求值  

1.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为

(　　)

A.1010.1  B.10.1  C.lg 10.1  D.10-10.1

2.(2020·深圳模拟)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=              (　　)

A.-1   B.1   C.2    D.4

3.计算log23·log38+(=________. 

4.已知3a=4b=,则+=________. 世纪金榜导学号 

【解析】1.选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,

则m2-m1=-1.45-(-26.7)

=25.25=lg,

lg=10.1,=1010.1.

2.选C.设(x,y)是函数y=f(x)的图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),

由已知知(-y,-x)在函数y=2x+a的图象上,

所以-x=2-y+a,

解得y=-log2(-x)+a,

即f(x)=-log2(-x)+a,

所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2,故选C.

3.原式=·+=3+=3+2=5.

答案:5

4.因为3a=4b=,

所以a=log3,

b=log4,=lo3,=lo4,

所以+=lo3+lo4=lo12=2.

答案:2

　对数运算的一般思路

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.

(2)将同底对数的和、差、倍合并.

(3)ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.

(4)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式.

考点二　对数函数的图象及其应用 

【典例】1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是              (　　)

A.a>1,c>1　　　　    B.a>1,0<c<1

C.0<a<1,c>1　　　　    D.0<a<1,0<c<1

2.在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a>0,且a≠1)的图象可能是

(　　)

3.已知函数f(x)=g(x)=log2x,则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为________. 

【解题导思】

【解析】1.选D.由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y>0,即logac>0,所以0<c<1.

2.选D.当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=loga的图象过定点且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=loga的图象过定点且单调递增,各选项均不符合.

3.如图,函数g(x)的图象与函数f(x)的图象交于两点,且均在函数y=8x-8(x≤1)的图象上.

答案:2

1.应用对数型函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

2.对数函数图象的规律

在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

1.函数y=2log4(1-x)的图象大致是 (　　)

【解析】选C.函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除D.

2.(2020·北京模拟)已知函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是              (　　)

A.(-∞,2)      B.(-∞,e)

C.(2,e)       D.(e,+∞)

【解析】选B.在同一直角坐标系中作出函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象,

当y=ln x向左平移a(a>0)个单位长度,恰好过(0,1)时,函数f(x)与g(x)就不存在关于y轴对称的点,所以0<a<e,

当y=ln x向右平移|a|(a<0)个单位长度,函数f(x)与g(x)总存在关于y轴对称的点,

当a=0时,显然满足题意,综上:a<e.

考点三　对数函数的性质及其应用 

比较大小问题

【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 (　　)

A.a<b<c        B.a<c<b

C.c<a<b        D.b<c<a

【解析】选B.a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,所以a<c<b.

如何比较指数式与对数式的大小?

提示:数形结合或找中间量(如1,0,-1等),再结合函数单调性比较大小.

与对数函数有关的不等式问题

【典例】当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是 (　　)

A.        B.

C.(1,)         D.(,2)

【解析】选B.由题意知0<a<1,

则函数y=4x与y=logax的大致图象如图,

则只需满足loga>2,

解得a>,所以<a<1.

一边为指数式,另一边为对数的不等式如何求解?

提示:将两边分别看成一个函数,画出两个函数的图象,结合图象的交点求解.

对数函数性质的综合应用

【典例】已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 (　　)

世纪金榜导学号

A.f(x)在(0,2)上单调递增

B.f(x)在(0,2)上单调递减

C.f(x)的图象关于直线x=1对称

D.f(x)的图象关于点(1,0)对称

【解析】选C.由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误;又f'(x)=-=(0<x<2),在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,A,B错误.

【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:

选C.由题意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定义域为(0,2),f'(x)=+=,

由得0<x<1;

由得1<x<2,

所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A,B;

又f=ln+ln=ln,

f=ln+ln=ln,

所以f=f=ln,所以排除D.

如何求解对数函数性质的综合问题?

提示:认真联想对数函数的各个性质的定义及其作用,在其交汇点处寻找突破口.

1.已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则f(-2)________f(a+1).(填“<”“=”或“>”) 

【解析】因为f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以a>1,所以a+1>2.因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)<f(a+1).

答案:<

2.(2019·潍坊模拟)已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则f(a)=______________. 

【解析】当2-a<2,即a>0时,f(2-a)=-log2(1+a)=1.解得a=-,不合题意.

当2-a≥2,即a≤0时,f(2-a)=2-a-1=1,

即2-a=2,解得a=-1,

所以f(a)=f(-1)=-log24=-2.

答案:-2

1.(2019·绵阳模拟)若x,y,z∈R+,且3x=4y=12z,∈(n,n+1),n∈N,则n的值是

(　　)

A.2   B.3   C.4   D.5

【解析】选C.设3x=4y=12z=t(t>1),

则x=log3t,y=log4t,z=log12t,

所以==+

=log312+log412

=2+log34+log43.

因为1<log34<2,0<log43<1,

所以1<log34+log43<3;

又log34+log43>2=2,

所以4<2+log34+log43<5,

即∈(4,5).

所以n=4.

2.(2020·扬州模拟)设f(x)=a=0.7-0.5,b=log0.50.7,c=log0.75,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为________. 

【解析】当x≥0时,f(x)=x+1是单调增函数,所以有f(x)≥f(0)=1,

当x<0时,f(x)=-x2-1是单调增函数,所以有f(x)<-1,

所以函数f(x)是R上的增函数.

因为a=0.7-0.5>0.70=1,0=log0.51<log0.50.7<log0.50.5=1,c=log0.75<log0.71=0,所以有a>1,0<b<1,c<0⇒a>b>c,而函数f(x)是R上的增函数,所以f(a),f(b),f(c)的大小关系为f(a)>f(b)>f(c).

答案:f(a)>f(b)>f(c)

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