2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析3.1　变化率与导数、导数的计算 学案

温馨提示：

 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析

考点一　导数的计算 

1.下列求导运算正确的是 (　　)

A.(sin a)′=cos a(a为常数)

B.()′=

C.(cos x)′=sin x

D.(x-5)′=- x-6

2.函数f(x)=x2+ln x+sin x+1的导函数f′(x)= (　　)

A.2x++cos x+1   B.2x-+cos x

C.2x+-cos x　　  D.2x++cos x

3.函数f(x)=的导函数f′(x)= (　　)

A.tan x　 B.-  C.- D.-

4.(2018·天津高考)已知函数f(x)=exln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为________.              世纪金榜导学号 

【解析】

1.选B.(sin a)′=0(a为常数),()′=()′

==,(cos x)′=-sin x,(x-5)′=-5x-6.

2.选D.由f(x)=x2+ln x+sin x+1得f′(x)=2x++cos x.

3.选D.f′(x)==-.

4.因为f(x)=exln x,所以f′(x)=(exln x)′=(ex)′ln x+ex(ln x)′=

ex·ln x+ex·,f′(1)=e1·ln 1+e1·=e.

答案:e

　题2中,若将“f(x)=x2+ln x+sin x+1”改为“f(x)=+”,则f′(x)=________. 

【解析】因为f(x)=+=,

所以f′(x)=′==.

答案:

【秒杀绝招】　

排除法解T3, 根据sin x=0时f(x)无意义,所以f′(x)也无意义排除A,C,

cos x=0时f(x)有意义,所以f′(x)也应有意义排除B.

考点二　导数的简单应用 

【典例】1.f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于 (　　)

A.   B.   C.   D.

2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)=2xf′(e)-ln x,则f′(e)= ________. 

3.(2020·宝鸡模拟)二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,若其导函数为

f′(x)=3x-,则f(x)=______. 世纪金榜导学号 

【解题导思】

【解析】1.选D.因为f′(x)=3ax2+6x,所以f′(-1)=3a-6=4,解得a=.

2.因为f(x)=2xf′(e)-ln x,

所以f′(x)=2f′(e)-,令x=e得:

f′(e)=2f′(e)-,即f′(e)=.

答案:

3.根据题意,二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax2+bx,

则有f′(x)=2ax+b,

又由f′(x)=3x-,得2ax+b=3x-,

则a=,b=-,故f(x)=x2-x.

答案:x2-x

　含参数的函数的导数要注意的两点

(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.

(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其导数f′(x).

1.已知f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=x3+f′x2-x,则f(1)=(　　)

A.-2    B.2    C.-1    D.1

【解析】选C.由f(x)=x3+f′x2-x,得

f′(x)=3x2+2f′x-1,

所以f′=+ f′-1,所以f′=-1,f(x)=x3-x2-x,

所以f(1)=13-12-1=-1.

2.函数f(x)=ln x+a的导函数为f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为              (　　)

A.(1,+∞)   B.(0,1)

C.(1,)    D.(1,)

【解析】选A.由函数f(x)=ln x+a可得f′(x)=,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的0<x0<1,则=ln x0+a(0<x0<1).

由于>1,ln x0<0,所以a=-ln x0>1,故有a>1.

考点三　导数几何意义的运用 

已知切点求切线的方程问题

【典例】(2019·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为____________. 

【解析】y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以k=y′|x=0=3,

所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.

答案:3x-y=0

用导数的几何意义求曲线的切线方程的关键是什么?

提示:关键是确定切点坐标.

未知切点求切线的方程问题

【典例】已知函数f(x)=x3+x-16,若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为________. 

【解析】设切点坐标为(x0,y0),

则直线l的斜率为f′=3+1,

所以直线l的方程为

y=(3+1)(x-x0)++x0-16,

因为直线l过原点,

所以0=(3+1)(0-x0)++x0-16,

整理得,=-8,所以x0=-2,

所以y0= (-2)3+(-2)-16=-26,

f′=3×(-2)2+1=13.

所以直线l的方程为y=13x.

答案:y=13x

如何从题目条件判断是否知道切点?

提示:从题目条件的叙述方式判断,一般来说,“过××点”的切线,都是不知道切点.知道切点的叙述方式为“在××点处的切线”.

求参数的值

【典例】(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则              (　　)

世纪金榜导学号

A.a=e,b=-1   B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1   D.a=e-1,b=-1

【解析】选D.令f(x)=aex+xln x,

则f′(x)=aex+ln x+1,f′(1)=ae+1=2,得a==e-1.

f(1)=ae=2+b,可得b=-1.

切线问题中可以用来列出等量关系的依据有哪些?

提示:(1)切点处的导数为切线斜率;

(2)切点在切线上;

(3)切点在曲线上.

1.(2019·吉安模拟)已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有

 (　　)

A.0   B.1   C.2    D.3

【解析】选C.若直线与曲线相切于点(x0,y0)(x0≠0),

则k===+x0+1,

因为y′=3x2,所以=3,

所以3=+x0+1,所以2-x0-1=0,

所以x0=1或x0=-,

所以过点P(1,1)与曲线y=x3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,所以共有2条.

2.(2020·天津模拟)已知函数f(x)=ex-x-2,则这个函数的图象在处的切线方程为________. 

【解析】求导函数得f′(x)=ex-1,f′=e0-1=0,又因为f=e0-2=-1,

所以函数f(x)=ex-x-2的图象在处的切线方程为y-=0,即y=-1.

答案:y=-1

3.(2020·十堰模拟)若直线y=12x+m与曲线y=x3-2相切,则m=________. 

【解析】y=x3-2的导数为y′=3x2,直线y=12x+m与曲线y=x3-2相切,

设切点为(s,t),可得3s2=12,12s+m=s3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14.

答案:14或-18

1.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为              (　　)

A.∪   B.

C.∪   D.

【解析】选C.因为y′=3x2-≥-,

故切线的斜率k≥-,

所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.

2.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3处的切线方程为________. 

【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于-,即f′(3)=-.又g(x)=xf(x),所以g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=3f(3)=3,g′(3)=1+3×=0,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0.

答案:y-3=0

关闭Word文档返回原板块