2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析3.3　利用导数研究函数的极值、最值 学案

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核心考点·精准研析

考点一　用导数解决函数的极值问题 

由图象判断函数的极值

【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=________. 

【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;

根据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;

所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;

根据根与系数的关系得,

所以2b=-3a,c=-6a,

所以===1.

答案:1

由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么?

提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.

求已知函数的极值

【典例】已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数). 世纪金榜导学号

(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.

(2)求函数f(x)的极值.

【解析】(1)由f(x)=x-1+,

得f ′(x)=1-.

又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,

所以f ′(1)=0,即1-=0,解得a=e.

(2)f ′(x)=1-,

当a≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.

当a>0时,令f ′(x)=0,得ex=a,即x=ln a,

当x∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0;

当x∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0,

所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,

在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=

ln a,无极大值.

综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;

当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.

若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a或b吗?f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗?

提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是a和b.

已知函数极值情况求参数值(范围)

【典例】设a∈R,若函数y=x+aln x在区间上有极值点,则a的取值范围为              世纪金榜导学号(　　)

A.

B.

C.∪(e,+∞)

D.(-∞,-e)∪

【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+aln x在区间

上有极值点,所以y′在区间上有零点.

f′(x)=1+=(x>0).

所以f′·f′(e)<0,

所以(ea+1)<0,

解得-e<a<-,

所以a的取值范围为.

已知函数极值求参数,常转化为什么问题?

提示:常转化为方程的根和函数零点的问题.

1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是              (　　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

【解析】选D.由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f′(x)>0;当-2<x<1时,0<1 -x<3,此时f′(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f′(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.

2.设函数f(x)=ln x+ax2-x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________. 

【解析】函数f(x)=ln x+ax2-x,函数定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax-.

若x=1是函数f(x)的极大值点,则f′(1)=0,解得a=;所以f(x)=ln x+x2-x,

f′(x)=+x-==;

当f′(x)>0时,0<x<1或x>2;

函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;

当f′(x)<0时,1<x<2,函数在(1,2)上单调递减;

所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln 2-2.

答案:ln 2-2

3.(2019·荆门模拟)已知函数f(x)=x2+2x-2xex.求函数f(x)的极值.

【解析】因为函数f(x)=x2+2x-2xex(x∈R),

所以f′(x)=2x+2-2ex-2xex=(2x+2)(1-ex),

由f′(x)=0,得x=-1或x=0,

列表讨论,得:

所以当x=-1时,

f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×=-1,

当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0.

　设函数f(x)=ex(sin x-cos x)(0≤x≤2 016π),则函数f(x)的各极大值之和为              (　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】选D.因为函数f(x)=ex(sin x-cos x),

所以f′(x)=[ex(sin x-cos x)]′=ex(sin x-cos x)+ex(cos x+sin x)=2exsin x;

令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);

所以当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增,当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减;所以当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin (2kπ+π)-cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;

又因为0≤x≤2 016π,所以0和2 016π都不是极值点,

所以函数f(x)的各极大值之和为:

eπ+e3π+e5π+…+e2 015π=.

考点二　用导数解决函数的最值问题 

【典例】(2019·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]上的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.

【解题导思】

【解析】f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),

令f′(x)=0;得x=0或x=,

因为0<a<3,所以<1,

所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,

所以f(x)在[0,1]上的最小值为f=-+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.

于是m=-+2,M=

所以M-m=

当0<a<2时,可知2-a+单调递减,所以M-m的取值范围是.

当2≤a<3时,单调递增,

所以M-m的取值范围是.

综上,M-m的取值范围是.

　求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路

(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f ′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.

(2019·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).

(1)讨论f(x)的单调性.

(2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.

【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=-4mx=,

当m≤0时,f′(x)>0,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当m>0时,令f′(x)>0,得0<x<,

令f′(x)<0得x>,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.

(2)由(1)知,当m>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.

所以f(x)max=f=ln-2m·-n

=-ln 2-ln m--n=-ln 2,

所以n=-ln m-,所以m+n=m-ln m-,

令h(x)=x-ln x-(x>0),则h′(x)=1-=,

所以h(x)在上单调递减,

在上单调递增,所以h(x)min=h=ln 2,

所以m+n的最小值为ln 2.

考点三　用导数解决生活中的优化问题 

【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.              世纪金榜导学号

(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.

(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.

【解题导思】

【解析】(1)设日销量q=(k≠0),

则=100,所以k=100e30,所以日销量q=,

所以y=(25≤x≤40).

(2)当t=5时,y=,

y′=.

由y′≥0得x≤26,由y′≤0,得x≥26,

所以y在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e4,

即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.

　利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).

(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.

(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.

(4)回归实际问题作答.

　某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.

(1)求a的值;

(2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【解析】(1)因为x=4时,y=10.5,

所以+10=10.5,所以a=1.

(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-5)2,

所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=

(x-2)

=1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.

从而,f′(x)=10[(x-5)2+2(x-2)(x-5)]=

30(x-3)(x-5).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:

由表可得,x=3是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点.

所以当x=3时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于41.

答:当销售价格为3元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

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