2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析6.1　不等式的性质及一元二次不等式 学案

温馨提示：

 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析

考点一　比较大小与不等式的性质 

1.(2019·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是 (　　)

A.ab>0 B.bc<0　

C.ab>ac D.b(a-c)>0

2.若a=2 0192 022×2 0222 019,b=2 0192 019×20222 022,则a________b(用“>,<”填空). 

3.设m=,n=,则m________n(用“>,<”填空). 世纪金榜导学号 

【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.

2.==<1,所以a<b.

答案:<

3.m-n=-=<0,所以m<n.

答案:<

1.用同向不等式求差范围的技巧

⇒⇒a-d<x-y<b-c.

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.

2.比较大小的三种常用方法

(1)作差法:直接作差判断正负即可.

(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.

(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.

【秒杀绝招】　

1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项,即可得出正确选项.

2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,根据不等式的特点构造函数f(x)=解题.

考点二　一元二次不等式的解法 

【典例】1.(2020·牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是 (　　)

A.(2,+∞) B.(-∞,2)　

C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)

2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪,则不等式cx2-2x+a≤0的解集是 (　　)

A. B.

C.[-2,3] D.[-3,2]

3.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)<0的解集是________. 

【解题导思】

【解析】1.选D.因为x(2-x)<0,

所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,

所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).

2.选C.不等式的解集是∪,

所以-和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,

由,解得:a=-12,c=2,

故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,

即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,

所以所求不等式的解集是[-2,3].

3.因为a>1时,1-a<0,且a>,

则关于x的不等式可化为(x-a)>0,

解得x<或x>a,

所以不等式的解集为∪(a,+∞).

答案:∪(a,+∞)

1.解不含参数的一元二次不等式

首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图象写解集;若无根,直接根据图象写解集.

2.解含参数的一元二次不等式

(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;

(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,

若有根,则讨论根的大小后根据图象写解集;

若无根,则根据图象写解集.

1.(2019·西安模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为              (　　)

A.

B.

C.∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪

【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),

则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0;

由根与系数的关系知,,

所以,

所以不等式化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,

化为3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,

解得-1<x<,

所以该不等式的解集为.

2.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B=,那么集合A∩(∁UB)等于 (　　)

A.[-2,4)　　　 B.(-1,3]

C.[-2,-1]　　 D.[-1,3]

【解析】选D.因为A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x≥4},故∁UB={x|-1≤x<4},

所以A∩(∁UB)={x|-1≤x≤3}.

考点三　一元二次不等式恒成立问题 

　在R上的恒成立问题

【典例】若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为

 (　　)

A.a<-或a>

B.a>或a<0

C.a>

D.-<a<

【解析】选C.不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,

则,即

解得a>,

所以实数a的取值范围是a>.

在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?

提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图象,列出等价条件求解.

给定区间上的恒成立问题

【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是 世纪金榜导学号(　　)

A.m≤-3或m≥0  B.m≥-3　

C.-3≤m≤0  D.m≤-3

【解析】选D.因为不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,

所以只需m≤(x2-4x)min,x∈[0,1],

令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[0,1],

所以f(x)min=f(1)=-3,

所以m≤-3.

定区间上的恒成立问题如何解?

提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用方法.

给定参数范围的恒成立问题

【典例】(2020·六安模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是              (　　)

世纪金榜导学号

A.[-1,3] B.(-∞,-1]　

C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=-1时,由x2+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合条件,排除A,B;

当x=3时,由x2+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合条件,排除C;

方法二:转换变元法:不等式变为p+x2-4x+3>0,当0≤p≤4时恒成立,

所以

即

解得x<-1或x>3.

比较一下特殊值法和转换变元法在解题中的应用.

提示:特殊值法简单快捷,转换变元法思路巧妙,转化求解,体现了函数性质在解不等式中的应用.

1.在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为              (　　)

A.(-3,2) B.(-1,2)　

C.(-2,2) D.(1,2)

2.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________. 

【解析】1.选A.由题意知,不等式(m-x)※(m+x)<4化为(m-x+1)(m+x)<4,

即m2+m-4<x2-x;

设f(x)=x2-x,x∈[1,2],

则f(x)的最大值是f(2)=4-2=2;

令m2+m-4<2,即m2+m-6<0,

解得-3<m<2,

所以实数m的取值范围是(-3,2).

2.关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,

所以二次函数的图象与x轴最多有一个交点,

所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,

解得a≥,所以a的取值范围为.

答案:

1.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间[-2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是________. 

【解析】由题得a≥=(x-1)++2

因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1

所以(x-1)++2

=-+2

≤2-2=-2,

当x=-1时得到等号.所以a≥-2.

答案:a≥-2

2.已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,这个不等式可以是________. 

【解析】由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可.

故不等式可以是 (x+4)(x-6)>0.

解集为{x|x>6或x<-4}.

解集中只有-5在集合A中.

答案:(x+4)(x-6)>0(不唯一)

关闭Word文档返回原板块