2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析6.2二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

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核心考点·精准研析

考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 

1.(2020·佛山模拟)不等式组表示的平面区域是 (　　)

2.已知实数x,y满足不等式组则点(x,y)构成的平面区域的面积是 (　　)

A.3　 B.　　 C.2　　 D.

3.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内,则实数b的取值范围是__________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选B.x-2y+4≥0表示的区域在直线x-2y+4=0的下方及直线上,x-y+2<0表示的区域在直线x-y+2=0的上方,则对应的区域为选项B.

2.选A.根据题意作出不等式组所表示的平面区域,

分别求出三个点的坐标A(2,2),B(4,-2),C(1,1),求出点B到直线y=x的距离为3,|AC|=,所以S△ABC=×|AC|×d=××3=3.

3.根据题意,设Q与P(1,-2)关于原点对称,则Q的坐标为(-1,2),若P,Q均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内,则有解得:<b<,即b的取值范围为.

答案:

题3中,若将“均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内”改为“分别位于直线2x+by-1=0的两侧”,则实数b的取值范围是________. 

【解析】由题意(2-2b-1)(-2+2b-1)<0,

即(2b-1)(2b-3)>0,解得b<或b>.

答案:∪

1.点与平面区域的关系及应用

点在平面区域内,则点的坐标满足表示平面区域的不等式组,若点的坐标不满足不等式组中的任何一个不等式,则点不在平面区域内,这一关系可用于平面区域的判断和求参数的范围.

2.求平面区域的面积

首先作出平面区域,确定平面区域的形状,其次利用两点间距离公式求距离,点到直线的距离公式求高,进而求面积.

【秒杀绝招】　

　排除法解T1,根据选项图形中的特殊点排除不正确选项,如利用原点即可排除选项A.

考点二　简单线性规划问题中的最值 

求线性目标函数的最值

【典例】已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y-1的最大值为 (　　)

A.6　　 B.7　　 C.8　　 D.9

【解析】选C.由约束条件作出可行域如图,

联立解得A(1,4),

化目标函数z=x+2y-1为y=-++,

由图可知,当直线y=-++过A时,z有最大值为8.

目标函数对应的直线与边界直线倾斜程度大小如何确定?

提示:目标函数对应直线与边界直线斜率的大小决定倾斜程度的大小,当斜率同号时,斜率越大,倾斜角越大.

求非线性目标函数的最值

【典例】(2019·太原模拟)已知实数x,y满足则z=的取值范围为 (　　)

世纪金榜导学号

A.(-∞,-2]∪

B.(-∞,-3]∪

C.

D.

【解析】选B.z==-1+,设k=,

则k的几何意义是区域内的点与定点D(1,0)连线的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图,A(3,3),B(0,2),

由图形知,AD的斜率为=,此时z=,

BD的斜率为=-2,此时z=-3,

则z=的取值范围为(-∞,-3]∪.

分式形式的目标函数常见的几何意义是什么?

提示:分式形式的目标函数可以变形为两点连线的斜率形式,即转化为斜率求范围.

求参数的值或范围

【典例】(2020·绍兴模拟)给出平面区域如图所示,若目标函数z=x+ay仅在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为              世纪金榜导学号(　　)

A.0<a<   B.a≥

C.a>    D.0<a<

【解析】选C.根据画出的约束条件表示的可行域为△ABC内部(包括边界),

易知当a=0时,z=x的最大值不是2,不符合题意;

当a>0时,由目标函数z=x+ay得y=-x+,

由题意得-3=kAC<-<0,解得a>;

当a<0时,目标函数为y=-x+在A点处取不到最大值;综上所述,a的取值范围是a>.

本例中的参数a影响了目标函数的哪个性质?是如何进行讨论的?

提示:a的不同取值影响目标函数对应直线的斜率,将已知条件转化为目标函数对应的斜率与边界斜率的大小进行讨论.

1.若x,y满足不等式组则z=-4x+y的最小值为 (　　)

A.-12　　 B.-8　　 C.1　 D.2

2.(2020·衡阳模拟)若实数x,y满足则z=(x-2)2+y2的最大值为 (　　)

A. B.2 C.10　　 D.12

3.(2019·芜湖模拟)已知x,y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为              (　　)

A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5

【解析】1.选B.由x,y满足不等式组作出可行域如图,

化目标函数z=-4x+y为y=4x+z,

由图可知,当直线y=4x+z过C(3,4)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-12+4=-8.

2.选C.实数x,y满足的可行域如图,

依题意目标函数z=(x-2)2+y2为可行域内点与点D(2,0)距离的平方,如图,观察计算,|DC|=|DB|=>|DA|=2,

则z=(x-2)2+y2的最大值为10.

3.选D.作出不等式组满足的可行域如图:

可得直线x+y+a=0与直线x-2y+4=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值-5,

故由3x+y=-5和x-2y+4=0,解得 x=-2,y=1,可知A(-2,1)在直线x+y+a=0上,

即-2+1+a=0,所以a=1,

由x+y+1=0和2x+y-2=0可得C(3,-4),

当过点C(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为5.

1.(2019·池州模拟)若实数x,y满足且2x+y-7≥c(x-3)恒成立,则c的取值范围是              (　　)

A.    B.(-∞,2]

C.   D.[2,+∞)

【解析】选D.作出实数x,y满足对应的平面区域如图:

由可行域可知x-3<0,由2x+y-7≥c(x-3)恒成立,可得c≥=2+恒成立,令z=2+,几何意义为区域内的点和D(3,1)连线的斜率加2.

由图形,可得A(0,2),B(0,1),

由图可知,直线BD的斜率为0,即斜率的最大值,

所以z的最大值为2,

所以c的取值范围是[2,+∞).

2.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组或x2+(y-1)2≤1来表示,设(x,y)是阴影中任意一点,则z=x+y的最大值为________. 

【解析】依题意,z=x+y,所以y=-x+z,z表示直线y=-x+z在y轴上的截距,

所以当直线y=-x+z与圆x2+(y-1)2=1切于如图的点A时,z最大(z>1),

因为直线y=-x+z与圆相切,所以点(0,1)到直线x+y-z=0的距离为1,即1=,因为z>1,所以=1,解得z=1+.

答案:1+

考点三　简单线性规划的实际应用 

【典例】(2020·蚌埠模拟)现在全国正在严格实施垃圾分类,经测算回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨,回收1吨废铅蓄电池可生产再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约__________吨.世纪金榜导学号 

【解题导思】

【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,

由已知条件可得z=100x+120y,

作出不等式组表示的可行域,如图所示.y=-x+,平移直线可得当直线过点A时,在y轴上的截距最大,即z最大,

由图可得点A(90,0),此时z取得最大值为9 000.

答案:9 000

　利用线性规划解决实际问题的一般步骤

(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.

(2)设元:设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量,并列出相应的不等式组和目标函数.

(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).

(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).

(5)检验:根据结果,检验反馈.

　(2020·清华附中模拟)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如表:

根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有________人. 

【解析】设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,

则z=5x+3y,且作出可行域,如图,平移直线z=5x+3y,由图可知,

当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,最大,

所以当x=4,y=5时,取得最大值为35,

即接受服务的老人最多有35人.

答案:35

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