2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析6.3　基本不等式 学案

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核心考点·精准研析

考点一　利用基本不等式求最值 

通过拼凑定值求最值

【典例】已知a,b>0,则+的最小值为__________. 

【解析】因为a,b>0,方法一:原式=+1+-1=+-1≥2-1=4-1=3,

当且仅当=,a=b时取等号.

方法二:所以+=+1+-1

≥2-1=3,

当且仅当+1=,即a=b时取等号.

答案:3

本例不能直接运用基本不等式时怎么办?

提示:通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形,再观察拼凑定值利用基本不等式求最小值.

通过常值代换求最值

【典例】(2019·深圳模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值 (　　)

A.+   B.+   C.3+2   D.+

【解析】选A.已知a>1,b>0,a+b=2,

可得(a-1)+b=1,a-1>0,

则+=[(a-1)+b]

=1+++≥+2=+;

当且仅当=,a+b=2时取等号.

则+的最小值为+.

将条件进行变形目的是什么?

提示:将已知条件变形,变形的方向是要证明的式子,特别是与式子分母相关的定值,将定值变为1后相乘,再利用基本不等式求最值.

通过消元求最值

【典例】(2020·武汉模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为 世纪金榜导学号(　　)

A.　   B.　   C.　   D.

【解析】选B.因为正数x,y满足x+4y-xy=0,

所以y=>0,解得x>4,

所以===≤=,当且仅当x-4=,x=6时等号成立,所以的最大值为.

将其中一个字母利用另一个字母表示,代入后的变形方向如何?

提示:构造定值以利用基本不等式求最值.

构造二次不等式求最值

【典例】(2019·重庆模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为________. 

【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,

所以6-2a-b=ab=×2ab≤,

所以(2a+b)2+8(2a+b)-48≥0,所以2a+b≥4,

当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.

答案:4

本题利用基本不等式,将已知式子进行转换的目标是什么?

提示:转化成关于2a+b的二次不等式,通过解不等式求最值.

1.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为(　　)

A.-9　  B.9　　  C.10　　　 D.0

2.(2020·厦门模拟)已知0<x<1,当+取得最小值时x= (　　)

A.2-  B.-1  C.   D.

3.(2019·嘉兴模拟)已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为(　　)

A.5+2  B.8   C.5  D.9

4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是 (　　)

A.1　 B.3　 C.6　　 D.12

【解析】1.选B.=5++x2y2≥5+2=9,

当且仅当xy=±时,上式取得等号,可得最小值为9.

2.选D.因为0<x<1,所以1-x>0,

所以+=(x+1-x)

=5++≥5+2=9,

当且仅当=,即x=时取等号,

所以+取得最小值时x=.

3.选A.因为a>0,b>0,且2a+b=ab-1,

所以a=>0,所以b>2,

所以a+2b=+2b=2(b-2)++5

≥5+2=5+2,

当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.

所以a+2b的最小值为5+2.

4.选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=,

所以2x+y=2x+==+

≥2=3.当且仅当=,即x=1时取等号.

1.已知点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,若存在满足该条件的a,b,使得不等式+≤m2+8m成立,则实数m的取值范围是              (　　)

A.(-∞,-1]∪[9,+∞)  B.(-∞,-9]∪[1,+∞)

C.[-1,9]      D.[-9,1]

【解析】选B.点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,可得a+2b=1,+=(a+2b)=5++≥5+2=9,

当且仅当a=b=时取得等号,即+的最小值为9,

则9≤m2+8m,解得m≥1或m≤-9.

2.以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x>0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的所有“望圆”中半径最小值为              (　　)

A.4　　 B.　 C.8　　 D.2

【解析】选D.根据题意,设为曲线C上任意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则r2=(t+1)2+=t2++2+2≥2+2×2+2=8,当且仅当t=时,等号成立,则r的最小值为2.

考点二　基本不等式在实际问题中的应用 

【典例】经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y=

当该型号汽车的速度为________ km/h时,每小时耗油量最少,最少为每小时________ L.              世纪金榜导学号 

【解析】当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4 900)

=[(x-65)2+675],

所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.

当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,

故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.因为9<10,所以当x=65,

即该型号汽车的速度为65 km/h时,可使得每小时耗油量最少,最少为每小时9 L.

答案:65　9

　有关实际问题中的最值问题

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.

　网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是________万元. 

【解析】由题意知t=-1(1<x<3),设该公司的月利润为y万元,则y=x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3=45.5-≤45.5-2=37.5,

当且仅当x=时取等号,即最大月利润为37.5万元.

答案:37.5

考点三　基本不等式的交汇应用 

【典例】1.已知A,B是函数y=2x的图象上不同的两点,若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是              (　　)

A.(-∞,-1)  B.(-∞,-2)

C.(-∞,-3)  D.(-∞,-4)

2.已知等差数列{an}中,a3=7,a9=19,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为________.              世纪金榜导学号 

【解题导思】

【解析】1.选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设x1<x2.

函数y=2x为单调增函数,若点A,B到直线y=的距离相等,则-y1=y2-,即y1+y2=1,即+=1.

由基本不等式得1=+≥2,

当且仅当x1=x2=-1时取等号,则≤,

解得x1+x2<-2(因为x1≠x2,所以等号取不到).

2.因为a3=7,a9=19,所以d===2,

所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,

所以Sn==n(n+2),

因此=

=

≥×2=3,

当且仅当n=2时取等号.故的最小值为3.

答案:3

　关于基本不等式与其他知识点的交汇

　利用其他知识点的知识进行条件转化,表示出要求最值的式子,根据条件,利用基本不等式求最值.

1.已知a>b>1,且2logab+3logba=7,则a+的最小值为 (　　)

A.3　　 B.  C.2　　 D.

【解析】选A.令logab=t,由a>b>1得0<t<1,

2logab+3logba=2t+=7,得t=,即logab=,a=b2,

所以a+=a-1++1≥2+1=3,当且仅当a=2时取等号.故a+的最小值为3.

2.设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是________. 

【解析】由题意an=a1+(n-1)d=n,Sn=,

所以==≥

=,当且仅当n=4时取等号.

所以的最小值是.

答案:

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