2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析9.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

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核心考点·精准研析

考点一　平面的基本性质 

1. 下列说法正确的是 (　　)

A.三点可以确定一个平面

B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形是平面图形

D.两条相交直线可以确定一个平面

2.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则              (　　)

A.P∈c    B.P∉c

C.c∩a=∅    D.c∩β=∅

3.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF∩HG=P,则点P              (　　)

A.一定在直线BD上

B.一定在直线AC上

C.在直线AC或BD上

D.不在直线AC上,也不在直线BD上

4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形是              世纪金榜导学号(　　)

A.①②④   B.①③④   C.②③④   D.①②③

【解析】1.选D.A错误,不共线的三点可以确定一个平面.B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.C错误,四边形不一定是平面图形.D正确,两条相交直线可以确定一个平面.

2.选A.如图,因为a∩b=P,所以P∈a,P∈b,

因为α∩β=a,β∩γ=b,所以P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,

所以P∈c.

3.选B.如图所示,

因为EF⊂平面ABC,

HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,

所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.

又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.

4.选D.在图①中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S四点共面;在图中③分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面.在②图中过点P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;在图④中PS与QR为异面直线,所以四点不共面.

　共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证两平面重合.

(2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.

【秒杀绝招】　排除法解T4,在图④中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,可排除A,B,C,直接选D.

考点二　异面直线所成的角 

【典例】1.(2018·全国卷II)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为              (　　)

A.   B.   C.   D.

2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解题导思】

【解析】1.选C.因为CD∥AB,所以∠EAB即为异面直线AE与CD所成角,连接BE,在直角三角形ABE中,设AB=a,则BE=a,所以tan∠EAB==.

2.选C.如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,

可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.

由题意可知BC1=,AB1=,

则MN=AB1=,NP=BC1=.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知△PQM为直角三角形.

在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC

=4+1-2×2×1×=7,即AC=.

又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=.

在△MQP中,可知MP==.

在△PMN中,cos∠PNM

==

=-,又异面直线所成角的范围为,故所求角的余弦值为.

【一题多解】把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,

连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角).由题意可知BC1=,

BD==,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2,

所以cos∠BC1D==.

　求异面直线所成的角的三个步骤

(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.

(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角.

(3)三求:解三角形,求出所作的角.

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于              (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

【解析】选C.如图,可补成一个正方体,

所以AC1∥BD1.

所以BA1与AC1所成的角为∠A1BD1.

又易知△A1BD1为正三角形,

所以∠A1BD1=60°.即BA1与AC1成60°的角.

2.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________. 

【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,

因为C是圆柱下底面弧AB的中点,

所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D垂直于圆柱下底面,所以C1D⊥AD.

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,

所以C1D=AD,

所以直线AC1与AD所成角的正切值为,

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.

答案:

考点三　空间两条直线的位置关系 

两条异面直线的判定

【典例】在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) 

【解析】图①中,直线GH∥MN;

图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,

因此直线GH与MN异面;

图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;

图④中,G,M,N三点共面,但H∉面GMN,

因此GH与MN异面,所以图②④中GH与MN异面.

答案:②④

判定空间两条直线是异面直线的方法有哪些?

提示:(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.

(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.

两直线平行或相交的判定

【典例】已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.

求证:EG与FH相交. 世纪金榜导学号

【证明】如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,

因此EF∥HG;同理EH∥FG,则EFGH为平行四边形.又EG,FH是▱EFGH的对角线,所以EG与HF相交.

解答本题的关键是什么?

提示:本题考查空间想象能力,解答本题的关键是构造平行四边形.

1.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则 (　　)

A.a∥c     B. a,c是异面直线

C.a,c相交    D.a,c平行或相交或异面

【解析】选D.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,那么a,c可以平行,可以相交,可以异面.

2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:

①直线AM与CC1是相交直线;

②直线AM与BN是平行直线;

③直线BN与MB1是异面直线;

④直线AM与DD1是异面直线.

其中正确的结论为________.(注:把你认为正确的结论序号都填上) 

【解析】因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错;取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故②错;因为点B1与BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确;同理④正确,故填③④.

答案:③④

1.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是              (　　)

A.l与l1,l2都不相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l至少与l1,l2中的一条相交

【解析】选D.由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.

2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是              (　　)

A.CC1与B1E是异面直线

B.C1C与AE共面

C.AE与B1C1是异面直线

D.AE与B1C1所成的角为60°

【解析】选C.由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.

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