2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 学案

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核心考点·精准研析

考点一　直线的倾斜角与斜率 

1.直线x-y+1=0的倾斜角为 (　　)

A.30°　 B.45°　 C.120°　 D.150°

2.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (　　)

A.k1<k2<k3   B.k3<k1<k2

C.k1<k3<k2   D.k3<k2<k1

3.(2020·石家庄模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 (　　)

A.      B.

C.∪　   D.∪

4.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________. 世纪金榜导学号 

【解析】1.选B.由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tan α=1,

又0°≤α<180°,故α=45°.

2.选C.由图可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,故选C.

3.选B.由直线方程可得该直线的斜率为-,又-1≤-<0,所以倾斜角的取值范围是.

4.因为kAC==1,kAB==a-3.

由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.

答案:4

1.倾斜角α与斜率k的关系:

(1)当α∈时,k∈[0,+∞),且倾斜角越大,斜率越大.

(2)当α=时,斜率k不存在.

(3)当α∈时,k∈(-∞,0),且倾斜角越大,斜率越大.

2.斜率的两种求法:

(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.

(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.

【秒杀绝招】　第3题可以用检验答案的方法求解,假设倾斜角α=,则斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不对,所以选B.

考点二　求直线的方程 

【典例】1.求过点A(1,3),倾斜角是直线y=-x的倾斜角的的直线方程.

2.经过圆C:(x+5)2+(y-2)2=1的圆心,且在x轴上截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.

3.求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程. 世纪金榜导学号

【解题导思】

【解析】1.因为y=-x的斜率为k=-,其倾斜角为120°,所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为,

所以直线方程为y-3=(x-1),

即直线方程为x-y+3-=0.

2.因为圆C的圆心为(-5,2),

当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,

所以直线方程为x+2y+1=0;

当直线过原点时,设直线方程为y=kx,

则-5k=2,解得k=-,

所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.

故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.

3.①当m=2时,直线l的方程为x=2;

②当m≠2时,直线l的方程为=,

即2x-(m-2)y+m-6=0.

因为m=2时,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即为x=2,

所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.

1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.

3.截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.

1.(2020·邯郸模拟)经过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是              (　　)

A.x=2　  B.y=1　  C.x=1　  D.y=2

【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为.由已知,所求直线的倾斜角为-=,斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.

2.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________. 

【解析】设所求直线的方程为+=1.

因为A(-2,2)在直线上,所以-+=1.①

又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,

所以|a|·|b|=1.②

由①②可得(i)或(ii)

由(i)解得或方程组(ii)无解.

故所求的直线方程为+=1或+=1,

即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.

答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0　

考点三　直线方程的综合应用 

与不等式相结合的最值问题

【典例】当k>0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为________. 

【解析】直线2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0).由解得y=,所以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形的面积为×1×=,

又k+≥2=2,

当且仅当k=时取等号,故三角形面积的最大值为.

答案:

如何用直线方程求出三角形的边长?

提示:根据直线方程求出交点坐标进而求得三角形的边长.

与函数结合的最值问题

【典例】已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________. 

【解析】由题得A(2,0),B(0,1),由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+.由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.

答案:

如何找到a,b的关系进行消元?

提示:P(a,b)在直线x+2y=2上,将a,b代入直线方程,得到a与b的关系.

由直线方程求参数的范围

【典例】已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=________.              世纪金榜导学号 

【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2(2-a)+×2(a2+2)=a2-a+4=+.又0<a<2,所以当a=时面积最小.

答案:

四边形的面积如何转化成三角形的面积?

提示:设题中l1与y轴交点为A(0,2-a),l2与x轴交点为B(a2+2,0),则四边形OAPB的面积为三角形OAP和三角形OBP的面积之和.

1.已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是 (　　)

A.8　  B.2　  C.　  D.16

【解析】选A.因为点P(x,y)在直线x+y-4=0上,

所以y=4-x,所以x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8,

当x=2时,x2+y2取得最小值8.

2.过点P(2,1)作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:

(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.

(2) 求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程.

【解析】(1)设所求直线l的方程为+=1(a>0,b>0),则+=1.又因为+≥2⇒ab≥4,当且仅当==,即a=4,b=2时,△AOB面积S=ab有最小值为4.此时,直线l的方程是+=1,即x+2y-4=0.

(2)由题意知直线l的斜率存在,设为k(k<0),则直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k),

则A,B(0,1-2k).

所以|PA|·|PB|=·

=·2=2

=2≥2=4.

当且仅当=k2,即k=-1时,等号成立,所以|PA|·|PB|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.

已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:

(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程.

(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.

【解析】(1)设直线l的方程为+=1,则+=1,

所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.

(2)设直线l的斜率为k,则k<0,

直线l的方程为y-1=k(x-1),则A,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4.

当且仅当k2=,即k=-1时取等号,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.

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