2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.3　圆的方程 学案

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核心考点·精准研析

考点一　 求圆的方程 

1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=1  B.(x+1)2+(y+1)2=1

C.(x+1)2+(y+1)2=2  D.(x-1)2+(y-1)2=2

2.(2020·长沙模拟)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为              (　　)

A.   B.   C.   D.

3.以(a,1)为圆心,且与两条平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=5   B.(x+1)2+(y+1)2=5

C.(x-1)2+y2=5　   D.x2+(y-1)2=5

4.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是 世纪金榜导学号(　　)

A.(x-)2+(y-1)2=4　　 B.(x-)2+(y-)2=4

C.x2+(y-2)2=4    D.(x-1)2+(y-)2=4

5.已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选D.由题意可得圆的半径为r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

2.选B.圆心在直线BC的垂直平分线,即x=1上,设圆心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圆心到原点的距离为d==.

3.选A.因为两平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0的距离为d==2.故所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2x-y+4=0的距离为=,即a=1或a=-4.又因为圆心(a,1)到直线2x-y-6=0的距离也为r=,所以a=1.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.

4.选D.设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),则有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.

5.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入得

又令y=0,得x2+Dx+F=0.　③

设x1,x2是方程③的两根,

由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④

联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.

答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0

　求圆的方程的两种方法

(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;

(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解:

①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.

②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.

【秒杀绝招】　第4题的解答可以画出直线与圆的图形,发现直线的倾斜角为30°,所以圆心M(2,0)的对称圆心M′,和原点O构成等边三角形,所以xM ′=

2cos 60°=1,yM ′=2sin 60°=.

考点二　与圆有关的轨迹问题 

【典例】1.(2020·贵阳模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为________. 

2.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程. 世纪金榜导学号

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

【解题导思】

【解析】1.方法一:设P(x,y),圆心C(1,1).

因为P点是过点A的弦的中点,所以⊥.

又因为=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).

所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.

所以P点的轨迹方程为+(y-2)2=.

方法二:由已知得,PA⊥PC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为,|AC|==,所以半径为.

所求动点P的轨迹方程为+(y-2)2=.

答案:+(y-2)2=

2.(1)方法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).

方法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).

(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).

　求与圆有关的轨迹问题的方法:

(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;

(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;

(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;

(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.

设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.

【解析】如图所示,

设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,

故=,=.从而

又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.

因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况).

考点三　与圆有关的最值问题 

利用几何法求最值

【典例】1.(2020·南宁模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知(x1-2)2+=5,

x2-2y2+4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为 (　　)

A.　 B.　  C.　  D.

【解析】选B.由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为-=,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.

2.(2020·聊城模拟)已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,              世纪金榜导学号

(1)求m+2n的最大值.

(2)求的最大值和最小值.

【解析】(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,

设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,

因为该直线与圆有公共点,

所以圆心到直线的距离d=≤2,解上式得:16-2≤t≤16+2,

所以,所求的最大值为16+2.

(2)记点Q(-2,3).因为表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),

即kx-y+2k+3=0,则=k.

由直线MQ与圆C有公共点,

所以≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.

用代数法求最值

【典例】1.若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为(　　)

A.2　  B.2　  C.4　  D.4

【解析】选B.由已知得,线段AB为圆的直径.

所以|PA|2+|PB|2=4,

由基本不等式得

≤=2,

当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以|PA|+|PB|≤2.

2.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.              世纪金榜导学号

(1)求圆C的方程.

(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.

【解析】(1)设圆心C(a,b),由已知得M(-2,-2),则解得

则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.

(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,

·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)

=x2+y2+x+y-4=x+y-2.

令x=cos θ,y=sin θ,

所以·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2

=2sin-2,

又=-1,

所以·的最小值为-4.

1.(2020·厦门模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为              (　　)

A.6　  B.  C.8　  D.

【解析】选B.x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,则圆C为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.

如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,

连接BP,AP,这时△ABP的面积最小,直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离d=,

又|AB|==5,所以△ABP的面积的最小值为×5×=.

2.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值与最小值分别为________. 

【解析】设=k,则k表示点P(x,y)与点A(2,1)连线的斜率.当直线PA与圆相切时,k取得最大值与最小值.设过(2,1)的直线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由=1,解得k=±.

答案:,-

1.已知点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是              (　　)

A.-1　  B.2　  C.3　  D.

【解析】选B.易知圆x2+(y-1)2=的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=的圆心为B(2,0),P(t,t)在直线y=x上,A(0,1)关于直线y=x的对称点为A′(1,0),则

|PN|-|PM|≤-

=|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.

(此时|PN|最大,|PM|最小)

2.设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为________. 

【解析】由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.

答案:12

3.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为________. 

【解析】函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,

由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=

=>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.

答案:-2

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