2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.6　双曲线 学案

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核心考点·精准研析

考点一　双曲线的定义及标准方程 

1.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是              (　　)

A.椭圆　 B.双曲线  C.抛物线  D.圆

2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为              (　　)

A.x2-=1　    B.-y2=1

C.x2-=1(x≤-1)　  D.x2-=1(x≥1)

3.(2019·长春模拟) 双曲线C的渐近线方程为y=±x,一个焦点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为              (　　)

A.8　  B.10　  C.4+3　  D.3+3

4.(2020·唐山模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.              世纪金榜导学号 

5.若双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),则双曲线的方程为________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,

所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.

2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,则b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).

3.选B.由已知得双曲线方程为-=1,设双曲线的另一个焦点为F',则|PF|=|PF'|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3,当F',P,A三点共线时,|PF'|+|PA|有最小值,为|AF'|=3,故△PAF的周长的最小值为10.

4.(利用定义解三角形)如图所示,

内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有|CF1|= |AF1|,

|AF2|= |BF2|,|PC|=|PB|,

所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-

|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,

又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,

|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.

答案:a

5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,

所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).

因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1.

方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2,

所以点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).

所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为

-=1(a>0,b>0).

由已知条件可得 解得

所以双曲线的标准方程为-y2=1.

答案:-y2=1

1.双曲线定义的应用

(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.

(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系.

2.求双曲线标准方程的方法

(1)定义法

根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:

①c2=a2+b2;

②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.

(2)待定系数法

①一般步骤

②常用设法

(ⅰ)与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(λ≠0);

(ⅱ)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0);

(ⅲ)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).

【秒杀绝招】　求双曲线的标准方程时,若已知渐近线方程为y=±x,但不知道焦点所在坐标轴,可直接设-=λ(λ≠0).例如第5题.

考点二　直线与双曲线的位置关系 

【典例】1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是________. 

2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

(1)求双曲线C2的方程.

(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.              世纪金榜导学号

【解题导思】

【解析】1.因为一条渐近线方程为ay-bx=0,又离心率为=,所以a=b,所以一条渐近线方程为y-x=0,由(x-a)2+y2=a2知圆心为(a,0),半径为a,圆心到直线的距离d==a>a,所以直线与圆相离.

答案:相离

2.(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),则a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.

故C2的方程为-y2=1.

(2)将y=kx+代入-y2=1,

得(1-3k2)x2-6kx-9=0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得

所以k2≠且k2<1.①

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=-.

所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)

=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.

又由·>2,得x1x2+y1y2>2,

所以>2,即>0,解得<k2<3.②

由①②得<k2<1,

故k的取值范围为∪.

　直线与双曲线位置关系的解决策略

(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定.

(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.

(3)弦长公式:设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,则|AB|=|x1-x2|.

1.过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,则满足|AB|=6的直线l共有________条. 

【解析】当直线l的倾斜角为90°时,|AB|=6;当直线l的倾斜角为0°时,|AB|=2<6.故当|AB|=6时有三条直线符合题意.

答案:3

2.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程.

(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.

【解析】(1)由题意知a=2,

因为一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,

所以由焦点到渐近线的距离为,得=.

又因为c2=a2+b2,所以b2=3,

所以双曲线的方程为-=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),

则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.

将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,

则x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.

所以解得

所以t=4,点D的坐标为(4,3).

考点三　双曲线的几何性质 

双曲线的离心率

【典例】(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为              (　　)

A.  B.  C.2  D.

【解析】选A.以OF为直径的圆的方程为

+y2=,则弦PQ所在的直线方程为x=,|PQ|=,根据|PQ|=|OF|可得=,即(a-b)2=0,得a=b,故c=a,所以e=.

如何求双曲线离心率值或范围?

提示:(1)求a,b,c的值,由e2===1+直接求e.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.

(3)通过特殊位置,求出离心率.

双曲线的渐近线

【典例】(2020·德州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为              (　　)

A.y=±x  B.y=±x

C.y=±x  D.y=±x

【解析】选A.依题意椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=(a>0,b>0)即-=1(a>0,b>0)的焦点相同,可得:a2-b2=a2+b2,即a2=3b2,

所以=,可得=,

所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.

如何求双曲线的渐近线方程?

提示:(1)求双曲线中的a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.

(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.

(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.

与双曲线有关的范围问题

【典例】1.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点.若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是              (　　)

A.(0,-1)　  B.(-1,1)

C.(0,-1)　  D.(-1,1)

2.已知直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1的右支交于不同两点,则k的取值范围是________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选B.由题意得F1(-c,0),F2(c,0),A,B.因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,即<1.整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac.两边同时除以a2并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1或e<--1(舍去).又因为0<e<1,所以椭圆的离心率e的取值范围为(-1,1).

2.由直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1联立方程组,消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,因为该方程有两个不相等且都大于1的根,所以 解得1<k<,即k的取值范围为(1,).

答案:(1,)

双曲线中的范围问题如何求解?

提示:(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接求解.

(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系,如借助双曲线上点的坐标范围,方程中Δ≥0等来解决.例如典例2.

1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点到一条渐近线的距离为,则此双曲线的焦距等于              (　　)

A.　  B.2　  C.3　  D.6

【解析】选B.由题意得,焦点F(c,0)到渐近线bx+ay=0的距离d==b=,又=,c2=a2+b2,所以c=,所以该双曲线的焦距为2.

2.(2020·成都模拟)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的 (　　)

A.焦距相同　   B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等   D.离心率相等

【解析】选A.由于0<k<9,所以9-k>0,即曲线-=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0).25-k>0,即曲线-=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同.

1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的顶点到渐近线的距离为,焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为              (　　)

A.-=1　  B.-=1

C.-=1　  D.-=1

【解析】选B.由双曲线的对称性可得两个焦点,顶点到两条渐近线的距离相等,所以任意取一个焦点和顶点即可.因为双曲线的渐近线方程为y=x,所以=,即ab=c,=,即b=,又因为c2=a2+b2,所以解得a2=4,b2=5,即方程为-=1.

2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),O为坐标原点,P,Q为双曲线的渐近线上的两点,若四边形PFQO是面积为c2的菱形,则该渐近线方程为              (　　)

A.y=±2x    B.y=±x

C.y=±4x    D.y=±x

【解析】选A.如图所示,F(-c,0),PQ⊥OF,设P(x,y),则菱形PFQO的面积为2××c×y=c2,所以y=c,故tan∠POF==2,即渐近线OP的方程为y=-2x,故

双曲线的渐近线方程为y=±2x.

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