2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.8.3　圆锥曲线的范围问题

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核心考点·精准研析

   考点一　几何法求范围   

1.已知直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是              (　　)

A.[2,+∞)   B.[2,+∞)

C.[2,4]    D.[2,4]

2.(2020·绵阳模拟)设点P是抛物线C:y2=4x上的动点,Q是C的准线上的动点,直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直,则点P到l的距离的最小值的取值范围是              (　　)

A.(0,1)   B.(0,1]   C.[0,1]   D.(0,2]

3.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选D.椭圆+y2=1的焦点为:F1(-,0),

F2(,0),由l1与l2方程可知l1⊥l2,

直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点(-1,0),(1,0),

所以它们的交点Q满足:x2+y2=1(x≠-1),

当Q与(1,0)重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为|F1F2|=2,

当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是[2,4].

2.选B.抛物线C的准线方程是x=-1,

若点Q的坐标为(-1,0),此时直线l的方程为x=-1,显然点P到直线l的距离的最小值是1,

若点Q的坐标为(-1,t),其中t≠0,

则直线OQ的斜率为kOQ==-t,

直线l的斜率为kl==,

直线l的方程为y-t=(x+1),即x-ty+t2+1=0,

设与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x-ty+m=0,代入抛物线方程得y2-4ty+4m=0,所以Δ=16t2-16m=0,解得m=t2,所以与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x-ty+t2=0,所以点P到直线l的距离的最小值为直线x-ty+t2+1=0与直线x-ty+t2=0的距离,即d==,

因为t≠0,所以0<d<1.综合两种情况可知点P到直线l的距离的最小值的取值范围是(0,1].

3.由过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得<2.所以e==<=,因为e>1,所以1<e<,所以此双曲线离心率的取值范围为(1,).

答案:(1,)

1.当题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决.

2.利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题,然后利用平面几何中的定理、性质等进行求解.

考点二　代数法求范围问题 

构造不等式求范围

【典例】(2019·宜昌模拟)在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为+=1(a>b>0),左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且△RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=-.

(1)求a,b的值.

(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1⊥x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且∠MQF1=∠NQF1,设直线MN与y轴交于点D(0,d),求d的取值范围.

【解题导思】

【解析】(1)设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1),

进一步得,+=1,+=1,

两个等式相减得,+=0,

所以·=-,

所以kPA·kPB=-,

因为kPA·kPB=-,

所以-=-,

即=,设b=t,a=2t(t>0),

因为a2=b2+c2,所以c=t,

由△RF1F2的面积为得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.

(2)设直线QM的斜率为k,

因为∠MQF1=∠NQF1,

所以QM,QN关于直线QF1对称,

所以直线QN的斜率为-k,

算得F1(-1,0),Q,

所以直线QM的方程是y-=k(x+1),

设M(x3,y3),N(x4,y4)

由 消去y得,

(3+4k2)x2+(12+8k)kx+(4k2+12k-3)=0,

所以-1·x3=,所以x3=,

将上式中的k换成-k得,x4=,

所以kMN==

 ==-,

所以直线MN的方程是y=-x+d,

代入椭圆方程+=1得,x2-dx+d2-3=0,

所以Δ=(-d)2-4(d2-3)>0,

所以-2<d<2,

又因为MN在Q点下方,

所以>-×(-1)+d,

所以-2<d<1.

构造函数法求范围

【典例】(2019·日照模拟)已知点E,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点和左焦点,若EF与圆x2+y2=相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.世纪金榜导学号

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)直线l:y=kx+m与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第二象限,过坐标原点O且与l垂直的直线l'与圆x2+y2=8相交于A,B两点,求△PAB面积的取值范围.

【解题导思】

【解析】(1) OT2=ET·TF=a·a=,

a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,

椭圆C的标准方程为+=1.

(2)由得,

(3k2+1)x2+6kmx+3m2-6=0,

因为直线l:y=kx+m与椭圆C相切于点P, 所以Δ=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-6)=

12(6k2+2-m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=,y=,

即点P的坐标为,

因为点P在第二象限,所以k>0,m>0,

所以m=,所以点P的坐标为

,设直线l'与l垂直交于点Q,

则|PQ|是点P到直线l'的距离,

设直线l'的方程为y=-x,

则|PQ|=

==,所以S△PAB=×4×|PQ|=≤=

=4-4,

当且仅当3k2=,即k2=时,取得最大值4-4,所以△PAB面积的取值范围为(0,4-4].

1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且C与y轴交于A(0,-1),B(0,1)两点.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.

【解析】(1)由题意可得,b=1,c=,所以a=2, 椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)方法一:设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,-1),B(0,1),

所以kPA=,直线PA的方程为y=x-1,同理得直线PB的方程为y=x+1,直线PA与直线x=3的交点为M,直线PB与直线x=3的交点为N,线段MN的中点,

所以圆的方程为(x-3)2+=.

令y=0,则(x-3)2+=, 因为+=1,所以(x-3)2=-,

因为这个圆与x轴相交,所以该方程有两个不同的实数解,则->0,又0<x0≤2,解得x0∈.

方法二:由题意设直线AP的方程为y=k1x-1(k1>0),与椭圆x2+4y2=4联立得:

(1+4)x2-8k1x=0,xP=,同理设直线BP的方程为y=k2x+1,可得xP=,由=,可得4k1k2=-1,所以M(3,3k1-1),

N(3,3k2+1),MN的中点为,所以以MN为直径的圆为(x-3)2+

=.

当y=0时,(x-3)2+=,所以(x-3)2=,

因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,所以>0,

代入4k1k2=-1得:<0,所以<k1<,

所以xP==在单调递增,在单调递减,所以xP∈.

2.(2019·焦作模拟)已知椭圆C:+=1与直线l1交于A,B两点,l1不与x轴垂直,圆M:x2+y2-6y+8=0.

(1)若点P在椭圆C上,点Q在圆M上,求|PQ|的最大值.

(2)若过线段AB的中点E且垂直于AB的直线l2过点,求直线l1的斜率的取值范围.

【解析】(1)依题意,圆M:x2+y2-6y+8=0,即圆M:x2+(y-3)2=1,圆心为M(0,3).

所以|PQ|≤|PM|+1.

设P(x,y),

则|PM|2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9.(*)

而+=1,所以x2=4-.

代入(*)中,可得|PM|2=4-+y2-6y+9

=--6y+13,y∈[-,].

所以|PM=12+6,

即|PM|max=3+,所以|PQ|max=4+.

(2)依题意,设直线l1:y=kx+m.

由

消去y整理得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0.

因为直线与椭圆交于不同的两点,

所以Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

整理得m2<4k2+3.①设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=.

设点E的坐标为(x0,y0),

则x0=-,

所以y0=kx0+m=-+m=,

所以点E的坐标为.

所以直线l2的斜率为k'=

=.

又直线l1和直线l2垂直,则·k=-1,所以m=-.

将m=-代入①式,可得<4k2+3.

解得k>或k<-.

所以直线l1的斜率的取值范围为

∪.

1.(2020·南昌模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=,求原点O到直线l的距离的取值范围.

【解析】(1)由题知e==,2b=2,

又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,

所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

联立方程

得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

依题意,Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,

化简得m2<4k2+1,①

x1+x2=-,x1x2=,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.

若kOM·kON=,则=,

即4y1y2=5x1x2,

所以(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,

所以(4k2-5)·+4km·+4m2=0,

即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,

化简得m2+k2=②,

由①②得0≤m2<,<k2≤.

因为原点O到直线l的距离d=,

所以d2===-1+,

又<k2≤,所以0≤d2<,

所以原点O到直线l的距离的取值范围是.

2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,且椭圆经过点(0,1).

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若直线l1: x+2y-2=0与圆D:x2+y2-6x-4y+m=0相切.

(ⅰ)求圆D的标准方程.

(ⅱ)若直线l2过定点(3,0),与椭圆C交于不同的两点E,F,与圆D交于不同的两点M,N,求|EF|·|MN|的取值范围.

【解析】(1) 因为椭圆经过点(0,1),

所以=1,解得b2=1,

因为e=,所以=,

所以3a2=4c2=4(a2-1),解得a2=4.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)(ⅰ)圆D的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13-m,圆心为(3,2),

因为直线l1: x+2y-2=0与圆D相切,

所以圆D的半径r==,

所以圆D的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=5.

(ⅱ)由题可得直线l2的斜率存在,

设l2方程为y=k(x-3),

由

消去y整理得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,

因为直线l2与椭圆C交于不同的两点E,F,

 所以Δ=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)=16(1-5k2)>0,

解得0≤k2<.设E(x1,y1),F(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=,

所以|EF|=

=

=4,

 又圆D的圆心(3,2)到直线l2:kx-y-3k=0的距离d==,

所以圆D截直线l2所得弦长|MN|=2

=2,

设t=1+4k2∈,则k2=,

所以|EF|·|MN|=8

=2,

因为t∈,所以-9+50-25∈(0,16],

所以|EF|·|MN|的取值范围为(0,8].

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