2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析选修4-41　坐　标　系 学案

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核心考点·精准研析

考点一　伸缩变换 

1.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C',求曲线C'的方程.

2.曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,求曲线C的方程.

3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ和μ的值.              世纪金榜导学号

【解析】1.因为所以代入曲线C的方程得C':+y'2=1.

2.根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.

3.将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式,得+=1,即x2+y2=1,与x2+y2=1比较系数,得所以

1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x',y').

2.平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下得到的方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y'=h(x'),即为变换之后的方程.

考点二　极坐标与直角坐标的互化 

【典例】(2020·乌鲁木齐模拟)已知曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.

(1)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,求C1与C2的极坐标方程.

(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为B,当|OA|+=时,求C3的直角坐标方程.

【解析】(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,转换为极坐标方程为ρ=2cosθ.

曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0,

(2)设曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线,则极坐标方程为θ=α,

由于C1与C3的一个公共点A(异于点O),故,

所以|OA|=2cosα,

C2与C3的一个公共点为B,

所以

所以|OB|=.

由于|OA|+=,

所以2cosα+cosα+sinα=,

即3cosα+sinα=sin(α+β)=,

当sinα=,cosα=时,tan α=,

故曲线C3的直角坐标方程为y=x.

1.极坐标与直角坐标的互化依据是x=ρcos θ,y=ρsin θ.

2.互化时要注意前后的等价性.

在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsinθ-=(ρ≥0,0≤θ<2π).

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程.

(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.

【解析】(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,

直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,

则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.

(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,

将两方程联立得解得

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),

转化为极坐标为,

故直线l与圆O的公共点的极坐标为.

考点三　 极坐标方程的应用  

位置关系问题

【典例】在极坐标系中,直线ρcos =1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.

【解析】直线ρcos =1转化为x-y-2=0,

曲线ρ=r(r>0)转化为x2+y2=r2,由于直线和圆相切,则圆心到直线的距离d==1=r.

距离问题

【典例】(2019·江苏高考)在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为ρsin=3.世纪金榜导学号

(1)求A,B两点间的距离.

(2)求点B到直线l的距离.

【解析】(1)设极点为O.

在△OAB中,A,B,

由余弦定理,

得AB==.

(2)因为直线l的方程为ρsin=3,

则直线l过点,倾斜角为.

又B,所以点B到直线l的距离为(3-)×sin=2.

取值范围问题

【典例】(2020·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.

(1)求C2的直角坐标方程.

(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.

【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),

Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),

由题意知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=.

由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0),化简得ρ=cos θ+sin θ,因此C2的直角坐标方程为+=1,但不包括点(0,0).

(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),

由题意知,|OA|=2,ρB=2cos,

于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB

=2cos·=2≤.

当α=0时,S取得最大值.

所以△AOB面积的最大值为.

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