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    2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析选修4-51 绝对值不等式 学案
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    2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析选修4-51 绝对值不等式 学案

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    核心考点·精准研析

    考点一 绝对值不等式的解法 

    1.求不等式|1-2x|<1的解集.

    2.求不等式|x-5|+|x+3|6的解集.

    3.求不等式x+|2x+3|2的解集.

    【解析】1.因为|1-2x|<1,

    所以|2x-1|<1,

    所以-1<2x-1<1,

    所以0<x<1,

    所以不等式的解集为{x|0<x<1}.

    2.因为|x-5|+|x+3||(x-5)-(x+3)|=8>6,所以原不等式的解集为R.

    3.因为原不等式可化为

    解得x-5或x-.

    综上,原不等式的解集是.

     解绝对值不等式的基本方法

    (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.

    (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.

    (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.

    考点二 绝对值不等式性质的应用 

    【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=|2x+1|.

    (1)解不等式f(x)>x+5.

    (2)若对于任意x,yR,有|x-3y-1|<,|2y+1|<,求证f(x)<1.

    【解题导思】

    联想解题

    (1)去绝对值,解不等式

    (2)利用转化化归思想,用x-3y-1和2y+1表示2x+1

    【解析】(1)f(x)>x+5|2x+1|>x+5

    2x+1>x+5或2x+1<-x-5,

    所以解集为{x|x>4或x<-2}.

    (2)f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3|

    2|x-3y-1|+3|2y+1|<+=1.

     利用不等式|a+b||a|+|b|(a,bR)和|a-b||a-c|+|c-b|(a,bR),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式.

    1.若对于实数x,y有|1-x|2,|y+1|1,求|2x+3y+1|的最大值.

    【解析】因为|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|

    2|x-1|+3|y+1|7,

    所以|2x+3y+1|的最大值为7.

    2.若a2,xR,求证:|x-1+a|+|x-a|3.

    【证明】因为|x-1+a|+|x-a||(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a2,故|2a-1|3,

    所以|x-1+a|+|x-a|3成立.

    考点三  绝对值不等式的综合应用  

    命题

    精解

    考什么:(1)考查解不等式、求参数、图象、恒成立及存在性等问题

    (2)考查学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养和数形结合、转化化归、分类讨论等数学【思想方法】

    怎么考:与函数、方程、图象等结合考查关于绝对值不等式的问题

    新趋势:以绝对值不等式为载体,与其他知识相结合,考查学生对知识的灵活运用

    学霸

    好方

    求参数问题的解题思路:

    (1)参数在绝对值内时,分类讨论,解不等式

    (2)参数在绝对值外时,结合图象,最值等问题,利用数形结合、分类讨论、恒成立、存在性等方法解决

    含有参数的绝对值不等式问题

    【典例】已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

    (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.

    (2)若x(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

    【解析】(1)a=1,f(x)=|x+1|-|x-1|,

    即f(x)=

    故不等式f(x)>1的解集为.

    (2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立,

    等价于当x(0,1)时|ax-1|<1成立.

    若a0,则当x(0,1)时|ax-1|1,不满足题意;

    若a>0,则|ax-1|<1的解集为,

    所以1,

    故0<a2.

    综上,a的取值范围为(0,2].

    函数图象与绝对值不等式

    【典例】(2018·全国卷)设函数f=+.世纪金榜导学号

    (1)画出y=f的图象;

    (2)当x时, fax+b,求a+b的最小值.

    【解析】(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.

    (2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,

    故当且仅当a3且b2时,

    f(x)ax+b在[0,+)上成立,

    因此a+b的最小值为5.

    恒成立和存在性问题

    【典例】(2018·全国卷)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

    (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集.

    (2)若f(x)1,求a的取值范围.

    【解析】(1)当a=1时,f(x)=

    可得f(x)0的解集为{x|-2x3}.

    (2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.

    而|x+a|+|x-2||a+2|,且当x=2时等号成立.

    故f(x)1等价于|a+2|4.

    由|a+2|4可得a-6或a2,

    所以a的取值范围是(-,-6][2,+).

     

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