（新教材）2020-2021学年上学期高二期中备考卷 数学（A卷）

新教材）2020-2021学年上学期高二期中备考金卷

数学（A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．若随机变量，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．

4．若随机变量，，则（    ）

A．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．8

5．的展开式的常数项为（    ）

A． B． C． D．

6．五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）

A．平面平面 B．异面直线与所成的角为

C．二面角的大小为 D．在棱上存在点使得平面

8．若函数在其定义域上有两个零点，则的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列命题中，正确的命题是（    ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，，则

B．已知，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大

10．下列等式正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

11．如图直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则（    ）

A．平面平面 

C．二面角的大小为 D．与平面所成角的正切值为

12．设为函数的导函数，已知，，则下列结论中正确的是（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上有极大值 D．在上有极小值

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知复数z满足：，则________．

14．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为_______．

15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有_______种分配方案．（用数字作答）

16．已知空间向量，，的模长分别为，，，且两两夹角均为，点为的重心，若，，，，则__________；__________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，分别为，的中点，过的平面与侧面交于．

（1）求证：；

（2）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值．

18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：

商场经销一件该商品，采用期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元；分期或期付款，其利润为元，表示经销一件该商品的利润．

（1）求事件：“购买该商品的位顾客中，至少有位采用期付款”的概率；

（2）求的分布列、期望和方差．

19．（12分）已知．

（1）若函数在处的切线平行于轴，求函数的单调区间；

（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．(其中为自然对数的底数)

20．（12分）某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：

（1）根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？

（2）现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男生的人数为，求的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：

参考公式：，其中．

21．（12分）如图，在直三棱柱中，点、分别为和的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

22．（12分）已知．

（1）讨论函数的极值；

（2）若对，其中为自然对数的底数，使得恒成立，求实数的取值范围．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】由，可得，

∴的共轭复数为，故选D．

2．【答案】C

【解析】事件表示“小于5的点数出现”，

的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，表示事件是出现点数为5和6．

事件表示“小于5的偶数点出现”，

它包含的事件是出现点数为2和4，

，，，

，故选C．

3．【答案】D

【解析】因为随机变量，所以，解得，

所以随机变量，

所以，故选D．

4．【答案】A

【解析】由题意，随机变量，可得正态曲线的对称轴，

所以，故选A．

5．【答案】B

【解析】的展开式的通项公式为．

令或，分别解得或．

所以的展开式的常数项为，

故选B．

6．【答案】B

【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为，故选B．

7．【答案】D

【解析】对于D，取的中点，连，，

侧面为正三角形，，

又底面是的菱形，

三角形是等边三角形，，

，平面，平面，

平面，故D正确；

对于B，平面，，

即异面直线与所成的角为，故B错误；

对于C，底面为菱形，，平面平面，

平面，，，，

则是二面角的平面角，

设，则，，

在直角三角形中，，即，

故二面角的大小为，故C错误；

对于A，平面，，

所以平面，平面，

所以面平面，显然平面与平面不垂直，故A错误，

故选D．

8．【答案】A

【解析】函数的定义域为，．

（1）当时，对任意的，，

若，则；若，则，

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

当时，；当时，，

由于函数在其定义域上有两个零点，

则，解得；

（2）当时，令，可得，．

①若，即当时，对任意的，恒成立，

所以，函数在定义域上单调递减，至多一个零点，不合乎题意；

②若，即当时，

令，得或；令，得．

此时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．

当时，；当时，，

则有或，

若，则，舍去；

若，令，令，其中，

．

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，

所以，，则方程无解；

③若，即当时，

令，得或；令，得，

此时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为．

当时，；当时，，

则有或，

若，则，舍去；

若，令，令，其中，

，

所以，函数在区间上单调递减，

所以，，此时方程无解．

综上所述，实数的取值范围是，故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】BCD

【解析】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，

可得，，则，故选项A错误；

对于选项B：根据排列数和组合数的计算公式可得，

，，

因为，所以有，

即，解得，故选项B正确；

对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，

则，即，故选项C正确；

对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，

当时，对应的概率，

所以当时，，

由，得，即，

因为，所以且，

即时，概率最大，故选项D正确，

故选BCD．

10．【答案】ABD

【解析】A．，故正确；

B．，故正确；

C．，故错误；

D．，故正确，

故选ABD．

11．【答案】AC

【解析】A中，，

在三角形中，，所以，

又，可得平面，平面，

所以平面平面，A选项正确；

B中，若，

又，可得平面，则，而，

显然矛盾，故B选项错误；

C中，二面角的平面角为，

根据折前着后不变知，故C选项正确；

D中，由上面分析可知，为直线与平面所成角，

在中，，故D选项错误，

故选AC．

12．【答案】ABD

【解析】由，得，

设，则，

由，得；由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

在上有极小值，

故选ABD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】，故，故答案为．

14．【答案】

【解析】依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即，

二项式展开式的通项公式为，

令，，所以的系数为，

故答案为．

15．【答案】30

【解析】由题可知，先将5名医生分成2组，有种，

再分配的两家医院有种，即有30种分配方案，

故答案为30．

16．【答案】，

【解析】取的中点，

，

又，空间向量，，的模长分别为，，，

且两两夹角均为，

，，，，

．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以，

又平面，平面，所以平面，

因为平面平面，

所以．

（2）因为平面平面，取中点，

连接，，因为是等边三角形，所以，

所以平面，故，

又因为，所以，

以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，得，，所以，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，，．

【解析】（1）购买该商品的位顾客中至少有位采用期付款的对立事件是购买该商品的位顾客中无人采用期付款，

设表示事件“购买该商品的位顾客中至少有位采用期付款”．

知表示事件“购买该商品的位顾客中无人采用期付款”，

，∴．

（2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为元，元，元，

得到变量对应的事件的概率，，，，

的分布列为：

∴，

∴．

19．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．

【解析】（1），函数在处的切线平行于轴，

则，即，此时，

令，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2），定义域为，则，

可得当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以在处取得极大值，

又，

所以在上有两个零点只需，

即，解得，

所以实数的取值范围为．

20．【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）

所以，

所以有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．

（2）的取值为0，1，2，3，4．

，，，

，．

所以的分布列为

所以．

21．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）如图，作线段中点，连接、，

因为是线段中点，点为线段的中点，所以，

因为是线段中点，点为线段的中点，三棱柱是直三棱柱，

所以，

因为，直线平面，直线平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面．

（2）如图，以为原点、为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，

则，，，，

，，，，

设是平面的法向量，则，即，

令，则，；

设是平面的法向量，则，即，

令，则，，

令二面角为，则，

故结合图像易知，二面角的余弦值为．

22．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，，

当时，，故的单调递减，无极值；

当时，令，得．

则时，，单调递增；时，，单调递减，

综上所述，当时，在处取得极大值，无极小值．

当时，无极值．

（2）由题意知，恒成立，

设，则只需在上的最大值小于零，

，

令，得(舍去)或．

①当，即时，在上单调递增，

故在上取得最大值，

由，得，解得，

又，故，所以；

②当，即时，在上单调递减，

故在上取得最大值，

由，得；

③当，即时，在上单调递增，

在上单调递减，故在上取得最大值，

又，，

所以，，故，

综上，实数的取值范围为．