（新教材）2020-2021学年上学期高二期中备考卷 数学（B卷）
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数学（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
2．在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（ ）
A．96 B．99 C．100 D．101
3．命题，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在等差数列中，，，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
8．已知在中，角所对的边分别是，，若，则的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，下列四个结论正确的是（ ）
A．的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象
B．当时，函数取得最大值
C．图象的对称中心是，
D．在区间上单调递增
11．已知曲线（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
12．在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．
下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____．
14．双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为_________．
15．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是______．
16．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗栗，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”；现打算按此比例偿还，问牛的主人应赔偿______斗栗，羊的主人应赔偿_______斗栗．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和．
18．（12分）（1）若不等式对任意的都成立，求的取值范围；
（2）求函数的最大值．
19．（12分）已知抛物线（），其上一点到的焦点的距离为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），
若的面积为4，求直线的方程．
20．（12分）某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高％．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，
则实数的取值范围是多少？
21．（12分）数列的前项和为，，且，，成等差数列．
（1）求的值；
（2）证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
（3）设，若对任意的，不等式恒成立，
试求实数的取值范围．
22．（12分）圆（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为．
2．【答案】B
【解析】在等差数列中，，，
，
当时，则，解得，故选B．
3．【答案】C
【解析】命题，，
否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，
则命题的否定为，，故选C．
4．【答案】A
【解析】，，
，，
故选A．
5．【答案】A
【解析】根据题意得，推不出，，，推不出，
，即，
但是推不出，推不出，则推不出，
是的必要不充分条件，故选A．
6．【答案】C
【解析】双曲线的焦点在轴上，，解得，
又双曲线的焦距为4，
，解得，经检验，符合题意，
故选C．
7．【答案】B
【解析】数列为等差数列，，，
∴，∴数列为递增数列，
∴当时，；当时，．
∴当时，；当时，，
且，
∴数列有最大项，无最小项，∴数列有最大项，无最小项．
8．【答案】A
【解析】由，可得，即，，
由余弦定理得，
，
又，，
即的周长的取值范围是．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】ABD
【解析】∵，，且，
因为，∴．
A：，A对；
B：，，∵，∴，∴，B对；
C：，C错；
D：，∴，D对．
10．【答案】CD
【解析】A项，的图象向左平移个单位长度可得，而，故A错误；
B项，令，则，
当时，，故B错误；
C项，，
令，．
函数图象的对称中心是，故C正确；
D项，，
当时，，此时函数单调递增，故D正确，
故选CD．
11．【答案】ACD
【解析】由曲线，得其标准形式为，
A中，若，则，表示焦点在轴上的椭圆；
B中，若，则，表示圆心在原点，半径为的圆；
C中，若，则，异号，表示双曲线，渐近线方程为；
D中，若，，则，表示两条直线．
12．【答案】BCD
【解析】对于A选项，取，
则不是常数，
则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，
B选项中的结论正确；
对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，
C选项中的结论正确；
对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，
则，
由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，
则对任意的恒成立，则，得，
此时，数列为常数列，D选项正确，
故选BCD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由集合，得，解得，
，
“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，
，
故答案为．
14．【答案】
【解析】双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，
所以焦点在轴上，
设标准方程为，且，，
解得，，
所以双曲线的标准方程为，
故答案为．
15．【答案】
【解析】不等式对任意，恒成立，
，，，
，，由基本不等式得，
（当且仅当，即时取等号），
，
，解得，
的取值范围为，故答案为．
16．【答案】，
【解析】由题意设牛主应赔偿，马主赔偿，羊主应赔偿，
则，，成公比为2的等比数列，
所以，解得，所以，
故答案为，．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】设等比数列的公比为，
（1）选①：因为，，成等差数列，所以，
因为，所以，，，
所以，即，
又，解得，所以．
选②：因为，，成等差数列，
所以，即，化简得，
所以，即，
又，解得，所以．
选③：因为，所以，则，
所以，，，
经验证符合．
（2）因为，
，
则
．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知可得，对任意都成立，
又∵，当且仅当时等号成立，∴，
∴的取值范围是．
（2）令，则，∴，
当，即时，；
当，即时，，当且仅当，即时等号成立，
∴的最大值为．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，
由抛物线的定义，得，解得，
所求抛物线的方程为．
（2）由题意知，直线的斜率一定存在．
①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意；
②当直线的斜率不为0时，依题意，设直线，
设点，．
点均在轴的上方，，，，
由（1）知抛物线的焦点，则．
联立直线的方程与抛物线的方程，即，
消去并整理得．
由，得（因为），
且有，，
，
解得或，
又，，，
直线的方程为．
20．【答案】（1）500名；（2）．
【解析】（1）由题意，得，
整理得，解得，
又，，
最多调整出500名员工从事第三产业．
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元．
则由题意，知，当时，恒有，
整理得在时恒成立．
，
当且仅当，即时等号成立，
，
又，，
的取值范围是．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．
【解析】（1）在，中，
令，得，即，①
又②
则由①②解得．
（2）当时，由，得到，
则，
又，则，
是以为首项，为公比的等比数列，
，即．
（3）当恒成立时，
即（）恒成立，
设（），
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于对称轴，则在上单调递减，
恒成立，则满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）椭圆（）过点，
．①
又椭圆离心率为，，
．②
联立①②得，解得，
椭圆的方程为．
（2）方法一：
当直线斜率不存在时，则，；
当直线斜率存在时，设直线，与椭圆交点，．
联立，
消去并整理得．
由于，，，
，
，，
综上所述，．
方法二：
当直线斜率为0时，，则；
当直线斜率不为0时，
设直线设与椭圆交点，，
联立，消去并整理得．
由于，，，
，
，
综上所述，．
