2021届山东新高考物理一轮复习讲义：第1章第3节　运动图象和追及相遇问题第2节　匀变速直线运动的规律

第3节　运动图象和追及相遇问题


一、直线运动的图象
1．x­t图象
(1)物理意义
反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。
(2)两种特殊的x­t图象
①若x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动。
②若x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。
2．v­t图象
(1)物理意义
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。
(2)两种特殊的v­t图象
①若v­t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。
②若v­t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。
二、追及和相遇问题
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
2．相遇问题的两类情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)无论是x­t图象还是v­t图象都只能描述直线运动。 (√)
(2)x­t图象交点表示相遇，v­t图象的交点表示速度相同。 (√)
(3)x­t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。 (×)
(4)同一直线上运动的两物体，后者若追上前者时，后者速度必须大于前者。 (×)
(5)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近。 (√)
(6)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。
(√)
2．(沪科版必修1P43T6改编)(多选)如图所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x随时间t变化的图象，已知甲对应的是图象中的直线，乙对应的是图象中的曲线，则下列说法正确的是(　　)

A．甲做匀减速直线运动
B．乙做变速直线运动
C．0～t1时间内两物体平均速度大小相等
D．两物体的运动方向相反
BD　[结合题意分析题图易知，题图中图象的斜率等于速度，知甲沿负方向做匀速直线运动，故A项错误；乙图线切线的斜率不断增大，说明乙的速度不断增大，做变速直线运动，故B项正确；根据坐标的变化量等于位移知，0～t1时间内两物体位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C项错误；根据图象的斜率等于速度可知，甲的速度为负，乙的速度为正，即两物体的运动方向相反，故D项正确。]
3．(人教版必修1P41T5改编)(多选)一质点做直线运动的v­t图象如图所示，下列选项正确的是(　　)

A．在2～4 s内，质点所受合外力为零
B．质点在0～2 s内的加速度比4～6 s内的加速度大
C．在第4 s末，质点离出发点最远
D．在0～6 s内，质点的平均速度为5 m/s
AD　[由题图可知，在2～4 s内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A对；由题图可知，质点在0～2 s内加速度大小为5 m/s2,4～6 s内加速度大小为10 m/s2，B错；由题图可知，在第5 s末，质点离出发点最远，C错；在0～6 s内，质点的平均速度＝＝5 m/s，D对。]
4．(粤教版必修1P47T17改编)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则(　　)
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
B　[在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，选项A、C错误，B正确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误。]

运动学图象　
1．x­t图象与v­t图象的比较

x­t图象
v­t图象
图象示例



图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)
图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
图线含义
图线②表示质点静止
图线②表示质点做匀速直线运动
图线③表示质点向负方向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减速直线运动
交点④表示此时三个质点相遇
交点④表示此时三个质点有相同的速度
点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分的面积表示质点在0～t1时间内的位移)
2.三点说明
(1)x­t图象与v­t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；
(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
　(多选)(2019·贵州遵义航天高级中学模考)如图所示的x­t图象和v­t图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况。则下列说法正确的是(　　)

A．甲车速度不变，乙车速度逐渐减小
B．t1时刻，甲的速度大于乙的速度
C．丙、丁两车在t2时刻相遇
D．t2时刻，丙的加速度大于丁的加速度
审题指导：解此题的关键有两点
(1)正确把握图象代表的物体运动规律。
(2)正确区分两类图象中交点、斜率的物理意义。
ABD　[由x­t图象可知甲车做匀速直线运动，乙车做速度越来越小的变速直线运动，故A正确；x­t图象的斜率表示速度，t1时刻，甲图线的斜率大于乙图线的斜率，所以甲的速度大于乙的速度，故B正确；由v­t图象与时间轴围成的面积表示位移可知，丙、丁两车在t2时刻没有相遇，故C错误；v­t图象的斜率表示加速度，t2时刻，丙图线的斜率大于丁图线的斜率，所以丙的加速度大于丁的加速度，故D正确。]

直线运动图象问题要根据物理情景中遵循的规律，由图象提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答。具体分析过程如下：



　x­t图象的应用
1.物体A、B的x-t图象如图所示，由图可知(　　)

A．从第3 s起，两物体运动方向相同，且vA＞vB
B．两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3 s才开始运动
C．在5 s内两物体的位移相等，5 s末A、B相遇
D．5 s内A、B的平均速度相等
A　[x-t图象的斜率大小表示物体运动的速度大小，斜率的正、负表示物体运动的方向，由题图可知，A正确；B物体的出发点在距离原点5 m处，A物体的出发点在原点处，B错误；物体B在5 s内的位移为10 m－5 m＝5 m，物体A在5 s内的位移为10 m，B＝ m/s＝1 m/s，A＝ m/s＝2 m/s，C、D错误。]
2．(2019·四川资阳一诊)如图所示，a、b、c三个物体在同一条直线上运动，其x­t图象中，图线c是一条x＝0.4t2的抛物线。有关这三个物体在0～5 s内的运动，下列说法正确的是(　　)

A．a物体做匀加速直线运动
B．c物体做加速度增大的加速直线运动
C．t＝5 s时，a物体与c物体相距10 m
D．a、b两物体都做匀速直线运动，且速度相同
C　[位移—时间图象为倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，则知a、b两物体都做匀速直线运动。由题图可知，a、b两图线的斜率大小相等、正负相反，说明两物体的速度大小相等、方向相反，故A、D错误；图线c是一条x＝0.4t2的抛物线，结合x＝v0t＋at2可知，c做初速度为0、加速度为0.8 m/s2的匀加速直线运动，故B错误；根据图象可知，t＝5 s时，a物体与c物体相距10 m，故C正确。]
　v­t图象的应用
3.(2019·山东聊城第一中学3月模拟)a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度
B．20秒时，a、b两物体相距最远
C．60秒时，物体a在物体b的前方
D．40秒时，a、b两物体速度相等，相距200 m
C　[a、b加速时，b图线的斜率更大，所以b的加速度更大，故选项A错误；第40秒时，两物体速度相等，此时位移差最大，所以相距最远，故选项B错误；v­t图线与时间轴围成的面积表示位移，则60秒时a的位移是2 100 m，b的位移是1 600 m，所以a在b的前方，故选项C正确；40秒时，由图线面积差可得，两物体的相对位移是900 m，故选项D错误。]
4.(多选)(2019·河南四模)甲、乙两个质点从同一位置开始做直线运动，v­t图象如图所示，两质点在t2时刻相遇，则下列说法正确的是(　　)

A．t1时刻两质点的运动方向相反
B．相遇前两质点一定在t1时刻相距最远
C．t1～t2时间内，一定有某一时刻两质点的加速度相同
D．t2时刻，甲刚好从后面追上乙
BC　[由题图可知，在t1时刻，两质点的速度方向均为正方向，即两质点均沿正方向运动，故A错误；由图象可知，两质点从同一位置开始运动，在0～t1时间内，甲质点的速度始终大于乙质点的速度，故甲在前乙在后，在这段时间内，两质点的距离越来越远，在t1时刻速度达到相同，距离最远，B正确；若v­t图象是曲线，则曲
在某一时刻的切线斜率代表该时刻的瞬时加速度，所以在t1～t2时间内，可以在甲质点的图象上画出与乙质点图象相平行的切线，故在t1～t2时间内，一定有某一时刻两质点的加速度相同，C正确；由B选项的分析可知，在t2时刻之前，乙质点一直处于甲质点的后方，故在t2时刻，乙恰好从后方追上甲，D错误。]
　图象的转换
5．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a­t图象如图所示，则下列各v­t图象中可能正确描述此物体运动的是(　　)


A　　　 　　　B

C　　　　　　D
D　[物体在0～时间内做加速度为a0的匀加速直线运动，时刻速度达到最大值，在～T时间内以最大速度做匀速直线运动，在T～时间内做加速度为a0的匀减速直线运动，a­t图线与t轴所围面积表示物体速度的变化量，可知时刻物体的速度减小为0，在～2T时间内物体开始反向做加速度大小为a0的匀加速直线运动。]
追及相遇问题　
1．追及、相遇问题中的“一个条件、两个关系”
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
2．追及、相遇问题的常见情景
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情境：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB

追及、相遇问题的常用分析方法
1.临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
2．函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
3．图象法
(1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
　 　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　
　(一题多解)在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
思路点拨：要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。

[解析]　法一：临界法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有sB＝at2，vB＝at
对两车有s＝sA－sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
v0<。
法二：函数法
利用判别式求解，由法一可知sA＝s＋sB
即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
法三：图象法
利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′

对B车有vB＝v′＝at′
以上两式联立解得t′＝
经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知s＝v0·t′＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
[答案]　v0<

牢记“一个思维流程”



1.如图所示，A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正在摩擦力作用下以vB＝10 m/s的初速度向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2。则A追上B所经历的时间是(　　)

A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
B　[由题意知，t＝5 s时，物体B的速度减为零，位移大小xB＝vBt＋at2＝25 m，此时A的位移xA＝vAt＝20 m，A、B两物体相距Δs＝s＋xB－xA＝7 m＋25 m－20 m＝12 m，再经过Δt＝＝3 s，A追上B，所以A追上B所经历的时间是5 s＋3 s＝8 s，选项B正确。]
2．(2019·安徽合肥模拟)强行超车是道路交通安全的极大隐患之一。如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36 km/h的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长L1＝5 m、货车车身长L2＝8 m，货车在甲车前s＝3 m 处。若甲车司机开始加速从货车左侧超车，加速度大小为2 m/s2。假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度。求：
(1)甲车完成超车至少需要多长时间；
(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距110 m，乙车速度为54 km/h。甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车能否安全超车。

[解析]　本题考查追及问题在交通问题中的应用。
(1)设甲车经过时间t刚好完成超车，在时间t内
甲车位移x1＝v1t＋at2
货车位移x2＝v2t
根据几何关系有x1＝x2＋L1＋L2＋s
代入数据解得t＝4 s
甲车完成超车至少需要的时间为4 s。
(2)假设甲车能安全超车，在4 s内，
甲车位移x1＝v1t＋at2＝56 m
乙车位移x3＝v3t＝60 m
由于x1＋x3＝116 m>110 m，故甲车不能安全超车。
[答案]　(1)4 s　(2)不能安全超车


与运动图象相结合的追及相遇问题
近几年的高考追及和相遇问题常以v­t图象或x­t图象的形式考查，用图象描述两物理量关系时，比较直观、形象且信息量大，体现了数形结合法的应用。
　2019年1月31日，河南信阳高速因路面结冰和出现团雾而造成多车追尾。如图所示是模拟在该高速公路上的甲、乙两车刹车过程中的v­t图象，甲车在后，乙车在前。若两车发生追尾，则以下判断正确的是(　　)

A．两车一定是在t＝15 s至t＝20 s之间的某时刻发生追尾
B．两车可能是在t＝8 s时发生追尾
C．t＝0时刻两车间距可能大于28 m
D．甲车刹车的加速度大小是乙车的3倍
[解析]　根据速度—时间图象可知，15～20 s内，甲车的速度小于乙车．不可能发生追尾，选项A错误；0～10 s内任一时刻，甲车的速度大于乙车，这个时间段内可能发生追尾，选项B正确；t＝10 s时两车的速度大小均为5 m/s，在v­t图象中，图象与t轴所围成的面积表示位移，0～10 s内，甲车位移大小x1＝×10 m＝100 m，乙车位移大小x2＝×10 m＝75 m，因两车发生追尾，所以两车间距离应小于Δx＝x1－x2＝25 m，选项C错误；根据速度—时间图象的斜率表示加速度可得甲的加速度大小a1＝ m/s2＝1 m/s2，乙的加速度大小a2＝ m/s2＝0.5 m/s2，则a1＝2a2，选项D错误。
[答案]　B

3.(2019·江淮十校联考)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶。其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x­t图象如图所示。则乙车追上甲车前两车间的最大距离为(　　)

A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
C　[由题知，v甲＝ m/s＝20 m/s,100 m＝a(5 s)2，可知v乙＝at＝8t。将x­t图象转化为v­t图象，如图所示。v­t图象与t轴围成的图形面积表示位移，可知t＝2.5 s时，甲、乙速度相等，此时相距最远，所以最大距离是阴影部分面积，即25 m，故选C。]

4．具有我国自主知识产权的“歼­10”飞机的横空出世，证实了我国航空事业在飞速发展，而航空事业的发展又离不开风洞试验，其简化模型如图a所示。在光滑的水平轨道上停放相距x0＝10 m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车。在弹射装置使甲车获得v0＝40 m/s的瞬时速度向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的v­t图象如图b所示，设两车始终未相撞。

a　　　　　　　　　b
(1)若甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，求甲、乙两车的质量比；
(2)求两车相距最近时的距离。
[解析]　(1)由题图b可知：甲车加速度的大小
a甲＝ m/s2
乙车加速度的大小a乙＝ m/s2
因甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，所以有：m甲a甲＝m乙a乙
解得＝。
(2)在t1时刻，甲、乙两车的速度相等，均为v＝10 m/s，此时两车相距最近
对乙车有：v＝a乙t1
对甲车有：v＝a甲(0.4 s－t1)
可解得t1＝0.3 s
车的位移等于v­t图线与时间轴所围的面积，有：x甲＝ m＝7.5 m，x乙＝ m＝1.5 m
两车相距最近时的距离为
xmin＝x0＋x乙－x甲＝4 m。
[答案]　(1)　(2)4 m

运动学是高中物理最重要、最基础的内容，与生活、体育、交通有紧密的联系，是高考命题的重点和热点，通过对近几年高考STSE热点问题的归类研究，可归纳出以下三个STSE高考命题热点。
　以体育运动为背景的多过程问题
[示例1]　如图所示是某一次接力训练。已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程。设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，加速度大小为3 m/s2。乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。在某次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端x0＝14.0 m处向乙发出起跑口令。已知接力区的长度为L＝20 m。求：

(1)此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令；
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
[解析]　(1)设乙加速到交接棒时运动时间为t，
则在甲追乙过程中有：x0＋at2＝vt
代入数据得：t1＝2 s
t2＝4.67 s(不符合乙加速最长时间tm＝＝ s实际，舍去)
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：
x′＝at2＝6 m。
(2)乙加速时间为：t乙＝ s
设甲在距离接力区前端为x′时对乙发出起跑口令，则在甲追乙过程中有：x′＋at＝vt乙
代入数据得：x′＝16.7 m。
(3)棒在(2)过程以v＝10 m/s速度运动，所以有：
t＝＝2 s。
[答案]　(1)6 m　(2)16.7 m　(3)2 s
　以生活科技为背景的实际应用问题
[示例2]　(2019·广州3月模拟)高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为(　　)

A．4.2 m B．6.0 m
C．7.8 m D．9.6 m
D　[汽车的运动过程分为两个阶段，在识别时间内和司机反应内汽车做匀速运动，然后减速刹车。在识别车载电子标签的0.3 s时间内汽车匀速运动距离x1＝vt1＝6×0.3 m＝1.8 m，在司机的反应时间0.7 s内汽车匀速运动距离x2＝vt2＝6×0.7 m＝4.2 m，刹车距离x3＝＝3.6 m，该ETC通道的长度约为x＝x1＋x2＋x3＝9.6 m，所以只有选项D正确。]
　以交通安全为背景的综合应用问题
[示例3]　为了最大限度地减少道路交通事故，某地开始了“集中整治酒后驾驶违法行为”专项行动。这是因为一般驾驶员酒后的反应时间比正常时慢了0.1～0.5 s，易发生交通事故。下图是《驾驶员守则》中的安全距离图示和部分安全距离表格。
车速v/(km/h)
反应距离s/m
刹车距离x/m
40
10
10
60
15
22.5
80
A
40

请根据该图表回答下列问题(结果保留2位有效数字)：
(1)请根据表格中的数据计算驾驶员的反应时间；
(2)如果驾驶员的反应时间相同，请计算出表格中A的数据；
(3)假设在同样的路面上，一名饮了少量酒的驾驶员驾车以72 km/h速度行驶，在距离一学校门前52 m处发现有一队学生在斑马线上横过马路，他的反应时间比正常时慢了0.2 s，会发生交通事故吗？
[解析]　(1)车速v1＝40 km/h＝ m/s
由于在反应时间内汽车仍匀速行驶，根据车速v和反应距离s，可计算驾驶员的反应时间Δt＝＝ s＝0.90 s，即驾驶员的反应时间为0.90 s。
(2)如果驾驶员的反应时间相同，由＝可计算出表格中A的数据为s3＝＝10× m＝20 m，即表格中数据A表示20。
(3)车速v＝72 km/h＝20 m/s
反应时间Δt＝0.90 s＋0.2 s＝1.1 s
驾驶员的反应距离s＝vΔt＝20×1.1 m＝22 m
设刹车距离为x，由比例法＝
即x＝＝ m＝32.4 m
停车距离L＝s＋x＝54.4 m
由于停车距离L>52 m，故会发生交通事故。
[答案]　(1)0.90 s　(2)20　(3)会　理由见解析