2021高三物理人教版一轮学案：第一章第2讲　匀变速直线运动的规律


第2讲　匀变速直线运动的规律
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
　知识点1　匀变速直线运动的公式及推论
1．匀变速直线运动

注意：无论匀加速还是匀减速直线运动，中间位置的速度总是大于中间时刻的速度。
2．初速度为零的匀变速直线运动的四个重要推论
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内……位移的比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内，第二个T内、第三个T内……位移的比为：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
思考：一辆汽车从A点开始以初速度v0做匀加速直线运动，加速度为a，经过时间t到达B点，再过时间t到达C点。

(1)如何推导AC段的平均速度AC？如何推导B点的速度vB？AC与vB的大小关系如何？
(2)如何推导AB段与BC段的位移差的表达式？
(3)如何推导出汽车若从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…
[答案]　(1)AC＝＝v0＋at；vB＝v0＋at；二者相等。
(2)利用公式x＝v0t＋at2推导，得二者位移差为at2。
(3)利用公式x＝at2推导。
　知识点2　自由落体运动和竖直上抛运动

思维诊断：
(1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。(　×　)
(2)匀变速直线运动的位移是均匀增加的。(　×　)
(3)匀变速直线运动是加速度不变而速度均匀变化的直线运动。(　√　)
(4)匀变速直线运动包括匀加速直线运动和匀减速直线运动。(　√　)
(5)物体从高处下落就是自由落体运动。(　×　)
(6)竖直上抛运动是匀变速直线运动。(　√　)
(7)竖直上抛运动上升至最高点的时间为。(　√　)
,
1．(2020·湖北、山东部分重点中学联考)(多选)汽车沿平直公路运动，某时刻速度大小为v，从此时刻起开始做匀减速直线运动，加速度大小为a，经过时间t恰好停止运动，这段时间内经历的路程为x。下列关系式中正确的有(　BCD　)
A．x＝vt＋at2 B．x＝at2
C．x＝ D．v2＝2ax
[解析]　本题考查位移的表达式。位移、速度、加速度均为矢量，以初速度方向为正方向，因此应有x＝vt－at2，由于vt＝v－at＝0，即v＝at，代入x＝vt－at2，得x＝at2；0－v2＝2(－a)x，即v2＝2ax；匀变速直线运动的平均速度为，则x＝，故B、C、D符合题意。
2．(2020·河南省洛阳市模拟)汽车以某一初速度开始做匀加速直线运动，第1 s内行驶了1 m，第2 s内行驶了2 m，则汽车第3 s内的平均速度为(　B　)
A．2 m/s B．3 m/s
C．4 m/s D．5 m/s
[解析]　根据匀变速直线运动的推论可知：x2－x1＝x3－x2，则x3＝3 m，则第3 s内的平均速度为3＝＝3 m/s，故选B。
3．(2019·广西龙胜中学月考)雨滴自屋檐由静止滴下，每隔0.2 s滴下一滴，第一滴落地时第六滴恰好刚要滴下，则此时第二滴雨滴下落的速度为(不计空气阻力，g＝10 m/s2)(　A　)
A．8.00 m/s B．7.84 m/s
C．7.20 m/s D．7.00 m/s
[解析]　本题考查自由落体运动规律，雨滴做自由落体运动，每隔0.2 s滴下一滴，第一滴落地时第六滴恰好刚要滴下，则第二滴雨滴运动的时间t＝0.2×4 s＝0.8 s，则此时第二滴雨滴下落的速度v＝gt＝10×0.8 m/s＝8 m/s，故A正确，B、C、D错误。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
　考点一　匀变速直线运动基本关系式的应用
1．恰当选用公式
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)
没有涉及
的物理量
适宜选用公式
v0、v、a、t
x
v＝v0＋at
v0、a、t、x
v
x＝v0t＋at2
v0、v、a、x
t
v2－v＝2ax
v0、v、t、x
a
x＝t

2．运动公式中符号的规定
一般规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值。若v0＝0，一般以a的方向为正方向。
3．解答运动学问题的基本思路
→→→→
例1　(2020·广东广州一模)高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为(　D　)

A．4.2 m B．6.0 m
C．7.8 m D．9.6 m
[解析]　本题考查直线运动中的临界问题。汽车的速度21.6 km/h＝6 m/s，汽车在前0.3 s＋0.7 s内做匀速直线运动，位移为x1＝v0(t1＋t2)＝6×(0.3＋0.7) m＝6 m，随后汽车做匀减速运动，位移为x2＝＝ m＝3.6 m，所以该ETC通道的长度为L＝x1＋x2＝6 m＋3.6 m＝9.6 m，故A、B、C错误，D正确。
规律总结：
使用公式时，要先选好公式，每个公式都是4个物理量，当已知量较少时，要设出过程间的共量，当已知量较多时，要优先选择一次方程解题，选好公式后，代数时要先规定好正方向，注意代入数值的正、负。
〔类题演练1〕
(2019·江苏一模)一质点做匀加速直线运动，在时间t内的平均速度为v，末速度是初速度的3倍，则该质点在时间t内的加速度为(　D　)

A． B．
C． D．
[解析]　本题考查根据初、末速度计算加速度。设质点运动的初速度为v0，加速度为a，则末速度为3v0，时间t内该质点的平均速度v＝＝2v0，加速度a＝＝＝＝，故D正确。
　考点二　解决匀变速直线运动问题的常用方法
1．基本公式法：基本公式指速度公式v＝v0＋at、位移公式x＝v0t＋at2及速度—位移关系式v2－v＝2ax。它们均是矢量式，应用时要注意物理量的方向。
2．平均速度法：定义式 ＝ 对任何性质的运动都适用，而＝(v0＋v)只适用于匀变速直线运动。
3．中间时刻速度法：v＝ 适用于匀变速直线运动，在某些题目中应用它可以简化解题过程。
4．比例法：对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的比例关系求解。
5．逆向思维法：即把运动过程的末态作为初态，反向研究问题。一般用于末态已知，特别是末速度为零的情况。
6．图象法：应用v－t图象，可把较复杂的问题转变为简单的数学问题解决。用图象定性分析有时可避开烦琐的计算。
7．推论法：对一般匀变速直线运动问题，若出现连续相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δx＝aT2求解。
例2　物体以一定的初速度冲上固定的光滑的斜面，到达斜面最高点C时速度恰为零，如图所示。已知物体运动到斜面长度处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。(用尽量多的方法解决此题)

[解析]　解法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，可看成向下匀加速滑下斜面。
故sBC＝at，sAC＝a(t＋tBC)2
又sBC＝sAC，解得：tBC＝t
解法二：比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
现有sBC∶sBA＝(sAC)∶(sAC)＝1∶3，
通过sAB的时间为t，故通过sBC的时间tBC＝t
解法三：中间时刻速度法
利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度。
AC＝(v＋v0)＝(v0＋0)＝v0
又v＝2asAC　①
v＝2asBC　②
sBC＝sAC　③
解得①②③得：vB＝v0
可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置，所以物体从B到C用时也为t。

解法四：图象面积法
利用相似三角形面积之比，等于对应边平方比的方法，作出v－t图象，如图所示。
＝
且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，
OC＝t＋tBC
故＝
得tBC＝t
解法五：推论法
对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比

t1∶t2∶t2∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶(－)∶…∶(－)
现将整个斜面分成相等的四段，如图所示。设通过BC段的时间为tx，那么通过BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(－1)tx，tDE＝(－)tx，tEA＝(－)tx，
又tBD＋tDE＋tEA＝t，得tx＝t
[答案]　t
〔类题演练2〕
(2019·辽宁沈阳二中月考)一个物体做末速度为零的匀减速直线运动，比较该物体在减速运动的倒数第3 m、倒数第2 m、最后1 m内的运动，下列说法中正确的是(　D　)
A．经历的时间之比是1∶2∶3
B．平均速度之比是3∶2∶1
C．平均速度之比是1∶(－1)∶(－)
D．平均速度之比是(＋)∶(＋1)∶1
[解析]　本题考查匀变速直线运动推论的应用。将物体所做末速度为零的匀减速直线运动看成反方向初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度为零的匀加速直线运动的推论可知，物体在倒数第3 m、倒数第2 m、倒数第1 m位移内所经历的时间之比是(－)∶(－1)∶1，A错误；由平均速度公式＝，已知x都是1 m，可得平均速度之比是(＋)∶(＋1)∶1，D正确，B、C错误。
　考点三　自由落体运动和竖直上抛运动
1．自由落体运动的特点
(1)自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动。
(2)一切匀加速直线运动的公式均适用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，在自由落体运动中应用更频繁。
2．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v0时，物体在抛出点上方；hl，查得当时相机的曝光时间为t，楼房每层高为h，重力加速度为g，则由此可以求得(　B　)
A．钢筋坠地瞬间的速度约为
B．钢筋坠下的楼层为＋1
C．钢筋坠下的楼层为＋1
D．钢筋在整个下落时间内的平均速度约为
[解析]　本题考查有长度的物体的自由落体运动问题。钢筋在最后t时间内的位移为(L－l)，故钢筋在该时间段的平均速度为v＝，由于时间t极短，此平均速度可以用来表示末时刻的瞬时速度，故末速度为v＝，故A错误；对钢筋下落的全过程进行分析，根据速度—位移公式有v2＝2gH，解得H＝＝＝，故楼层为n＝＋1＝＋1，即B正确，C错误；钢筋在整个下落时间内的平均速度＝＝，故D错误。
　考点四　多阶段匀变速运动问题
1．基本思路
如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带，可按下列步骤解题：
(1)画：分清各阶段运动过程，画出草图；
(2)列：找出各运动阶段的运动方程；
(3)找：找出交接处的速度与各段间的位移—时间关系；
(4)解：联立求解，算出结果。
2．解题关键
多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往往是解题的关键。
例4　(2019·山东省实验中学模考)如图甲所示，在某处安装有500万像素的固定雷达测速仪，可以准确抓拍超速车辆以及测量运动车辆的加速度。一辆汽车正从A点迎面驶向测速仪B，若测速仪与汽车相距355 m，此时测速仪发出超声波，同时汽车由于紧急情况而急刹车，汽车运动到C处与超声波相遇，当测速仪接收到发射回来的超声波信号时，汽车恰好停在D点，且此时汽车与测速仪相距335 m，忽略测速仪安装高度的影响，可简化为图乙所示分析(已知超声波速度为340 m/s)。

(1)求汽车刹车过程中的加速度a;
(2)此路段有80 km/h的限速标志，分析该汽车刹车前的行驶速度是否超速？
[解析]　本题考查实际生活中的测速问题。
(1)设超声波往返的时间为2t，由题意可知，汽车在2t时间内，刹车的位移为x＝a(2t)2＝20 m，
当超声波与汽车相遇后，汽车继续前进的时间为t，位移为x2＝at2＝5 m，
则超声波在2t内的路程2xBC＝2×(335＋5) m＝680 m，由超声波速度为340 m/s，得t＝1 s，
解得汽车的加速度a＝10 m/s2。
(2)A车刹车过程中的位移x＝，
则刹车前的速度v0＝20 m/s＝72 km/h，
车速在规定范围内，汽车在刹车前的行驶速度没有超速。
[答案]　(1)10 m/s2　(2)不超速
规律总结：
求解多阶段运动问题的三点注意
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求量以及中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程。
〔类题演练4〕
(2020·湖南师大附中月考)学校对升旗手的要求是：国歌响起时开始升旗，当国歌结束时国旗恰好升到旗杆顶端。已知某次国歌从响起到结束的时间是48 s，国旗上升的高度是17.6 m。若国旗先向上做匀加速运动，时间持续4 s，然后做匀速运动，最后做匀减速运动，减速时间也为4 s，国旗到达旗杆顶端时的速度恰好为零。则下列关于国旗匀加速运动时加速度大小a及国旗匀速运动时的速度大小v，正确的是(　C　)
A．a＝0.2 m/s2，v＝0.1 m/s
B．a＝0.4 m/s2，v＝0.2 m/s
C．a＝0.1 m/s2，v＝0.4 m/s
D．a＝0.1 m/s2，v＝0.2 m/s
[解析]　本题根据直线运动不同阶段的运动时间求解加速度和速度的大小。对于国旗加速上升阶段有x1＝at，对于国旗匀速上升阶段有v＝at1，x2＝vt2；对于国旗减速上升阶段有x3＝vt3－a3t；对于全过程有a＝a3，t1＝t3＝4 s；t1＋t2＋t3＝48 s，x1＋x2＋x3＝17.6 m；由以上各式可得a＝0.1 m/s2，v＝0.4 m/s，故选C。
00JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏

1．刹车类运动：如汽车刹车、物体沿粗糙平面滑动，这类运动的速度减到零后停止运动。
2．双向可逆运动：如竖直上抛、沿光滑斜面向上滑动，这类运动的速度减到零后，以相同加速度反向加速。
例5　(2020·重庆江津中学模拟)汽车在平直公路上行驶，刹车后位移x随时间变化的关系为x＝20t－t2，则从刹车开始，2 s内和5 s内汽车的位移之比为(　B　)
A．5∶4 B．3∶4
C．4∶5 D．4∶3
[解析]　本题考查根据位移—时间关系表达式计算某时间段位移的大小。位移x随时间t变化的关系为x＝20t－t2，可知该车的初速度为20 m/s，加速度为－5 m/s2，汽车速度减为零的时间t0＝＝ s＝4 s，则2 s内的位移x1＝v0t1＋at＝20×2－×5×4 m＝30 m,5 s内的位移等于4 s内的位移，则x2＝t0＝×4 m＝40 m，可知2 s内与5 s内汽车的位移之比为3∶4，故A、C、D错误，B正确。
例6　(多选)如图所示，在光滑足够长的斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，物体的加速度大小始终为5 m/s2，方向沿斜面向下，当物体的位移大小为7.5 m时，下列说法正确的是(　ABC　)

A．物体运动时间可能为1 s
B．物体运动时间可能为3 s
C．物体运动时间可能为(2＋) s
D．此时的速度大小一定为5 m/s
[解析]　当物体的位置在出发点的上方时，
根据x＝v0t＋at2
得7.5＝10t－×5t2
即t2－4t＋3＝0，所以t1＝3 s或t2＝1 s
由v＝v0＋at得v＝±5 m/s
当物体的位置在出发点的下方时，
根据x＝v0t＋at2得
－7.5＝10t－×5t2
即t2－4t－3＝0，t＝(2±) s，舍去负值
即t3＝(2＋) s。由v＝v0＋at得v＝－5 m/s，
所以选项A、B、C均正确，D错误。
规律总结：
两类匀减速直线运动问题的区别
(1)刹车类问题：指匀减速到速度为零后立即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间。如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
汽车在刹车时，有时要考虑司机的反应时间，在反应时间内汽车做匀速运动，然后做匀减速直线运动。
(2)双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正、负号及物理意义。
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2019·全国卷Ⅰ，18)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足(　C　)

A．1