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2021高三统考人教物理一轮(经典版)学案:第1章第2讲 匀变速直线运动的规律
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第2讲 匀变速直线运动的规律
主干梳理 对点激活
知识点 匀变速直线运动及其公式 Ⅱ
1.定义和分类
(1)匀变速直线运动:沿着一条直线,且加速度不变的运动。
(2)分类
2.三个基本公式
(1)速度与时间关系式:v=v0+at。
(2)位移与时间关系式:x=v0t+at2。
(3)速度与位移关系式:v2-v=2ax。
3.两个重要推论
(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度,还等于初末时刻速度矢量和的一半,即:=v=。
(2)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量,即:Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。可以推广到xm-xn=(m-n)aT2。
4.初速度为零的匀变速直线运动的五个推论
(1)1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度的比为:
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内……nT内位移的比为:
x1∶x2∶x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内位移的比为:
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
(4)从静止开始运动位移x、2x、3x、…、nx所用时间的比为:
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶。
(5)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为:
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。
知识点 自由落体运动和竖直上抛运动 Ⅱ
1.自由落体运动
(1)条件:物体只在重力作用下,从静止开始的运动。
(2)运动性质:初速度v0=0,加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。
(3)基本规律
①速度与时间关系式:v=gt。
②位移与时间关系式:h=gt2。
③速度与位移关系式:v2=2gh。
(4)伽利略对自由落体运动的研究
①伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论。
②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来。
2.竖直上抛运动
(1)运动特点:加速度为g,上升阶段做匀减速直线运动,下降阶段做自由落体运动。
(2)基本规律
①速度与时间关系式:v=v0-gt。
②位移与时间关系式:h=v0t-gt2。
③速度与位移关系式:v2-v=-2gh。
④上升的最大高度:H=。
⑤上升到最高点所用时间:t=。
一 堵点疏通
1.匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。( )
2.匀加速直线运动的位移是均匀增大的。( )
3.在匀变速直线运动中,中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。( )
4.物体由某高度从静止下落一定做自由落体运动。( )
5.竖直上抛最高点速度为零而加速度不为零。( )
6.竖直上抛的上升阶段速度的变化量的方向是向下的。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√
二 对点激活
1.(人教版必修1·P40·T3改编)以18 m/s的速度行驶的汽车,制动后做匀减速运动,在3 s内前进36 m,则汽车在5 s内的位移为( )
A.50 m B.45 m
C.40.5 m D.40 m
答案 C
解析 根据x=v0t+at2得36=18×3+a×32,即a=-4 m/s2。汽车停止所需时间为t′== s=4.5 s<5 s,所以4.5 s末汽车停车,5 s内的位移x== m=40.5 m,故C正确。
2. (人教版必修1·P45·T3改编)有一种“傻瓜”照相机,其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调节,而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间,实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下,拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动,它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上2.5 m的高度下落,每块砖的平均厚度为6 cm,请估算这架照相机的曝光时间为( )
A.0.01 s B.0.02 s
C.0.1 s D.0.2 s
答案 B
解析 解法一:(公式法)图中AB的实际长度为AB=0.12 m,A到地面的高度h1=8.5×6 cm=0.51 m。B到地面的高度h2=6.5×6 cm=0.39 m,则hOA=H-h1
=1.99 m,hOB=H-h2=2.11 m。由hOA=gt得t1≈0.63 s,hOB=gt得t2≈0.65 s。曝光时间Δt=t2-t1=0.02 s,故B正确。
解法二:(估算法)自由落体运动到A点的末速度为v==6.3 m/s。因为0.12 m远小于1.99 m,故可以近似地将AB段当做匀速直线运动,故t==0.019 s,故B正确。
3.(人教版必修1·P43·T3改编)某型号的舰载飞机在航空母舰的跑道上加速时,发动机产生的最大加速度为5 m/s2,所需的起飞速度为50 m/s,跑道长100 m。设飞机起飞对航空母舰的运动状态没有影响,飞机在跑道上的运动可以看做匀加速直线运动。
(1)通过计算判断,飞机能否靠自身的发动机从舰上起飞?(≈3.16)
(2)为了使飞机在开始滑行时就有一定的初速度,航空母舰装有弹射装置,对于该型号的舰载飞机,弹射系统必须使它具有多大的初速度?(≈3.87)
答案 (1)不能 (2)38.7 m/s
解析 (1)由v=2ax
得vt==10 m/s≈31.6 m/s。
因为vt<50 m/s,所以飞机依靠自身的发动机不能从航空母舰上起飞。
(2)设弹射装置使舰载飞机的初速度为v0,
由v2-v=2ax
得v0==10 m/s=38.7 m/s。
考点细研 悟法培优
考点1 匀变速直线运动规律的应用
1.对于运动学公式的选用可参考下表所列方法
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)
没有涉及的物理量
适宜选用的公式
v0、v、a、t
x
[速度与时间关系式]
v=v0+at
v0、a、t、x
v
[位移与时间关系式]
x=v0t+at2
v0、v、a、x
t
[速度与位移关系式]
v2-v=2ax
v0、v、t、x
a
[平均速度公式]
x=t
2.运动学公式中正、负号的规定
匀变速直线运动五个公式中,除时间t外,x、v0、v、a均为矢量,可以用正、负号表示矢量的方向,一般情况下,我们规定初速度的方向为正方向,与初速度同向的物理量取正值,与初速度反向的物理量取负值,但当v0=0时,一般以a的方向为正方向。
例1 如图所示,一长为200 m的列车沿平直的轨道以80 m/s的速度匀速行驶,当车头行驶到进站口O点时,列车接到停车指令,立即匀减速停车,因OA段铁轨不能停车,整个列车只能停在AB段内,已知OA=1200 m,OB=2000 m,求:
(1)列车减速运动的加速度大小的取值范围;
(2)列车减速运动的最长时间。
(1)此车的长度需考虑吗?
提示:需要。
(2)列车减速运动的最长时间对应车的运动情况是什么?
提示:车头恰好停在B点。
尝试解答 (1)1.6 m/s2≤a≤ m/s2 (2)50 s
(1)若列车车尾恰好停在A点,设减速运动的加速度大小为a1,位移为x1,则
0-v=-2a1x1
x1=1200 m+200 m=1400 m
解得a1= m/s2
若列车车头恰好停在B点,设减速运动的加速度大小为a2,位移为xOB=2000 m,则
0-v=-2a2xOB
解得a2=1.6 m/s2
故加速度大小a的取值范围为1.6 m/s2≤a≤ m/s2。
(2)当列车车头恰好停在B点时,减速运动的时间最长,则0=v0-a2t,解得t=50 s。
求解匀变速直线运动问题的一般步骤
(1)基本思路
(2)应注意的问题
①选择公式时一定要注意分析已知量和待求量,根据所涉及的物理量选择合适的公式求解,会使问题简化。例1中(1)知道v0、v、x,求a,没有时间t,很自然的想到选v2-v=2ax;(2)求时间t,涉及到三个公式,由于v=v0+at运算简单,作为首选。
②对于刹车类问题,当车速度为零时,停止运动,其加速度也突变为零。求解此类问题应先计算车停下所用时间,再选择合适公式求解。
③对于双向可逆类问题,如沿光滑斜面上滑的物块,到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑,全过程加速度大小、方向均不变,故求解时可对全过程列式,但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。
④如果一个物体的运动包含几个阶段,要注意分析各段的运动性质和各段交接处的速度。
[变式1-1] 一质点沿直线运动,其平均速度与时间的关系满足v=2+t(各物理量均选用国际单位制中单位),则关于该质点的运动,下列说法正确的是( )
A.质点可能做匀减速直线运动
B.5 s内质点的位移为35 m
C.质点运动的加速度为1 m/s2
D.质点3 s末的速度为5 m/s
答案 B
解析 根据平均速度v=知,x=vt=2t+t2,根据x=v0t+at2=2t+t2知,质点的初速度v0=2 m/s,加速度a=2 m/s2,质点做匀加速直线运动,故A、C错误;5 s内质点的位移x1=v0t1+at=2×5 m+×2×25 m=35 m,故B正确;质点在3 s末的速度vt=v0+at2=2 m/s+2×3 m/s=8 m/s,故D错误。
[变式1-2] 一物体做匀减速直线运动,在4 s内的位移为16 m,速度大小变为原来的三分之一,方向不变。则该物体的加速度大小为( )
A.1 m/s2 B.1.5 m/s2
C.2 m/s2 D.0.75 m/s2
答案 A
解析 解法一:设该物体的初速度为v0,加速度大小为a,由题意知t=4 s,根据匀变速直线运动规律,x=v0t-at2,=v0-at,联立解得a=1 m/s2,A正确。
解法二:此题也可用平均速度公式求解,得出平均速度==,由x= t,解得v0=6 m/s,最后由=v0-at,解得a=1 m/s2,A正确。
考点2 自由落体运动和竖直上抛运动
1.自由落体运动的特点
(1)自由落体运动是初速度为零,加速度为g的匀加速直线运动。
(2)一切匀加速直线运动的公式均适用于自由落体运动,特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式,在自由落体运动中应用更频繁。
2.竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法:将全程分为两个阶段,即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法:将全过程视为初速度为v0向上,加速度g向下的匀变速直线运动,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时,物体正在上升;v<0时,物体正在下降;h>0时,物体在抛出点上方;h<0时,物体在抛出点下方。
例2 将一个物体在t=0时刻以一定的初速度竖直向上抛出,t=0.8 s时物体的速度大小变为8 m/s(不计空气阻力,g取10 m/s2),则下列说法正确的是( )
A.物体一定是在t=3.2 s时回到抛出点
B.t=0.8 s时刻物体的运动方向可能向下
C.物体的初速度一定是20 m/s
D.t=0.8 s时刻物体一定在初始位置的下方
(1)0.8 s内物体速度的改变量是多少?
提示:Δv=gt=8 m/s。
(2)t=0.8 s时物体的速度大小变为8 m/s,此时速度方向有可能竖直向下吗?
提示:不可能。
尝试解答 选A。
物体做竖直上抛运动,在0.8 s内的速度变化量Δv=gt=8 m/s,因为初速度不为零,可以知道t=0.8 s时刻速度的方向一定竖直向上,不可能竖直向下,物体处于抛出点的上方,故B、D错误。由v=v0-gt得v0=16 m/s,则上升到最高点的时间t1==1.6 s,则从抛出到回到抛出点的时间t=2t1=3.2 s,故A正确,C错误。
竖直上抛的重要特性
(1)对称性:如图所示,物体以初速度v0竖直上抛,A、B为途中的任意两点,C为最高点,则:
①时间对称性:物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等,同理有tAB=tBA。
②速度对称性:物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等,方向相反。
③能量对称性:物体从A→B和从B→A重力势能变化量的大小相等,均等于mghAB。
(2)多解性:在竖直上抛运动中,当物体经过抛出点上方某一位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下落阶段,因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解,也可能造成路程多解。
[变式2-1] 科技馆中的一个展品如图所示,在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头,在一种特殊的间歇闪光灯的照射下,若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同,可以看到一种奇特的现象,水滴似乎不再下落,而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动,对出现的这种现象,下列描述正确的是(取g=10 m/s2)( )
A.水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB
B.闪光的间隔时间是 s
C.水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD=1∶4∶9
D.水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD=1∶3∶5
答案 B
解析 在运动学问题的解题过程中,若多个物体所参与的运动规律完全相同,可将多个物体的运动转换为一个物体的连续运动,解答过程将变得简单明了。
由题图可知∶∶=1∶3∶5,水滴做初速度为零的匀加速直线运动,由题意知水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等,A错误;由h=gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s,即闪光的间隔时间是 s,B正确;由=知水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD=1∶3∶5,C错误;由v=gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD=1∶2∶3,D错误。
[变式2-2] 如图所示是一种较精确测重力加速度g值的方法:将下端装有弹射装置的真空玻璃直管竖直放置,玻璃管足够长,小球竖直向上被弹出,在O点与弹簧分离,上升到最高点后返回。在O点正上方选取一点P,利用仪器精确测得OP间的距离为H,从O点出发至返回O点的时间间隔为T1,小球两次经过P点的时间间隔为T2,求:
(1)重力加速度g;
(2)当O点距离管底部的距离为L0时,玻璃管的最小长度。
答案 (1) (2)L0+
解析 (1)小球从O点上升到最大高度过程中
h1=g2
小球从P点上升到最大高度过程中h2=g2
依据题意得h1-h2=H,联立解得g=。
(2)真空管的最小长度L=L0+h1,故L=L0+。
考点3 匀变速直线运动问题的求解方法
例3 目前交警部门开展的“车让人”活动深入人心,如图所示,司机发现前方有行人正通过人行横道时开始做匀减速直线运动,恰好在停车线处停止运动。汽车经4 s停止,若在第1 s内的位移是14 m,则最后1 s内的位移是( )
A.3.5 m B.2 m
C.1 m D.0
该题属于末速度为零的匀减速直线运动,常采用何种方法处理?
提示:逆向思维法结合比例法。
尝试解答 选B。
利用“逆向思维法”,把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,则匀减速直线运动的物体在相等时间内的位移之比为7∶5∶3∶1,所以=,x1=2 m,故B正确。
1.“一画,二选,三注意”解决匀变速直线运动问题
2.多过程问题的解题方法
(1)问题特点
一个物体的运动包含几个阶段,各阶段的运动性质不同,满足不同的运动规律,交接处的速度是连接各阶段运动的纽带。
(2)基本思路
[变式3-1] 一个质点正在做匀加速直线运动,用固定的照相机对该质点进行闪光照相,闪光时间间隔为1 s,分析照片得到的数据,发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了0.2 m;在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了0.8 m,由上述条件可知( )
A.质点运动的加速度是0.6 m/s2
B.质点运动的加速度是0.3 m/s2
C.第1次闪光时质点的速度是0.1 m/s
D.第2次闪光时质点的速度是0.3 m/s
答案 B
解析 由Δx=aT2和逐差法可得质点运动的加速度是0.3 m/s2,A错误,B正确;第1次、第2次闪光的时间间隔内中间时刻的速度v=0.2 m/s,第1次闪光时质点的速度是v1=v-a=(0.2-0.3×0.5) m/s=0.05 m/s,第2次闪光时质点的速度是v2=v+a=(0.2+0.3×0.5) m/s=0.35 m/s,C、D错误。
[变式3-2] (2019·西宁第四中学高三一模)跳伞运动员做低空跳伞表演,当直升机悬停在离地面224 m高时,运动员离开飞机做自由落体运动,运动了5 s后,打开降落伞,展伞后运动员减速下降至地面,若运动员落地速度为5 m/s,取g=10 m/s2,求运动员匀减速下降过程的加速度大小和时间。
答案 12.5 m/s2 3.6 s
解析 运动员做自由落体运动的位移为
h=gt2=×10×52 m=125 m
打开降落伞时的速度为:v1=gt=10×5 m/s=50 m/s
匀减速下降过程有:v-v=-2a(H-h)
将v2=5 m/s、H=224 m代入上式,
解得:a=12.5 m/s2
匀减速运动的时间为:t′== s=3.6 s。
答卷现场1 匀变速直线运动问题
(9分)短跑运动员完成100 m赛跑的过程可简化为匀加速运动和匀速运动两个阶段。一次比赛中,某运动员用11.00 s跑完全程。已知运动员在加速阶段的第2 s内通过的距离为7.5 m,求该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离。
试卷抽样
评析指导
1.失分点①:方程及结果错误,扣3分。
失分原因:思维不严谨,误将运动员在加速的第2 s内初速度漏掉。
补偿建议:强化过程分析,明确每个运动过程中的已知量和未知量,选用正确的公式求解。
规范解答:x1=at x1+x2=a(2t0)2
t0=1 s,解得a=5 m/s2
2.失分点②:结果错误扣2分。
失分原因:由于第一步中的a计算错误,直接导致该步计算加速时间和位移错误。
规范解答:把a=5 m/s2代入方程
解得t加=2 s
x加=10 m
3.其他可能失分点:误将题干中第2 s内当成前2 s
得x=at2 a= m/s2=3.75 m/s2
4.解题过程中繁琐的数学运算可略去,只剩必要的步骤和结果。
高考模拟 随堂集训
1.(2019·晋冀鲁豫中原名校高三第三次联考)舰载战斗机着舰被称为“在刀尖上跳舞”,指的是舰载战斗机着舰有很大的风险,一旦着舰不成功,飞行员必须迅速实施“逃逸复飞”,“逃逸复飞”是指制动挂钩挂拦阻索失败后飞机的复飞。若某飞行员在一次训练“逃逸复飞”科目时,舰载战斗机复飞前的速度为25 m/s,复飞过程中的最大加速度为6 m/s2,航母跑道长为200 m,起飞需要的最小速度为50 m/s。则舰载战斗机在跑道上复飞过程的最短时间是( )
A.4.2 s B.5.0 s
C.7.5 s D.8.0 s
答案 A
解析 舰载战斗机在复飞过程中做匀加速直线运动,当加速度最大时复飞时间最短,故战斗机复飞的最短时间为t== s=4.2 s。故A正确。
2.(2019·全国卷Ⅰ)如图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1,第四个所用的时间为t2。不计空气阻力,则满足( )
A.1<<2 B.2<<3
C.3<<4 D.4<<5
答案 C
解析 空气阻力不计,运动员竖直上升过程做匀减速直线运动,位移为H时的速度为0。逆向观察,运动员做初速度为0的匀加速直线运动,则连续相等位移所用时间之比为1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。由题意知,==2+,故3<<4,C正确。
3.(2019·湖北襄阳三模)(多选)物体从A点由静止出发,先以大小为a1的加速度做匀加速直线运动到某速度v后,立即以大小为a2的加速度做匀减速直线运动至B点,速度恰好减为零,所用总时间为t。若物体以速度v0匀速通过AB,所用时间也为t,则下列表达正确的是( )
A.v=2v0 B.+=
C.-= D.+=
答案 AB
解析 由运动学公式有:x=v0t=t1+t2=(t1+t2)=t,解得v=2v0,A正确;由t1=,t2=得:t=+,整理得:+=,B正确,C、D错误。
4.(2019·四川自贡高三一诊)某汽车在高速公路上行驶的速度为108 km/h,司机发现前方有障碍物时,立即采取紧急刹车,其制动过程中的加速度大小为5 m/s2,假设司机的反应时间为0.50 s,汽车制动过程中做匀变速直线运动。求:
(1)汽车制动8 s后的速度是多少?
(2)汽车至少要前行多远才能停下来?
答案 (1)0 (2)105 m
解析 (1)选取初速度方向为正方向,有:v0=108 km/h=30 m/s,由vt=v0+at得汽车的制动时间为:t== s=6 s,则汽车制动8 s后的速度是0。
(2)在反应时间内汽车的位移:x1=v0t0=15 m;
汽车的制动距离为:x2=t=×6 m=90 m。
则汽车至少要前行的距离为:x=x1+x2=105 m。
5.(2017·全国卷Ⅱ)为提高冰球运动员的加速能力,教练员在冰面上与起跑线相距s0和s1(s1
(1)冰球与冰面之间的动摩擦因数;
(2)满足训练要求的运动员的最小加速度。
答案 (1) (2)
解析 (1)设冰球的质量为m,冰球与冰面之间的动摩擦因数为μ,μmg=ma①
v-v=-2as0②
联立①②式得μ=③
(2)冰球到达挡板时,满足训练要求的运动员中,刚好到达小旗处的运动员的加速度最小。设这种情况下,运动员的加速度大小为a′,所用的时间为t。
由运动学公式得
t=s0④
s1=a′t2⑤
联立④⑤式得a′=。
第2讲 匀变速直线运动的规律
主干梳理 对点激活
知识点 匀变速直线运动及其公式 Ⅱ
1.定义和分类
(1)匀变速直线运动:沿着一条直线,且加速度不变的运动。
(2)分类
2.三个基本公式
(1)速度与时间关系式:v=v0+at。
(2)位移与时间关系式:x=v0t+at2。
(3)速度与位移关系式:v2-v=2ax。
3.两个重要推论
(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度,还等于初末时刻速度矢量和的一半,即:=v=。
(2)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量,即:Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。可以推广到xm-xn=(m-n)aT2。
4.初速度为零的匀变速直线运动的五个推论
(1)1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度的比为:
v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内……nT内位移的比为:
x1∶x2∶x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内位移的比为:
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
(4)从静止开始运动位移x、2x、3x、…、nx所用时间的比为:
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶。
(5)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为:
t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。
知识点 自由落体运动和竖直上抛运动 Ⅱ
1.自由落体运动
(1)条件:物体只在重力作用下,从静止开始的运动。
(2)运动性质:初速度v0=0,加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。
(3)基本规律
①速度与时间关系式:v=gt。
②位移与时间关系式:h=gt2。
③速度与位移关系式:v2=2gh。
(4)伽利略对自由落体运动的研究
①伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论。
②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推。这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来。
2.竖直上抛运动
(1)运动特点:加速度为g,上升阶段做匀减速直线运动,下降阶段做自由落体运动。
(2)基本规律
①速度与时间关系式:v=v0-gt。
②位移与时间关系式:h=v0t-gt2。
③速度与位移关系式:v2-v=-2gh。
④上升的最大高度:H=。
⑤上升到最高点所用时间:t=。
一 堵点疏通
1.匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。( )
2.匀加速直线运动的位移是均匀增大的。( )
3.在匀变速直线运动中,中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。( )
4.物体由某高度从静止下落一定做自由落体运动。( )
5.竖直上抛最高点速度为零而加速度不为零。( )
6.竖直上抛的上升阶段速度的变化量的方向是向下的。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√
二 对点激活
1.(人教版必修1·P40·T3改编)以18 m/s的速度行驶的汽车,制动后做匀减速运动,在3 s内前进36 m,则汽车在5 s内的位移为( )
A.50 m B.45 m
C.40.5 m D.40 m
答案 C
解析 根据x=v0t+at2得36=18×3+a×32,即a=-4 m/s2。汽车停止所需时间为t′== s=4.5 s<5 s,所以4.5 s末汽车停车,5 s内的位移x== m=40.5 m,故C正确。
2. (人教版必修1·P45·T3改编)有一种“傻瓜”照相机,其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调节,而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间,实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下,拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动,它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上2.5 m的高度下落,每块砖的平均厚度为6 cm,请估算这架照相机的曝光时间为( )
A.0.01 s B.0.02 s
C.0.1 s D.0.2 s
答案 B
解析 解法一:(公式法)图中AB的实际长度为AB=0.12 m,A到地面的高度h1=8.5×6 cm=0.51 m。B到地面的高度h2=6.5×6 cm=0.39 m,则hOA=H-h1
=1.99 m,hOB=H-h2=2.11 m。由hOA=gt得t1≈0.63 s,hOB=gt得t2≈0.65 s。曝光时间Δt=t2-t1=0.02 s,故B正确。
解法二:(估算法)自由落体运动到A点的末速度为v==6.3 m/s。因为0.12 m远小于1.99 m,故可以近似地将AB段当做匀速直线运动,故t==0.019 s,故B正确。
3.(人教版必修1·P43·T3改编)某型号的舰载飞机在航空母舰的跑道上加速时,发动机产生的最大加速度为5 m/s2,所需的起飞速度为50 m/s,跑道长100 m。设飞机起飞对航空母舰的运动状态没有影响,飞机在跑道上的运动可以看做匀加速直线运动。
(1)通过计算判断,飞机能否靠自身的发动机从舰上起飞?(≈3.16)
(2)为了使飞机在开始滑行时就有一定的初速度,航空母舰装有弹射装置,对于该型号的舰载飞机,弹射系统必须使它具有多大的初速度?(≈3.87)
答案 (1)不能 (2)38.7 m/s
解析 (1)由v=2ax
得vt==10 m/s≈31.6 m/s。
因为vt<50 m/s,所以飞机依靠自身的发动机不能从航空母舰上起飞。
(2)设弹射装置使舰载飞机的初速度为v0,
由v2-v=2ax
得v0==10 m/s=38.7 m/s。
考点细研 悟法培优
考点1 匀变速直线运动规律的应用
1.对于运动学公式的选用可参考下表所列方法
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)
没有涉及的物理量
适宜选用的公式
v0、v、a、t
x
[速度与时间关系式]
v=v0+at
v0、a、t、x
v
[位移与时间关系式]
x=v0t+at2
v0、v、a、x
t
[速度与位移关系式]
v2-v=2ax
v0、v、t、x
a
[平均速度公式]
x=t
2.运动学公式中正、负号的规定
匀变速直线运动五个公式中,除时间t外,x、v0、v、a均为矢量,可以用正、负号表示矢量的方向,一般情况下,我们规定初速度的方向为正方向,与初速度同向的物理量取正值,与初速度反向的物理量取负值,但当v0=0时,一般以a的方向为正方向。
例1 如图所示,一长为200 m的列车沿平直的轨道以80 m/s的速度匀速行驶,当车头行驶到进站口O点时,列车接到停车指令,立即匀减速停车,因OA段铁轨不能停车,整个列车只能停在AB段内,已知OA=1200 m,OB=2000 m,求:
(1)列车减速运动的加速度大小的取值范围;
(2)列车减速运动的最长时间。
(1)此车的长度需考虑吗?
提示:需要。
(2)列车减速运动的最长时间对应车的运动情况是什么?
提示:车头恰好停在B点。
尝试解答 (1)1.6 m/s2≤a≤ m/s2 (2)50 s
(1)若列车车尾恰好停在A点,设减速运动的加速度大小为a1,位移为x1,则
0-v=-2a1x1
x1=1200 m+200 m=1400 m
解得a1= m/s2
若列车车头恰好停在B点,设减速运动的加速度大小为a2,位移为xOB=2000 m,则
0-v=-2a2xOB
解得a2=1.6 m/s2
故加速度大小a的取值范围为1.6 m/s2≤a≤ m/s2。
(2)当列车车头恰好停在B点时,减速运动的时间最长,则0=v0-a2t,解得t=50 s。
求解匀变速直线运动问题的一般步骤
(1)基本思路
(2)应注意的问题
①选择公式时一定要注意分析已知量和待求量,根据所涉及的物理量选择合适的公式求解,会使问题简化。例1中(1)知道v0、v、x,求a,没有时间t,很自然的想到选v2-v=2ax;(2)求时间t,涉及到三个公式,由于v=v0+at运算简单,作为首选。
②对于刹车类问题,当车速度为零时,停止运动,其加速度也突变为零。求解此类问题应先计算车停下所用时间,再选择合适公式求解。
③对于双向可逆类问题,如沿光滑斜面上滑的物块,到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑,全过程加速度大小、方向均不变,故求解时可对全过程列式,但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。
④如果一个物体的运动包含几个阶段,要注意分析各段的运动性质和各段交接处的速度。
[变式1-1] 一质点沿直线运动,其平均速度与时间的关系满足v=2+t(各物理量均选用国际单位制中单位),则关于该质点的运动,下列说法正确的是( )
A.质点可能做匀减速直线运动
B.5 s内质点的位移为35 m
C.质点运动的加速度为1 m/s2
D.质点3 s末的速度为5 m/s
答案 B
解析 根据平均速度v=知,x=vt=2t+t2,根据x=v0t+at2=2t+t2知,质点的初速度v0=2 m/s,加速度a=2 m/s2,质点做匀加速直线运动,故A、C错误;5 s内质点的位移x1=v0t1+at=2×5 m+×2×25 m=35 m,故B正确;质点在3 s末的速度vt=v0+at2=2 m/s+2×3 m/s=8 m/s,故D错误。
[变式1-2] 一物体做匀减速直线运动,在4 s内的位移为16 m,速度大小变为原来的三分之一,方向不变。则该物体的加速度大小为( )
A.1 m/s2 B.1.5 m/s2
C.2 m/s2 D.0.75 m/s2
答案 A
解析 解法一:设该物体的初速度为v0,加速度大小为a,由题意知t=4 s,根据匀变速直线运动规律,x=v0t-at2,=v0-at,联立解得a=1 m/s2,A正确。
解法二:此题也可用平均速度公式求解,得出平均速度==,由x= t,解得v0=6 m/s,最后由=v0-at,解得a=1 m/s2,A正确。
考点2 自由落体运动和竖直上抛运动
1.自由落体运动的特点
(1)自由落体运动是初速度为零,加速度为g的匀加速直线运动。
(2)一切匀加速直线运动的公式均适用于自由落体运动,特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式,在自由落体运动中应用更频繁。
2.竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法:将全程分为两个阶段,即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法:将全过程视为初速度为v0向上,加速度g向下的匀变速直线运动,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时,物体正在上升;v<0时,物体正在下降;h>0时,物体在抛出点上方;h<0时,物体在抛出点下方。
例2 将一个物体在t=0时刻以一定的初速度竖直向上抛出,t=0.8 s时物体的速度大小变为8 m/s(不计空气阻力,g取10 m/s2),则下列说法正确的是( )
A.物体一定是在t=3.2 s时回到抛出点
B.t=0.8 s时刻物体的运动方向可能向下
C.物体的初速度一定是20 m/s
D.t=0.8 s时刻物体一定在初始位置的下方
(1)0.8 s内物体速度的改变量是多少?
提示:Δv=gt=8 m/s。
(2)t=0.8 s时物体的速度大小变为8 m/s,此时速度方向有可能竖直向下吗?
提示:不可能。
尝试解答 选A。
物体做竖直上抛运动,在0.8 s内的速度变化量Δv=gt=8 m/s,因为初速度不为零,可以知道t=0.8 s时刻速度的方向一定竖直向上,不可能竖直向下,物体处于抛出点的上方,故B、D错误。由v=v0-gt得v0=16 m/s,则上升到最高点的时间t1==1.6 s,则从抛出到回到抛出点的时间t=2t1=3.2 s,故A正确,C错误。
竖直上抛的重要特性
(1)对称性:如图所示,物体以初速度v0竖直上抛,A、B为途中的任意两点,C为最高点,则:
①时间对称性:物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等,同理有tAB=tBA。
②速度对称性:物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等,方向相反。
③能量对称性:物体从A→B和从B→A重力势能变化量的大小相等,均等于mghAB。
(2)多解性:在竖直上抛运动中,当物体经过抛出点上方某一位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下落阶段,因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解,也可能造成路程多解。
[变式2-1] 科技馆中的一个展品如图所示,在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头,在一种特殊的间歇闪光灯的照射下,若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同,可以看到一种奇特的现象,水滴似乎不再下落,而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动,对出现的这种现象,下列描述正确的是(取g=10 m/s2)( )
A.水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB
C.水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD=1∶4∶9
D.水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD=1∶3∶5
答案 B
解析 在运动学问题的解题过程中,若多个物体所参与的运动规律完全相同,可将多个物体的运动转换为一个物体的连续运动,解答过程将变得简单明了。
由题图可知∶∶=1∶3∶5,水滴做初速度为零的匀加速直线运动,由题意知水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等,A错误;由h=gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s,即闪光的间隔时间是 s,B正确;由=知水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD=1∶3∶5,C错误;由v=gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD=1∶2∶3,D错误。
[变式2-2] 如图所示是一种较精确测重力加速度g值的方法:将下端装有弹射装置的真空玻璃直管竖直放置,玻璃管足够长,小球竖直向上被弹出,在O点与弹簧分离,上升到最高点后返回。在O点正上方选取一点P,利用仪器精确测得OP间的距离为H,从O点出发至返回O点的时间间隔为T1,小球两次经过P点的时间间隔为T2,求:
(1)重力加速度g;
(2)当O点距离管底部的距离为L0时,玻璃管的最小长度。
答案 (1) (2)L0+
解析 (1)小球从O点上升到最大高度过程中
h1=g2
小球从P点上升到最大高度过程中h2=g2
依据题意得h1-h2=H,联立解得g=。
(2)真空管的最小长度L=L0+h1,故L=L0+。
考点3 匀变速直线运动问题的求解方法
例3 目前交警部门开展的“车让人”活动深入人心,如图所示,司机发现前方有行人正通过人行横道时开始做匀减速直线运动,恰好在停车线处停止运动。汽车经4 s停止,若在第1 s内的位移是14 m,则最后1 s内的位移是( )
A.3.5 m B.2 m
C.1 m D.0
该题属于末速度为零的匀减速直线运动,常采用何种方法处理?
提示:逆向思维法结合比例法。
尝试解答 选B。
利用“逆向思维法”,把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,则匀减速直线运动的物体在相等时间内的位移之比为7∶5∶3∶1,所以=,x1=2 m,故B正确。
1.“一画,二选,三注意”解决匀变速直线运动问题
2.多过程问题的解题方法
(1)问题特点
一个物体的运动包含几个阶段,各阶段的运动性质不同,满足不同的运动规律,交接处的速度是连接各阶段运动的纽带。
(2)基本思路
[变式3-1] 一个质点正在做匀加速直线运动,用固定的照相机对该质点进行闪光照相,闪光时间间隔为1 s,分析照片得到的数据,发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了0.2 m;在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了0.8 m,由上述条件可知( )
A.质点运动的加速度是0.6 m/s2
B.质点运动的加速度是0.3 m/s2
C.第1次闪光时质点的速度是0.1 m/s
D.第2次闪光时质点的速度是0.3 m/s
答案 B
解析 由Δx=aT2和逐差法可得质点运动的加速度是0.3 m/s2,A错误,B正确;第1次、第2次闪光的时间间隔内中间时刻的速度v=0.2 m/s,第1次闪光时质点的速度是v1=v-a=(0.2-0.3×0.5) m/s=0.05 m/s,第2次闪光时质点的速度是v2=v+a=(0.2+0.3×0.5) m/s=0.35 m/s,C、D错误。
[变式3-2] (2019·西宁第四中学高三一模)跳伞运动员做低空跳伞表演,当直升机悬停在离地面224 m高时,运动员离开飞机做自由落体运动,运动了5 s后,打开降落伞,展伞后运动员减速下降至地面,若运动员落地速度为5 m/s,取g=10 m/s2,求运动员匀减速下降过程的加速度大小和时间。
答案 12.5 m/s2 3.6 s
解析 运动员做自由落体运动的位移为
h=gt2=×10×52 m=125 m
打开降落伞时的速度为:v1=gt=10×5 m/s=50 m/s
匀减速下降过程有:v-v=-2a(H-h)
将v2=5 m/s、H=224 m代入上式,
解得:a=12.5 m/s2
匀减速运动的时间为:t′== s=3.6 s。
答卷现场1 匀变速直线运动问题
(9分)短跑运动员完成100 m赛跑的过程可简化为匀加速运动和匀速运动两个阶段。一次比赛中,某运动员用11.00 s跑完全程。已知运动员在加速阶段的第2 s内通过的距离为7.5 m,求该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离。
试卷抽样
评析指导
1.失分点①:方程及结果错误,扣3分。
失分原因:思维不严谨,误将运动员在加速的第2 s内初速度漏掉。
补偿建议:强化过程分析,明确每个运动过程中的已知量和未知量,选用正确的公式求解。
规范解答:x1=at x1+x2=a(2t0)2
t0=1 s,解得a=5 m/s2
2.失分点②:结果错误扣2分。
失分原因:由于第一步中的a计算错误,直接导致该步计算加速时间和位移错误。
规范解答:把a=5 m/s2代入方程
解得t加=2 s
x加=10 m
3.其他可能失分点:误将题干中第2 s内当成前2 s
得x=at2 a= m/s2=3.75 m/s2
4.解题过程中繁琐的数学运算可略去,只剩必要的步骤和结果。
高考模拟 随堂集训
1.(2019·晋冀鲁豫中原名校高三第三次联考)舰载战斗机着舰被称为“在刀尖上跳舞”,指的是舰载战斗机着舰有很大的风险,一旦着舰不成功,飞行员必须迅速实施“逃逸复飞”,“逃逸复飞”是指制动挂钩挂拦阻索失败后飞机的复飞。若某飞行员在一次训练“逃逸复飞”科目时,舰载战斗机复飞前的速度为25 m/s,复飞过程中的最大加速度为6 m/s2,航母跑道长为200 m,起飞需要的最小速度为50 m/s。则舰载战斗机在跑道上复飞过程的最短时间是( )
A.4.2 s B.5.0 s
C.7.5 s D.8.0 s
答案 A
解析 舰载战斗机在复飞过程中做匀加速直线运动,当加速度最大时复飞时间最短,故战斗机复飞的最短时间为t== s=4.2 s。故A正确。
2.(2019·全国卷Ⅰ)如图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1,第四个所用的时间为t2。不计空气阻力,则满足( )
A.1<<2 B.2<<3
C.3<<4 D.4<<5
答案 C
解析 空气阻力不计,运动员竖直上升过程做匀减速直线运动,位移为H时的速度为0。逆向观察,运动员做初速度为0的匀加速直线运动,则连续相等位移所用时间之比为1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。由题意知,==2+,故3<<4,C正确。
3.(2019·湖北襄阳三模)(多选)物体从A点由静止出发,先以大小为a1的加速度做匀加速直线运动到某速度v后,立即以大小为a2的加速度做匀减速直线运动至B点,速度恰好减为零,所用总时间为t。若物体以速度v0匀速通过AB,所用时间也为t,则下列表达正确的是( )
A.v=2v0 B.+=
C.-= D.+=
答案 AB
解析 由运动学公式有:x=v0t=t1+t2=(t1+t2)=t,解得v=2v0,A正确;由t1=,t2=得:t=+,整理得:+=,B正确,C、D错误。
4.(2019·四川自贡高三一诊)某汽车在高速公路上行驶的速度为108 km/h,司机发现前方有障碍物时,立即采取紧急刹车,其制动过程中的加速度大小为5 m/s2,假设司机的反应时间为0.50 s,汽车制动过程中做匀变速直线运动。求:
(1)汽车制动8 s后的速度是多少?
(2)汽车至少要前行多远才能停下来?
答案 (1)0 (2)105 m
解析 (1)选取初速度方向为正方向,有:v0=108 km/h=30 m/s,由vt=v0+at得汽车的制动时间为:t== s=6 s,则汽车制动8 s后的速度是0。
(2)在反应时间内汽车的位移:x1=v0t0=15 m;
汽车的制动距离为:x2=t=×6 m=90 m。
则汽车至少要前行的距离为:x=x1+x2=105 m。
5.(2017·全国卷Ⅱ)为提高冰球运动员的加速能力,教练员在冰面上与起跑线相距s0和s1(s1
(1)冰球与冰面之间的动摩擦因数;
(2)满足训练要求的运动员的最小加速度。
答案 (1) (2)
解析 (1)设冰球的质量为m,冰球与冰面之间的动摩擦因数为μ,μmg=ma①
v-v=-2as0②
联立①②式得μ=③
(2)冰球到达挡板时,满足训练要求的运动员中,刚好到达小旗处的运动员的加速度最小。设这种情况下,运动员的加速度大小为a′,所用的时间为t。
由运动学公式得
t=s0④
s1=a′t2⑤
联立④⑤式得a′=。
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