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2021高三统考人教物理一轮（经典版）学案：第1章第3讲 运动图象 追及相遇问题
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第3讲 运动图象 追及相遇问题
主干梳理 对点激活
知识点 匀变速直线运动的图象 Ⅱ
1．直线运动的xt图象
(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的大小：表示物体速度的大小。
②斜率的正负：表示物体速度的方向。
(3)两种特殊的xt图象
①若xt图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(如图中甲所示)
②若xt图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。(如图中乙所示)
2．直线运动的vt图象
(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的大小：表示物体加速度的大小。
②斜率的正负：表示物体加速度的方向。
(3)两种特殊的vt图象
①匀速直线运动的vt图象是与横轴平行的直线。(如图中甲所示)
②匀变速直线运动的vt图象是一条倾斜的直线。(如图中乙所示)
(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义
①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。
知识点 追及和相遇问题 Ⅱ
1．追及问题的两类情况
(1)按结果分类
①若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。
②若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
(2)按初始条件分类
①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题：速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速直线运动)。
a．若两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，则永远追不上，此时两者间有最小距离。
b．若两者相遇时，速度也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。
c．若两者相遇时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距有一个极大值。
②从同一地点出发开始同向运动的问题：速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速直线运动)。
a．当两者速度相等时两者间有最大距离。
b．两者位移相等时，则追上。
2．相遇问题
(1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
一 堵点疏通
1．xt图象表示物体的运动轨迹。( )
2．xt图象和vt图象都不能描述曲线运动。( )
3．vt图象上两图线的交点表示两物体速度相等，不代表相遇。( )
4．两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。( )
5．速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽车相撞。( )
6．两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐变小。( )
答案 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.× 6.×
二 对点激活
1. (人教版必修1·P41·T5改编)(多选)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它对于出发点的位移。图为汽车在t＝0到t＝40 s这段时间的xt图象。下列分析正确的是( )
A．汽车离出发点最远的距离为30 m
B．汽车在10～20 s内匀速运动
C．汽车在40 s末回到出发点
D．汽车在20～40 s内加速度为1.5 m/s2
答案 AC
解析 汽车在0～10 s内匀速驶离出发点，10～20 s内静止，20～40 s内匀速驶回出发点，离出发点最远的距离为30 m,40 s末回到出发点，故A、C正确，B错误；汽车在20～40 s内做匀速直线运动，加速度a＝0，故D错误。
2. (人教版必修1·P33·T2改编)(多选)在同一公路上，B、C两辆汽车的vt图象b、c如图所示，两辆汽车同时同地出发，下列说法正确的是( )
A．B车的加速度为 m/s2，C车的加速度为－ m/s2
B．t＝2 s时，C车在B车后
C．B、C两车在大约1.6 s时并排行驶
D．B、C两车并排行驶时离出发点的距离约为9.6 m
答案 AD
解析 根据图象信息可知：aB＝ m/s2＝ m/s2，aC＝ m/s2＝－ m/s2，A正确；由vt图象与时间轴围成的面积表示位移可知，t＝2 s时，以及t＝1.6 s时，C车均在B车前方，故B、C错误；设经过时间t，B、C两车并排行驶，则
xB＝xC①
又因xB＝aBt2②
xC＝v0t＋aCt2③
由图象可知v0＝4 m/s④
联立①②③④得，B、C两车并排行驶时离出发点的距离约为9.6 m，D正确。
考点细研 悟法培优
考点1 运动图象的应用
1.应用运动图象的三点注意
(1)无论是xt图象还是vt图象都只能描述直线运动。
(2)xt图象和vt图象都不表示物体运动的轨迹。
(3)xt图象和vt图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2．应用运动图象解题“六看”
xt图象
vt图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
例1 (多选)如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图象，下列说法中正确的是( )
A．整个过程中，CD段和DE段的加速度相同
B．整个过程中，BC段的加速度最大
C．整个过程中，C点对应时刻离出发点最远
D．BC段对应时间运动的路程是34 m
(1)0～22 s内，质点的运动方向是否发生变化？什么时刻离出发点最远？
提示：当图象过时间轴时质点运动方向发生改变，t＝20 s时速度图象过时间轴，即方向发生了改变。t＝20 s时离出发点最远。
(2)vt图象中图线与时间轴所围的“面积”的含义是什么？
提示：图线与时间轴所围的“面积”表示位移。
尝试解答 选AD。
图象的斜率表示加速度，由图知CD段和DE段在同一直线CE上，斜率相同，故CD段和DE段加速度相同，A正确；由图知，整个过程中CE段斜率最大，加速度最大，B错误；t＝20 s时速度改变方向，所以D点所表示的状态离出发点最远，C错误；BC段和时间轴围成的面积为34 m，D正确。
1．用速度—时间图象巧得五个运动量
(1)运动速度：从速度轴上直接读出，负值表示沿规定的负方向运动。
(2)运动时间：从时间轴上直接读出。
(3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向。例1中BC段加速度沿规定的正方向，CD段加速度沿规定的负方向。
(4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，在时间轴以上为“＋”值，在时间轴以下为“－”值，整个过程的位移是它们的代数和，如CD段的位移为正值，DE段为负值，CE段的总位移为0。
(5)运动的路程：因为路程是标量，所以路程是图线与时间轴围成的面积绝对值的总和。
2．匀变速直线运动的四类非常规图象
(1)at图象：由v＝v0＋at可知图象与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
(2)t图象：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，纵截距为v0，如图乙所示。
(3)v2x图象：由v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，图象斜率为2a，纵截距为v，如图丙所示。
(4)ax图象：由v2－v＝2ax可知a＝·，图象与x轴所围面积表示速度平方的变化量Δv2，如图丁所示。
3．处理图象问题的流程
[变式1－1] 某物体运动的位移—时间图象如图所示。下列说法正确的是( )
A．物体做曲线运动
B．物体在t1时刻速度最大
C．物体在t1时刻速度将反向
D．物体在t2时刻速度为零
答案 C
解析 位移—时间图象只能描述物体的直线运动，A错误；位移—时间图象的斜率表示物体的速度，由题图可知t1时刻物体速度为零，t1时刻后斜率变为负值，物体速度将反向，B错误，C正确；在t2时刻物体的位移为零，速度不为零，D错误。
[变式1－2] 某质点从t＝0开始沿直线运动，其速度的平方v2与位移x的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．t＝2 s时质点速度大小为8 m/s
C．t＝2 s时质点速度大小为4 m/s
D．前2 s质点位移大小为4 m
答案 D
解析 根据v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，由图象可知v0＝4 m/s，斜率k＝2a＝－4，则a＝－2 m/s2，A错误；根据v＝v0＋at可知t＝2 s时速度v＝0，B、C错误；前2 s的位移为x＝v0t＋at2＝4 m，D正确。
[变式1－3] (2019·湖南长沙一中高三月考)一物体由静止开始运动，其加速度a与位移x关系图线如图所示。下列说法正确的是( )
A．物体最终静止
B．物体的最大速度为
C．物体的最大速度为
D．物体的最大速度为
答案 C
解析 物体运动过程中任取一小段，对这一小段有v－v＝2axi，一物体由静止开始运动，将表达式对位移累加，可得末速度的平方v2等于ax关系图线与x轴围成的面积的2倍，则v2＝2，解得物体的最大速度即末速度v＝。故C正确。
考点2 追及和相遇问题
1.追及相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。
2．追及相遇问题的两种典型情况
(1)速度小者追速度大者
类型
图象
说明
匀加速
追匀速
①0～t0时段，后面物体与前面物体间距离不断增大
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离)
③t>t0时，后面物体追及前面物体的过程中，两物体间距离不断减小
④能追上且只能相遇一次
匀速追
匀减速
匀加速追
匀减速
(2)速度大者追速度小者
类型
图象
说明
匀减速
追匀速
开始追时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx
匀速追
匀加速
匀减速追
匀加速
例2 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
(1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么？
提示：汽车和自行车速度相等。
(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么？
提示：位移相等。
尝试解答 (1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s
(1)解法一：(物理分析法)
如图甲所示，汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车和自行车间的距离为Δx，则有v自＝at1
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自t1－at＝6 m。
解法二：(相对运动法)
以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s
末速度vt＝v汽车－v自＝0
加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2
所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为
t1＝＝2 s
最大距离Δx＝＝－6 m
负号表示汽车在后。
注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。
解法三：(极值法)
设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距为Δx，则Δx＝v自t1－at
代入已知数据得Δx＝6t1－t
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，汽车和自行车相距最远，为Δx＝6 m。
解法四：(图象法)
自行车和汽车的vt图象如图乙所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻汽车和自行车速度相等，相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一：(物理分析法)
当汽车和自行车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二：(图象法)
由前面画出的vt图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
追及相遇问题的解题思路及技巧
(1)解题思路
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解进行讨论分析。
④紧紧抓住速度相等这个关键点。
⑤遇到此类选择题时，图象法往往是最便捷的解法，如例2中(1)的解法四。
[变式2－1] (2019·福建高三上校级联考)自行车b经过摩托车a的旁边时，摩托车a从静止开始运动，从该时刻开始计时，它们的vt图象如图所示，已知两车始终在同一条平直公路上行驶，则关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )
A．8 s末自行车开始调头，加速度开始反向
B．6～8 s内摩托车的加速度比自行车的大
C．两车相距最远时，距离为12 m
D．t＝8 s时，自行车在摩托车前方
答案 D
解析 自行车在8 s前速度为正，8 s后速度为负，所以是8 s末开始调头，速度开始反向，vt图象的斜率的正负表示加速度方向，所以8 s末加速度方向不变，A错误；6～8 s内摩托车的加速度为：a摩＝ m/s2＝1 m/s2，自行车的加速度为：a自＝ m/s2＝－2 m/s2>a摩，B错误；当自行车与摩托车速度相等时，即t＝6 s时，两者相距最远，自行车的位移为：x自＝ m＝22 m，摩托车的位移为：x摩＝ m＝12 m，所以两者的最大距离为：Δx＝x自－x摩＝10 m，C错误；t＝8 s时，自行车的位移为：x自′＝ m＝26 m，摩托车的位移为：x摩′＝ m＝22 m
(1)求甲、乙两车在相遇前的最大距离；
(2)求甲、乙两车在相遇前能通信的时间。
答案 (1)12 m (2)0～2 s和6～8.8 s，共4.8 s
解析 (1)设当经过t0时间两车速度大小相等，此时两车相距最远，
即v0＋a1t0＝a2t0
解得t0＝4 s
甲、乙两车在相遇前的最大距离为
Δsm＝d＋v0t0＋a1t－a2t
解得Δsm＝12 m。
(2)设经过时间t1两车相遇，
则有d＋v0t1＋a1t＝a2t
解得t1＝(4±2) s
舍去负根，可得t1＝8.8 s
设经过时间t两车相距为s0，则有
d＋v0t＋a1t2－a2t2＝s0
解得t2＝2 s，t3＝6 s
甲、乙两车在相遇前能通信的时间为0～2 s和6～8.8 s，共4.8 s。
高考模拟 随堂集训
1.(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 vt图象中图象与t轴所包围的面积代表运动的位移，两车在t2时刻并排行驶，利用逆向思维并借助于面积可知在t1时刻甲车在后，乙车在前，故A错误，B正确；图象的斜率表示加速度，所以甲的加速度先减小后增大，乙的加速度也是先减小后增大，故C错误，D正确。
2. (2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
答案 CD
解析 根据位移图象的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，乙车的速度大于甲车的速度，A错误；从0到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，B错误；从t1到t2时间内，两车都是从x1位置走到x2位置，两车走过的路程相等，C正确；根据位移图象的斜率等于速度可知，从t1到t2时间内的某时刻，有甲图线的切线与乙图线平行、斜率相同，两车速度相等，D正确。
3．(2016·江苏高考)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是( )
答案 A
解析 设小球从H高处由静止下落，则下降过程，位置
为x时，下落的高度为h＝H－x，由v2＝2gh，得v2＝2g(H－x)，式中v的方向向下。小球落地时速度为v0，则v＝2gH，上升阶段：得v2＝2gH－2gx，式中v的方向向上。因此上升和下降阶段速度大小随x的变化规律相同，速度方向相反，且v与x的关系不是线性关系，A项正确。
4. (2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图象如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 由题中v t图象得a甲＝10 m/s2，a乙＝5 m/s2，两车在t＝3 s时并排行驶，此时x甲＝a甲t2＝×10×32 m＝45 m，x乙＝v0t＋a乙t2＝10×3 m＋×5×32 m＝52.5 m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5 m，B项正确；t＝1 s时，x甲′＝a甲t′2＝5 m，x乙′＝v0t′＋a乙t′2＝12.5 m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5 m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1 s，故A、C两项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40 m，故D项正确。
第3讲 运动图象 追及相遇问题
主干梳理 对点激活
知识点 匀变速直线运动的图象 Ⅱ
1．直线运动的xt图象
(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的大小：表示物体速度的大小。
②斜率的正负：表示物体速度的方向。
(3)两种特殊的xt图象
①若xt图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(如图中甲所示)
②若xt图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。(如图中乙所示)
2．直线运动的vt图象
(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的大小：表示物体加速度的大小。
②斜率的正负：表示物体加速度的方向。
(3)两种特殊的vt图象
①匀速直线运动的vt图象是与横轴平行的直线。(如图中甲所示)
②匀变速直线运动的vt图象是一条倾斜的直线。(如图中乙所示)
(4)图线与时间轴围成的“面积”的意义
①图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。
知识点 追及和相遇问题 Ⅱ
1．追及问题的两类情况
(1)按结果分类
①若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。
②若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
(2)按初始条件分类
①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题：速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速直线运动)。
a．若两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，则永远追不上，此时两者间有最小距离。
b．若两者相遇时，速度也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。
c．若两者相遇时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距有一个极大值。
②从同一地点出发开始同向运动的问题：速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速直线运动)。
a．当两者速度相等时两者间有最大距离。
b．两者位移相等时，则追上。
2．相遇问题
(1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
一 堵点疏通
1．xt图象表示物体的运动轨迹。( )
2．xt图象和vt图象都不能描述曲线运动。( )
3．vt图象上两图线的交点表示两物体速度相等，不代表相遇。( )
4．两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。( )
5．速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽车相撞。( )
6．两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐变小。( )
答案 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.× 6.×
二 对点激活
1. (人教版必修1·P41·T5改编)(多选)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它对于出发点的位移。图为汽车在t＝0到t＝40 s这段时间的xt图象。下列分析正确的是( )
A．汽车离出发点最远的距离为30 m
B．汽车在10～20 s内匀速运动
C．汽车在40 s末回到出发点
D．汽车在20～40 s内加速度为1.5 m/s2
答案 AC
解析 汽车在0～10 s内匀速驶离出发点，10～20 s内静止，20～40 s内匀速驶回出发点，离出发点最远的距离为30 m,40 s末回到出发点，故A、C正确，B错误；汽车在20～40 s内做匀速直线运动，加速度a＝0，故D错误。
2. (人教版必修1·P33·T2改编)(多选)在同一公路上，B、C两辆汽车的vt图象b、c如图所示，两辆汽车同时同地出发，下列说法正确的是( )
A．B车的加速度为 m/s2，C车的加速度为－ m/s2
B．t＝2 s时，C车在B车后
C．B、C两车在大约1.6 s时并排行驶
D．B、C两车并排行驶时离出发点的距离约为9.6 m
答案 AD
解析 根据图象信息可知：aB＝ m/s2＝ m/s2，aC＝ m/s2＝－ m/s2，A正确；由vt图象与时间轴围成的面积表示位移可知，t＝2 s时，以及t＝1.6 s时，C车均在B车前方，故B、C错误；设经过时间t，B、C两车并排行驶，则
xB＝xC①
又因xB＝aBt2②
xC＝v0t＋aCt2③
由图象可知v0＝4 m/s④
联立①②③④得，B、C两车并排行驶时离出发点的距离约为9.6 m，D正确。
考点细研 悟法培优
考点1 运动图象的应用
1.应用运动图象的三点注意
(1)无论是xt图象还是vt图象都只能描述直线运动。
(2)xt图象和vt图象都不表示物体运动的轨迹。
(3)xt图象和vt图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2．应用运动图象解题“六看”
xt图象
vt图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
例1 (多选)如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图象，下列说法中正确的是( )
A．整个过程中，CD段和DE段的加速度相同
B．整个过程中，BC段的加速度最大
C．整个过程中，C点对应时刻离出发点最远
D．BC段对应时间运动的路程是34 m
(1)0～22 s内，质点的运动方向是否发生变化？什么时刻离出发点最远？
提示：当图象过时间轴时质点运动方向发生改变，t＝20 s时速度图象过时间轴，即方向发生了改变。t＝20 s时离出发点最远。
(2)vt图象中图线与时间轴所围的“面积”的含义是什么？
提示：图线与时间轴所围的“面积”表示位移。
尝试解答 选AD。
图象的斜率表示加速度，由图知CD段和DE段在同一直线CE上，斜率相同，故CD段和DE段加速度相同，A正确；由图知，整个过程中CE段斜率最大，加速度最大，B错误；t＝20 s时速度改变方向，所以D点所表示的状态离出发点最远，C错误；BC段和时间轴围成的面积为34 m，D正确。
1．用速度—时间图象巧得五个运动量
(1)运动速度：从速度轴上直接读出，负值表示沿规定的负方向运动。
(2)运动时间：从时间轴上直接读出。
(3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向。例1中BC段加速度沿规定的正方向，CD段加速度沿规定的负方向。
(4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，在时间轴以上为“＋”值，在时间轴以下为“－”值，整个过程的位移是它们的代数和，如CD段的位移为正值，DE段为负值，CE段的总位移为0。
(5)运动的路程：因为路程是标量，所以路程是图线与时间轴围成的面积绝对值的总和。
2．匀变速直线运动的四类非常规图象
(1)at图象：由v＝v0＋at可知图象与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
(2)t图象：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，纵截距为v0，如图乙所示。
(3)v2x图象：由v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，图象斜率为2a，纵截距为v，如图丙所示。
(4)ax图象：由v2－v＝2ax可知a＝·，图象与x轴所围面积表示速度平方的变化量Δv2，如图丁所示。
3．处理图象问题的流程
[变式1－1] 某物体运动的位移—时间图象如图所示。下列说法正确的是( )
A．物体做曲线运动
B．物体在t1时刻速度最大
C．物体在t1时刻速度将反向
D．物体在t2时刻速度为零
答案 C
解析 位移—时间图象只能描述物体的直线运动，A错误；位移—时间图象的斜率表示物体的速度，由题图可知t1时刻物体速度为零，t1时刻后斜率变为负值，物体速度将反向，B错误，C正确；在t2时刻物体的位移为零，速度不为零，D错误。
[变式1－2] 某质点从t＝0开始沿直线运动，其速度的平方v2与位移x的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．t＝2 s时质点速度大小为8 m/s
C．t＝2 s时质点速度大小为4 m/s
D．前2 s质点位移大小为4 m
答案 D
解析 根据v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，由图象可知v0＝4 m/s，斜率k＝2a＝－4，则a＝－2 m/s2，A错误；根据v＝v0＋at可知t＝2 s时速度v＝0，B、C错误；前2 s的位移为x＝v0t＋at2＝4 m，D正确。
[变式1－3] (2019·湖南长沙一中高三月考)一物体由静止开始运动，其加速度a与位移x关系图线如图所示。下列说法正确的是( )
A．物体最终静止
B．物体的最大速度为
C．物体的最大速度为
D．物体的最大速度为
答案 C
解析 物体运动过程中任取一小段，对这一小段有v－v＝2axi，一物体由静止开始运动，将表达式对位移累加，可得末速度的平方v2等于ax关系图线与x轴围成的面积的2倍，则v2＝2，解得物体的最大速度即末速度v＝。故C正确。
考点2 追及和相遇问题
1.追及相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。
2．追及相遇问题的两种典型情况
(1)速度小者追速度大者
类型
图象
说明
匀加速
追匀速
①0～t0时段，后面物体与前面物体间距离不断增大
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离)
③t>t0时，后面物体追及前面物体的过程中，两物体间距离不断减小
④能追上且只能相遇一次
匀速追
匀减速
匀加速追
匀减速
(2)速度大者追速度小者
类型
图象
说明
匀减速
追匀速
开始追时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx
匀速追
匀加速
匀减速追
匀加速
例2 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
(1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么？
提示：汽车和自行车速度相等。
(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么？
提示：位移相等。
尝试解答 (1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s
(1)解法一：(物理分析法)
如图甲所示，汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车和自行车间的距离为Δx，则有v自＝at1
所以t1＝＝2 s
Δx＝v自t1－at＝6 m。
解法二：(相对运动法)
以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s
末速度vt＝v汽车－v自＝0
加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2
所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为
t1＝＝2 s
最大距离Δx＝＝－6 m
负号表示汽车在后。
注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。
解法三：(极值法)
设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距为Δx，则Δx＝v自t1－at
代入已知数据得Δx＝6t1－t
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，汽车和自行车相距最远，为Δx＝6 m。
解法四：(图象法)
自行车和汽车的vt图象如图乙所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻汽车和自行车速度相等，相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一：(物理分析法)
当汽车和自行车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二：(图象法)
由前面画出的vt图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
追及相遇问题的解题思路及技巧
(1)解题思路
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解进行讨论分析。
④紧紧抓住速度相等这个关键点。
⑤遇到此类选择题时，图象法往往是最便捷的解法，如例2中(1)的解法四。
[变式2－1] (2019·福建高三上校级联考)自行车b经过摩托车a的旁边时，摩托车a从静止开始运动，从该时刻开始计时，它们的vt图象如图所示，已知两车始终在同一条平直公路上行驶，则关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )
A．8 s末自行车开始调头，加速度开始反向
B．6～8 s内摩托车的加速度比自行车的大
C．两车相距最远时，距离为12 m
D．t＝8 s时，自行车在摩托车前方
答案 D
解析 自行车在8 s前速度为正，8 s后速度为负，所以是8 s末开始调头，速度开始反向，vt图象的斜率的正负表示加速度方向，所以8 s末加速度方向不变，A错误；6～8 s内摩托车的加速度为：a摩＝ m/s2＝1 m/s2，自行车的加速度为：a自＝ m/s2＝－2 m/s2>a摩，B错误；当自行车与摩托车速度相等时，即t＝6 s时，两者相距最远，自行车的位移为：x自＝ m＝22 m，摩托车的位移为：x摩＝ m＝12 m，所以两者的最大距离为：Δx＝x自－x摩＝10 m，C错误；t＝8 s时，自行车的位移为：x自′＝ m＝26 m，摩托车的位移为：x摩′＝ m＝22 m
(1)求甲、乙两车在相遇前的最大距离；
(2)求甲、乙两车在相遇前能通信的时间。
答案 (1)12 m (2)0～2 s和6～8.8 s，共4.8 s
解析 (1)设当经过t0时间两车速度大小相等，此时两车相距最远，
即v0＋a1t0＝a2t0
解得t0＝4 s
甲、乙两车在相遇前的最大距离为
Δsm＝d＋v0t0＋a1t－a2t
解得Δsm＝12 m。
(2)设经过时间t1两车相遇，
则有d＋v0t1＋a1t＝a2t
解得t1＝(4±2) s
舍去负根，可得t1＝8.8 s
设经过时间t两车相距为s0，则有
d＋v0t＋a1t2－a2t2＝s0
解得t2＝2 s，t3＝6 s
甲、乙两车在相遇前能通信的时间为0～2 s和6～8.8 s，共4.8 s。
高考模拟 随堂集训
1.(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 vt图象中图象与t轴所包围的面积代表运动的位移，两车在t2时刻并排行驶，利用逆向思维并借助于面积可知在t1时刻甲车在后，乙车在前，故A错误，B正确；图象的斜率表示加速度，所以甲的加速度先减小后增大，乙的加速度也是先减小后增大，故C错误，D正确。
2. (2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
答案 CD
解析 根据位移图象的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，乙车的速度大于甲车的速度，A错误；从0到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，B错误；从t1到t2时间内，两车都是从x1位置走到x2位置，两车走过的路程相等，C正确；根据位移图象的斜率等于速度可知，从t1到t2时间内的某时刻，有甲图线的切线与乙图线平行、斜率相同，两车速度相等，D正确。
3．(2016·江苏高考)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是( )
答案 A
解析 设小球从H高处由静止下落，则下降过程，位置
为x时，下落的高度为h＝H－x，由v2＝2gh，得v2＝2g(H－x)，式中v的方向向下。小球落地时速度为v0，则v＝2gH，上升阶段：得v2＝2gH－2gx，式中v的方向向上。因此上升和下降阶段速度大小随x的变化规律相同，速度方向相反，且v与x的关系不是线性关系，A项正确。
4. (2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图象如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 由题中v t图象得a甲＝10 m/s2，a乙＝5 m/s2，两车在t＝3 s时并排行驶，此时x甲＝a甲t2＝×10×32 m＝45 m，x乙＝v0t＋a乙t2＝10×3 m＋×5×32 m＝52.5 m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5 m，B项正确；t＝1 s时，x甲′＝a甲t′2＝5 m，x乙′＝v0t′＋a乙t′2＝12.5 m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5 m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1 s，故A、C两项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40 m，故D项正确。
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