2021高三统考人教物理一轮（经典版）学案：第2章实验二　探究弹力和弹簧伸长的关系

实验二　探究弹力和弹簧伸长的关系

主干梳理 对点激活

1．探究弹力和弹簧伸长的定量关系。

2．学会用列表法和图象法处理实验数据。

弹簧受到拉力作用会伸长，平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等；弹簧的伸长量越大，弹力也就越大。

铁架台、弹簧、钩码、刻度尺、坐标纸。

1. 安装实验仪器(如图所示)。

2．测量弹簧的伸长量(或总长)及所受的拉力(或所挂钩码的质量)，列表作出记录，要尽可能多测几组数据。

3．根据所测数据在坐标纸上描点，以力为纵坐标，以弹簧的伸长量为横坐标。

4．按照在图中所绘点的分布与走向，作出一条平滑的曲线(包括直线)，使尽可能多的点落在线上，不能落在线上的点均匀分布在线的两侧，离线较远的点舍弃。

5．以弹簧的伸长量为自变量，写出曲线所代表的函数，首先尝试一次函数，如果不行再考虑二次函数。

1．列表法

将测得的F、x填入设计好的表格中，可以发现弹力F与弹簧伸长量x的比值在误差允许范围内是相等的。

2．图象法

以弹簧伸长量x为横坐标，弹力F为纵坐标，描出F、x各组数据相应的点，作出的拟合曲线是一条过坐标原点的直线。

1．安装实验装置：要保持刻度尺竖直并靠近弹簧。

2．不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免超过弹簧的弹性限度。

3．尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据。

4．观察所描点的走向：不要画折线。描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布在直线的两侧。

5．统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。

1．钩码标值不准确，弹簧长度测量不准确带来误差。

2．画图时描点及连线不准确也会带来误差。

1．弹力的获得：弹簧竖直悬挂，钩码的重力等于弹簧的弹力→压力传感器测弹簧弹力；弹簧水平放置，消除弹簧自重的影响。

2．长度的获得：刻度尺测量→游标卡尺测量。

3．图象的获得：根据测得的数据在坐标纸上作图→由传感器和计算机输入数据得到图象。

1．将两个弹簧“串联”或“并联”。

2．探究弹簧劲度系数与弹簧长度、“粗细”的关系。

考点细研 悟法培优

考点1　　实验原理与实验操作

例1　如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系。

(1)为完成实验，还需要的实验器材有：_____________________________________________________________________。

(2)实验中需要测量的物理量有：__________________。

(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的F­x图象，由此可求出弹簧的劲度系数为________N/m。图线不过原点的原因是由于__________________________。

(4)为完成该实验，设计的实验步骤如下：

A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来；

B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0；

C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺；

D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个……钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；

E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与伸长量的关系式。首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数；

F．解释函数表达式中常数的物理意义；

G．整理仪器。

请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：________。

尝试解答　(1)毫米刻度尺__(2)弹簧原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度)__(3)200__弹簧自身存在重力__(4)CBDAEFG。

(1)根据实验原理可知还需要毫米刻度尺来测量弹簧原长和形变量。

(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度)。

(3)取图象中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，代入ΔF＝kΔx可得k＝200 N/m，由于弹簧自重的原因，使得弹簧不加外力时就有形变量。

(4)根据完成实验的合理性可知先后顺序为CBDAEFG。

[变式1]　(2019·湖南怀化高考一模)小明做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”实验时：

(1)将弹簧悬挂在铁架台上，保持弹簧轴线竖直，将刻度尺竖直固定在弹簧一侧。

(2)弹簧自然悬挂，待弹簧静止时，记下弹簧长度L0，弹簧下端挂上砝码盘时，弹簧长度记为Lx；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为L1至L6，数据如下表：

(3)如图是小明根据表中数据作的图，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与________的差值(填“L0”“Lx”或“L1”)。

(4)由图可知弹簧的劲度系数为________ N/m。(结果保留两位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2)

(5)由于弹簧自身有重量，小明在测量时没有考虑弹簧的自重，这样导致劲度系数的测量值与真实值相比________(填“偏大”“偏小”“相等”)。

答案　(3)Lx　(4)4.9　(5)相等

解析　(3)当m＝0时，x＝0，此时弹簧长度为Lx，所以横轴是弹簧长度与Lx的差值。

(4)图象的斜率表示弹簧的劲度系数，故有：k＝＝ N/m＝4.9 N/m。

(5)弹簧的劲度系数k＝，Δx为弹簧形变量的变化值，与是否考虑弹簧自重无关，所以劲度系数的测量值与真实值相比是相等的。

考点2　　数据处理与误差分析

例2　某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验。

(1)图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为7.73 cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量Δl为________ cm；

(2)本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项中规范的做法是________；(填选项前的字母)

A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重

B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重

(3)图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是____________________________________________________________________。

尝试解答　(1)6.93__(2)A__(3)超过弹簧的弹性限度。

(1)图乙的示数为14.66 cm，所以弹簧的伸长量为(14.66－7.73) cm＝6.93 cm。

(2)为了得到较多的数据点，应逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码弹簧的长度和钩码的总重力，即A正确。

(3)不遵循胡克定律，说明超出了弹簧的弹性限度。

[变式2]　在“探究弹力和弹簧伸长的关系”实验中。

(1)某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力与弹簧长度的图象如图所示。下列表述正确的是(　　)

A．a的原长比b的长

B．a的劲度系数比b的大

C．a的劲度系数比b的小

D．测得的弹力与弹簧的长度成正比

(2)为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的钩码。实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据，其对应点已在图上标出。作出m­l的关系图线。弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留三位有效数字)。

(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些，则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏________。

答案　(1)B

(2)图线如图所示　0.255(0.248～0.262均正确)

(3)大

解析　(1)在F­l图象中，图线与l轴交点的横坐标表示弹簧原长，故a的原长比b的小；题图图线的斜率表示弹簧的劲度系数，所以a的劲度系数比b的大；由于图象没有通过原点，弹簧的长度等于原长加变化量，弹力和弹簧的长度不成正比。B正确。

(2)由胡克定律F＝kx得：k＝＝＝g·k斜＝0.255 N/m。

(3)因钩码所标数值比实际质量偏大，且所用钩码越多，偏差越大，因此所作出的m­l图线比实际情况下的图线斜率大，测得的劲度系数偏大。

考点3　　实验拓展与创新

例3　用如图甲所示的装置测定弹簧的劲度系数，被测弹簧一端固定于A点，另一端B用细绳绕过定滑轮挂钩码，旁边竖直固定一最小刻度为1 mm的刻度尺，当挂两个钩码时，绳上一定点P对应刻度如图乙中ab虚线所示，再增加一个钩码后，P点对应刻度如图乙中cd虚线所示，已知每个钩码质量为50 g，重力加速度g＝9.8 m/s2，则被测弹簧的劲度系数为________ N/m。挂三个钩码时弹簧的形变量为________ cm。

尝试解答　70__2.10。

由图可知，当钩码增加1个时，弹力增大mg，弹簧的长度伸长量增加0.70 cm，则由平衡关系可知，mg＝kx，解得劲度系数k＝＝70 N/m；对3个钩码由3mg＝kx1，解得：x1＝2.10 cm。

[变式3－1]　在探究弹力和弹簧伸长的关系时，某同学先按图1所示对弹簧甲进行探究，然后把等长的弹簧乙(直径小于甲)套在弹簧甲内，两弹簧悬挂在同一点按图2所示进行探究。在弹性限度内，将质量m＝50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，测得图1、图2中弹簧的长度L1、L2如下表所示。

已知重力加速度g＝9.8 m/s2，计算弹簧甲的劲度系数k1＝________ N/m，弹簧乙的劲度系数k2＝________ N/m。(结果保留三位有效数字)

答案　49.0　104

解析　由表格中的数据可知，当弹力的变化量ΔF＝mg＝0.050×9.8 N＝0.490 N时，弹簧甲的伸长量为Δx1＝×[(33.02－32.02)＋(32.02－31.02)＋(31.02－30.02)] cm＝1.00 cm，根据胡克定律知弹簧甲的劲度系数k1＝＝＝49.0 N/m。把弹簧甲和弹簧乙并联起来时弹簧的伸长量Δx2＝×[(30.29－29.97)＋(29.97－29.65)＋(29.65－29.33)] cm＝0.32 cm。根据胡克定律知甲、乙合并后k1Δx2＋k2Δx2＝ΔF，故k1＋k2＝＝≈153 N/m。可计算出弹簧乙的劲度系数k2＝153 N/m－49 N/m＝104 N/m。

[变式3－2]　已知一根原长为L0、劲度系数为k1的长弹簧A，现把它截成长为L0和L0的B、C两段，设B段的劲度系数为k2、C段的劲度系数为k3，关于k1、k2、k3的大小关系，同学们做出了如下的实验猜想。

甲同学认为：既然是同一根弹簧截成的两段，所以k1＝k2＝k3。

乙同学认为：同一根弹簧截成的两段，越短的劲度系数越大，所以k1<k2<k3。

丙同学认为：同一根弹簧截成的两段，越长的劲度系数越大，所以k1>k2>k3。

(1)为了验证猜想，可以通过实验来完成。除铁架台外，实验还需要的器材有____________________________________________________________________。

(2)请把下列实验步骤按顺序进行排列________。

①重复上面的实验步骤求出弹簧C的劲度系数k3的平均值；

②在弹簧B的下端挂上钩码，记下钩码的个数(如n)，并用刻度尺测量弹簧的长度L1；

③比较k1、k2、k3得出结论；

④由F＝mg计算弹簧的弹力；由x＝L1－LB计算出弹簧的伸长量，由k＝计算弹簧的劲度系数；

⑤将弹簧B悬挂在铁架台上，用刻度尺测量其长度LB；

⑥改变钩码的个数，重复上面两个实验步骤，并求出弹簧B的劲度系数k2的平均值。

(3)下表是在实验中所得到的实验数据：

然后他们又将实验中A、B两弹簧的实验数据在同一F­x 坐标中进行了描点，并且已经用光滑的曲线连在了一起，得到了如图所示的图线。请根据弹簧C的实验数据在给定的坐标中作出弹簧C的F­x图象。

(4)根据图线得出弹簧的劲度系数与弹簧长度有怎样的关系？____________________________________________________________________。

答案　(1)刻度尺、已知质量且质量相等的钩码

(2)⑤②④⑥①③

(3)如图所示

(4)同一根弹簧上截下的几段，越短的，劲度系数越大

解析　(1)除铁架台外，实验还需要的器材有刻度尺、已知质量且质量相等的钩码。

(2)先将弹簧B悬挂在铁架台上，用刻度尺测量其长度LB，然后在弹簧B的下端挂上钩码，记下钩码的个数(如n)，并用刻度尺测量弹簧的长度L1，由F＝mg计算出弹簧的弹力，由x＝L1－LB计算出弹簧的伸长量，由k＝计算弹簧的劲度系数，改变钩码的个数，重复上面的实验步骤，并求出弹簧B的劲度系数k2的平均值。按同样的方法可求出弹簧C的劲度系数k3的平均值。再比较k1、k2、k3得出结论。顺序为⑤②④⑥①③。

(3)先在图上描点，再用直线连接，并使点尽量均匀地分布在直线两侧。

(4)由F＝kx知，F­x图线的斜率即劲度系数，由此可得出结论：同一根弹簧上截下的几段，越短的，劲度系数越大(或越长的，劲度系数越小)。

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1．(2018·全国卷Ⅰ)如图a，一弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一托盘；一标尺由游标和主尺构成，主尺竖直固定在弹簧左边；托盘上方固定有一能与游标刻度线准确对齐的装置，简化为图中的指针。

现要测量图a中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时，移动游标，使其零刻度线对准指针，此时标尺读数为1.950 cm；当托盘内放有质量为0.100 kg的砝码时，移动游标，再次使其零刻度线对准指针，标尺示数如图b所示，其读数为________ cm。当地的重力加速度大小为9.80 m/s2，此弹簧的劲度系数为________ N/m(保留三位有效数字)。

答案　3.775　53.7

解析　游标卡尺精度为0.05 mm，游标卡尺上游标第15条刻度线与主尺刻度线对齐，根据游标卡尺的读数规则，题图b所示的游标卡尺读数为3.7 cm＋15×0.05 mm＝3.7 cm＋0.075 cm＝3.775 cm。托盘中放有质量为m＝0.100 kg的砝码时，弹簧弹力增加F＝mg＝0.100×9.8 N＝0.980 N，弹簧伸长量增加x＝3.775 cm－1.950 cm＝1.825 cm＝0.01825 m，根据胡克定律，F＝kx，解得此弹簧的劲度系数k＝＝53.7 N/m。

2．(2014·全国卷Ⅱ) 某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系。实验装置如图a所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度。设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x。测量及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80 m/s2)。已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm。

(1)将表中数据补充完整：①________，②________。

(2)以n为横坐标，为纵坐标，在图b给出的坐标纸上画出 ­n的图象。

(3)图b中画出的直线可近似认为通过原点。若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k＝________ N/m；该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系的表达式为k＝________ N/m。

答案　(1)①81.7　②0.0122　(2) ­n图象如图所示

(3)　

解析　(1)由胡克定律有k＝＝ N/m＝81.7 N/m，故有＝0.0122 m/N。

(2)作图过程略，图见答案。

(3)因 ­n图线是一条过原点的直线，由图可得图线的斜率＝5.71×10－4 m/N，故有＝5.71×10－4×n m/N，即k＝(N/m)，由题知，n＝60时l0＝11.88 cm，可知n＝l0，代入得k＝(N/m)。

3. (2014·浙江高考)在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，某同学把两根弹簧如图1连接起来进行探究。

(1)某次测量如图2所示，指针示数为________ cm。

(2)在弹性限度内，将50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数LA和LB如表所示。用表中数据计算弹簧Ⅰ的劲度系数为________N/m(重力加速度g＝10  m/s2)。由表中数据________(填“能”或“不能”)计算出弹簧Ⅱ的劲度系数。

答案　(1)15.95～16.05(有效数字位数正确)

(2)12.4(12.2～12.8)　能

解析　(1)因毫米刻度尺的最小刻度是1 mm，读数时要估读到0.1 mm。

(2)由胡克定律得

k1＝＝＝ N/m≈12.4 N/m。

同样应用胡克定律可计算出k2。