2021高三统考人教物理一轮（经典版）学案：第2章热点专题系列（二）——求解共点力平衡问题的八种方法

热点专题系列(二)

—— 求解共点力平衡问题的八种方法

热点概述：共点力作用下的平衡条件是解决共点力平衡问题的基本依据，广泛应用于力、电、磁等各部分内容的题目中，求解共点力平衡问题的八种常见方法总结如下。

[热点透析]

力的合成、分解法

三个力的平衡问题，一般将任意两个力合成，则该合力与第三个力等大反向，或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解，从而得到两对平衡力。

　如图所示，用三段不可伸长的轻质细绳OA、OB、OC共同悬挂一重物使其静止，其中OA与竖直方向的夹角为30°，OB沿水平方向，A端、B端固定。若分别用FA、FB、FC表示OA、OB、OC三根绳上的张力大小，则下列判断中正确的是(　　)

A．FA>FB>FC  B．FA<FB<FC

C．FA>FC>FB  D．FC>FA>FB

解析　根据平衡条件有细绳OC的张力大小等于重物的重力，对O点受力分析，如图所示。FA＝＝mg，FB＝mgtan30°＝mg，因此得FA>FC>FB，C正确。

答案　C

正交分解法

将各力分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上的平衡条件Fx＝0、Fy＝0进行分析，多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对x、y方向选择时，尽可能使较多的力落在x、y轴上，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。

　如图所示，水平细杆上套有一质量为0.54 kg的小环A，用轻绳将质量为0.5 kg的小球B与A相连。B受到始终与水平方向成53°角的风力作用，与A一起向右匀速运动，此时轻绳与水平方向夹角为37°，运动过程中B球始终在水平细杆的下方，则：(取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

(1)B对绳子的拉力大小；

(2)A与杆间的动摩擦因数。

解析　(1)对小球B进行受力分析如图甲，

由平衡条件得绳的拉力为FT＝mgsin37°＝3.0 N

由牛顿第三定律知B对绳子的拉力大小为3.0 N。

(2)环A做匀速直线运动，对环A受力分析如图乙，

有：FTcos37°－Ff＝0，FN＝Mg＋FTsin37°

而Ff＝μFN，解得μ＝。

答案　(1)3.0 N　(2)

图解法

在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物体处于动态平衡状态。解决动态平衡类问题常用图解法，图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上，若满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时，可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题。

　如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是(　　)

A．F1先增大后减小，F2一直减小

B．F1先减小后增大，F2一直减小

C．F1和F2都一直减小

D．F1和F2都一直增大

解析　小球受力如图甲所示，因挡板是缓慢转动，所以小球处于动态平衡状态，在转动过程中，此三力(重力、斜面支持力、挡板弹力)组成矢量三角形的变化情况如图乙所示(重力大小方向均不变，斜面对其支持力方向始终不变)，由图可知此过程中斜面对小球的支持力不断减小，挡板对小球弹力先减小后增大，再由牛顿第三定律知B正确，A、C、D错误。

答案　B

三力汇交原理

物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力的作用线(或反向延长线)必交于一点。

　一根长2 m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图所示，则关于直棒重心C的位置，下列说法正确的是(　　)

A．距离B端0.5 m处  B．距离B端0.75 m处

C．距离B端 m处  D．距离B端 m处

解析　当一个物体受三个力作用而处于平衡状态时，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把O1A和O2B延长相交于O点，则重心C一定在过O点的竖直线上，如图所示。由几何知识可知：BO＝AB＝1 m，BC＝BO＝0.5 m，故重心应在距B端0.5 m处。A项正确。

答案　A

整体法和隔离法

当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法；而在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法。整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。

　如图所示，两个相同的物体A、B叠在一起放在粗糙的水平桌面上，连在物体B上的轻绳通过定滑轮与空箱C相连，箱内放有一小球与箱内壁右侧接触，整个系统处于静止状态。已知A、B的质量均为m，C的质量为M，小球的质量为m0，物体B与桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计滑轮摩擦和空气阻力，下列说法正确的是(　　)

A．物体A受到三个力的作用

B．小球受到三个力的作用

C．桌面受到物体的摩擦力大小为2μmg

D．桌面受到物体的摩擦力大小为(M＋m0)g

解析　隔离A可知A只受重力和B对A的支持力而平衡，故A错误；隔离小球，小球受两个力，重力和箱底的支持力，故B错误；以AB整体为研究对象，桌面对B的摩擦力f＝(M＋m0)g，B与桌面间的静摩擦力不一定达到最大，故不一定等于2μmg，由牛顿第三定律知桌面受到物体的摩擦力大小为(M＋m0)g，故C错误，D正确。

答案　D

假设法

假设某条件存在或不存在，进而判断由此带来的现象是否与题设条件相符，或者假设处于题设中的临界状态，以此为依据，寻找问题的切入点，进而解决该问题。

　(多选)如图所示，竖直平面内质量为m的小球与三条相同的轻质弹簧相连接。静止时相邻两弹簧间的夹角均为120°，已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧c对此小球的作用力的大小可能为(　　)

A．F  B．F＋mg

C．F－mg  D．mg－F

解析　假设三个弹簧中有a、b两弹簧伸长而c弹簧缩短了，则此时小球的受力情况是：a和b两弹簧的拉力F、c弹簧的支持力Fc、小球自身的重力mg，如图甲所示。由共点力的平衡条件可得：2Fcos60°＋Fc－mg＝0，则得Fc＝mg－F，故D选项正确。因为题中并未给定mg与F的大小关系，故可能有mg＝2F，则有Fc＝mg－F＝2F－F＝F，故A选项正确。

假设a、b、c三个弹簧均是压缩的，此时小球的受力情况如图乙所示，小球的受力情况是：自身重力mg、a和b两弹簧斜向下方的弹力F、c弹簧竖直向上的弹力Fc，对小球由共点力的平衡条件可得：2Fcos60°＋mg－Fc＝0，则Fc＝F＋mg，故B选项正确。

假定a、b、c三个弹簧均是伸长的，此时小球的受力情况如图丙所示。小球的受力情况是：自身的重力mg、a和b两弹簧斜向上方的拉力F、c弹簧向下的拉力Fc，对小球由共点力的平衡条件可得，2Fcos60°－mg－Fc＝0，所以Fc＝F－mg，故C选项正确。

答案　ABCD

相似三角形法

在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。注意：构建三角形时可能需要画辅助线。

　如图所示，光滑半球面上的小球被一绕过定滑轮的绳用力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力FN的变化情况。

解析　如图所示，作出小球的受力示意图，注意支持力FN总与半球面垂直，从图中可得到相似三角形。

设半球面半径为R，定滑轮到半球面顶端的距离为h，定滑轮左侧绳长为L，根据三角形相似得

＝，＝

由以上两式得绳的拉力F＝mg，

半球面对小球的支持力FN＝mg。

由于在拉动过程中h、R不变，L变小，故F减小、FN不变。

答案　F减小　FN不变

正弦定理法

如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。

　(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定圆环上的A、B两点，O为圆心。O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA的夹角α＝120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　)

A．F1逐渐增大  B．F1先增大后减小

C．F2逐渐减小  D．F2先减小后增大

解析　如图所示，以结点O为研究对象进行受力分析。由正弦定理得＝＝，其中α＝120°不变，则比值不变，γ由钝角变为锐角，sinγ先变大后变小，则F1先增大后减小，β由90°变为钝角，则sinβ变小，F2逐渐减小，故B、C正确。

答案　BC

[热点集训]

1.(2019·安徽教研会联考)(多选)如图，在一段平坦的地面上等间距分布着一排等高的输电线杆，挂在线杆上的电线粗细均匀且呈对称性。由于热胀冷缩，冬季两相邻线杆之间的导线长度会有所减少。对B线杆及两侧的电线，冬季与夏季相比(　　)

A．电线最高点处的张力变大

B．电线最低点处的张力不变

C．线杆对地面的压力变小

D．线杆两侧电线对线杆拉力的合力不变

答案　AD

解析　对电线最低点受力分析如图，可知冬季电线拉力与竖直方向的夹角变大，合力不变，则冬季电线最低点处的张力变大，同理可知，电线最高点处的张力也变大，B错误，A正确；求线杆对地面的压力可以把线杆和电线看做整体，由平衡条件知线杆对地面的压力大小始终等于线杆和电线重力之和，C错误；线杆两侧电线对线杆拉力的合力等于电线的重力，故线杆两侧电线对线杆拉力的合力不变，D正确。

2.(2019·哈尔滨六中阶段考)如图所示，在竖直平面内固定一圆心为O、半径为R的光滑圆环，原长为R的轻弹簧上端固定在圆环的最高点A，下端系有一个套在环上且重力为G的小球P(可视为质点)。若小球静止时，O、P两点的连线恰好水平，且弹簧的形变未超出其弹性限度，则弹簧的劲度系数为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　C

解析　对小球受力分析如图所示，由几何知识可知θ＝45°，则F＝G，弹簧的伸长量Δx＝(－1)R，则k＝＝，C项正确。

3．(2019·四川德阳二诊)如图所示，粗糙水平地面上的长方体物块将一重为G的光滑圆球抵在光滑竖直的墙壁上，现用水平向右的拉力F缓慢拉动长方体物块，在圆球与地面接触之前，下面的相关判断正确的是(　　)

A．地面对长方体物块的支持力逐渐增大

B．球对墙壁的压力逐渐减小

C．水平拉力F逐渐减小

D．地面对长方体物块的摩擦力逐渐增大

答案　C

解析　对球进行受力分析，如图甲所示，

小球受力平衡，则有：N1＝Gtanθ，N2＝，当水平向右的拉力F缓慢拉动长方体物块时，θ增大，则tanθ增大，所以N1增大，cosθ减小，则N2增大，根据牛顿第三定律可知，球对墙壁的压力逐渐增大，故B错误；对球和长方体物块整体进行受力分析，如图乙所示，整体处于平衡状态，竖直方向有：N＝mg＋G，则地面对长方体物块的支持力不变，长方体物块受到的摩擦力为滑动摩擦力，则有f＝μN，因此地面对长方体物块的摩擦力不变，水平方向有：F＋N1＝f，由于N1增大，f不变，则F减小，故C正确，A、D错误。