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2021高三统考人教物理一轮（经典版）学案：第4章第4讲 万有引力与航天
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第4讲 万有引力与航天
主干梳理 对点激活
对应学生用书P089
知识点 开普勒行星运动定律 Ⅰ
1．定律内容
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
知识点 万有引力定律及应用 Ⅱ
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F＝G，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。
3．适用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
知识点 环绕速度 Ⅱ
1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m，解得：v＝ ；
(2)由mg＝m，解得：v＝。
知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
1．第二宇宙速度(脱离速度)
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
知识点 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝；
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
一 堵点疏通
1．只有天体之间才存在万有引力。( )
2．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。( )
3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( )
4．地球同步卫星一定在赤道的正上方。( )
5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。( )
6．发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s。( )
答案 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√
二 对点激活
1．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
答案 C
解析 万有引力公式F＝G适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看做质点，故F＝G已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪许测得的，D错误。
2．(人教版必修2·P48·T3改编)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为( )
A.v B.v
C.v D.v
答案 A
解析 第一宇宙速度由＝求得，v＝ ，故＝ ＝ ，所以v火＝v，故A正确。
3．(人教版必修2·P36·T4)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍(如图所示)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球大约将在哪一年？
答案 2062年
解析 设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，根据开普勒第三定律＝k，有＝，则哈雷彗星的公转周期T＝T0≈76.4年，所以它下次飞近地球大约将在1986＋76.4≈2062年。
4．(人教版必修2·P41·T3)一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成。一个夸克的质量是7.1×10－30 kg，求两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力。
答案 3.36×10－37 N
解析 两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力F＝G＝3.36×10－37 N。
考点细研 悟法培优
对应学生用书P090
考点1 开普勒三定律的理解与应用
1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看做匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
例1 (2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
(1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？
提示：不相等。
(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？
提示：没有。
尝试解答 选CD。
由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。
[变式1－1] (2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的原因，A、C错误，B正确；万有引力定律是牛顿发现的，D错误。
[变式1－2] (2019·陕西八校高三4月联考) 我国在2018年12月成功发射“嫦娥四号”月球探测器。探测器要经过多次变轨，最终降落到月球表面上。如图所示，轨道Ⅰ为圆形轨道，其半径为R；轨道Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为a，半短轴为b。如果把探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上扫过的面积速率之比是(已知椭圆的面积S＝πab)( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设探测器在轨道Ⅰ上运动的周期为T1，在轨道Ⅱ上运动的周期为T2，则在轨道Ⅰ上扫过的面积速率为：，在轨道Ⅱ上扫过的面积速率为：，由开普勒第三定律可知：＝，由以上三式联立解得，＝·＝·＝，故C正确。
考点2 天体质量和密度的估算
1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用G＝m得M＝。若已知v、T，可先求出r＝，再利用G＝m或G＝m2r求M。若已知ω、T则不能求出M。
例2 货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体，如图所示。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T1。如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动，轨道半径为R1，周期为T2。已知地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体。则( )
A．月球的质量可表示为
B．组合体与月球运转的线速度比值为
C．地球的密度可表示为
D．组合体的向心加速度可表示为2g
(1)已知月球绕地球的周期和轨道半径，能求月球的质量吗？
提示：不能。只能求中心天体地球的质量。
(2)距地面高度为h的圆形轨道半径为多少？
提示：R＋h。
尝试解答 选C。
由于月球是环绕天体，根据题意可以求出地球的质量，不能求月球的质量，A错误；对于组合体和月球绕地球运动的过程，万有引力提供向心力，设地球质量为M，则由牛顿第二定律可知G＝m，解得v＝，则组合体和月球的线速度比值为 ，B错误；对于组合体，由G＝m·(R＋h)，解得M＝，又因为地球的体积为V＝πR3，整理解得ρ＝＝，C正确；由G＝ma，G＝mg，知组合体的向心加速度大小为a＝2g，D错误。
估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。
[变式2－1] (2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D
解析 根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G＝m及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G＝mr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。
[变式2－2] (2019·宁夏育才中学月考)如图所示，两颗人造卫星绕地球运动，其中一颗卫星绕地球做圆周运动，轨道半径为r，另一颗卫星绕地球沿椭圆形轨道运动，半长轴为a。已知椭圆形轨道卫星绕地球n圈所用时间为t，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 椭圆形轨道卫星的运行周期为T0＝，根据开普勒第三定律得＝，则圆形轨道卫星的周期为T＝T0，对于圆形轨道卫星，万有引力等于向心力，G＝mr，地球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝，A正确。
考点3 人造卫星的运动规律
1.人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
物理量
推导依据
表达式
最大值或最小值
线速度
G＝m
v＝
当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度
G＝mω2r
ω＝
当r＝R时有最大值
周期
G＝m2r
T＝2π
当r＝R时有最小值，约85 min
向心
加速度
G＝ma向
a向＝
当r＝R时有最大值，最大值为a＝g
轨道
平面
圆周运动的圆心与中心天体中心重合
共性：半径越小，运动越快，周期越小
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝ ＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例3 (2019·山东济南高三模拟)我国计划2020年发射火星探测器，实现火星的环绕、着陆和巡视探测。已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，火星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的，火星的半径约为地球半径的，火星的质量约为地球质量的，以下说法正确的是( )
A．火星的公转周期比地球小
B．火星的公转速度比地球大
C．探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小
D．探测器环绕火星表面运行的速度比环绕地球表面运行的速度大
(1)比较周期大小常采用哪两个有用的结论？
提示：一是开普勒第三定律＝k；二是T＝2π 。
(2)比较线速度大小常用的公式是什么？
提示：v＝。
尝试解答 选C。
火星的公转轨道半径大于地球公转轨道半径，根据开普勒第三定律可知，火星的公转周期比地球大，A错误；根据v＝可知，火星的公转速度比地球小，B错误；根据g＝，则＝·2＝×22＝，则探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小，C正确；根据v火＝＝＝ ＝v地，则探测器环绕火星表面运行的速度比环绕地球表面运行的速度小，D错误。
人造卫星问题的解题技巧
(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。
G＝man＝m＝mω2r＝m2r＝m(2πf)2r。
(2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r近似等于地球半径
v＝ ＝7.9 km/s
万有引力近似等于卫星的重力，即
mg＝m，v＝＝7.9 km/s。
(3)同步卫星：①具有特定的线速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和轨道半径；③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。
比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。
(4)天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1,2,3…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)
[变式3－1] (2019·甘肃武威六中二模)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在近地轨道上转动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20 h
答案 C
解析 地球同步卫星c的周期与地球的自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据an＝ω2r知，c的向心加速度比a的大；由G＝man，得an＝G，可知绕地球做圆周运动的卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为重力加速度g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误。c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×2 π＝，B错误。由v＝ωr知a的线速度比c的小，由G＝m，得v＝，可知绕地球做圆周运动的卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故C正确。由开普勒第三定律＝k知，绕地球做圆周运动的卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。
[变式3－2] (2019·山东烟台一模)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度。赤道上一观察者发现，该卫星连续两次出现在观察者正上方的最小时间间隔为t，已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星离地面的高度为( )
A. －R B.
C. －R D. －R
答案 A
解析 该卫星由万有引力提供向心力，＝m(R＋h)22，解得该卫星离地面的高度h＝－R。设该卫星的运行周期为T，则有－＝1，解得T＝，由此可得h＝－R，代入黄金代换式GM＝gR2，可得h＝－R，A正确。
考点4 航天器的变轨问题
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行，前者是轨道的突变，后者是轨道的渐变。
1．卫星轨道的渐变
(1)当卫星的速度增加时，G
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
3．卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ
A．卫星在轨道Ⅰ上的运行速度大于7.9 km/s
B．卫星在轨道Ⅱ上运动时，在P点和Q点的速度大小相等
C．卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅱ后机械能增加
(1)卫星在轨道Ⅱ上运动时，如何比较在P点和在Q点的速度大小？
提示：由开普勒第二定律比较。
(2)卫星的机械能包括什么？如何判断机械能的变化？
提示：动能和引力势能。除万有引力外的其他力做正功，机械能增加，做负功，机械能减小。
尝试解答 选CD。
7．9 km/s是第一宇宙速度，是绕地球做圆周运动的卫星最大的环绕速度，根据轨道半径越大，线速度越小，可知卫星在轨道Ⅰ上的运行速度一定小于7.9 km/s，故A错误；卫星在轨道Ⅱ上运动时，P点为近地点，Q点为远地点，根据开普勒第二定律可知，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，B错误；根据a＝可知，卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅱ的过程中，牵引力做正功，故机械能增加，D正确。
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝ 判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度，如例4中的A选项。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，动能Ek增大，引力势能减小。
(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。
[变式4] (2019·山东淄博一模)2018年12月8日，“嫦娥四号”月球探测器在我国西昌卫星发射中心发射成功，并实现人类首次月球背面软着陆。“嫦娥四号”从环月圆轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是( )
A．沿轨道Ⅰ运行至P点时，需加速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度
D．沿轨道Ⅱ从P点运行到Q点的过程中，月球对探测器的万有引力做的功为零
答案 C
解析 沿轨道Ⅰ运动至P时，需要制动减速，使万有引力大于所需向心力，才能进入轨道Ⅱ，A错误；根据开普勒第三定律＝k可知，探测器绕月球运行轨道的半长轴a越大，运动周期越大，显然轨道Ⅰ的半长轴(半径)大于轨道Ⅱ的半长轴，故沿轨道Ⅱ运动的周期小于沿轨道Ⅰ运动的周期，B错误；根据G＝ma得a＝，可知沿轨道Ⅱ运行时经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运动经P点时的加速度，C正确；在轨道Ⅱ上从P点运行到Q点的过程中，速度变大，月球的引力对探测器做正功，D错误。
建模提能2 双星、多星模型
对应学生用书P094
前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看做近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。
1．双星模型
(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，
＝m2ωr2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
＝。
⑤双星的运动周期T＝2π。
⑥双星的总质量m1＋m2＝。
2．三星模型
(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
【典题例证】
(多选)在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星。已知组成某双星系统的两颗恒星质量分别为m1和m2，相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知万有引力常量为G。m1的动能为Ek，则m2的动能为( )
A．G－Ek B．G－Ek
C.Ek D.Ek
[解析] 对双星，都是万有引力提供向心力，故：G＝m1ω2R1＝m2ω2R2；其中：L＝R1＋R2，联立解得：R1＝，R2＝，根据v＝rω，则＝＝，则＝＝＝，即Ek2＝Ek，C正确，D错误；G＝m2＝，即Ek2＝·，同理Ek1＝·，则Ek1＋Ek2＝·＝，则Ek2＝G－Ek，B正确，A错误。
[答案] BC
名师点睛 解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
【针对训练】
(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统运动的线速度大小为v＝
B．直线三星系统的运动周期为T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为v′＝
答案 BC
解析 对直线三星系统中的其中一颗环绕星，有G＋G＝M，解得v＝ ，A错误；根据T＝，可知B正确；对三角形三星系统中的任意一颗星体，有2Gcos30°＝M2，三角形三星系统的周期等于直线三星系统的周期T＝4πR·，联立解得L＝R，C正确；根据T＝，若按照r＝R计算，就会得到v′＝，但r＝≠R，故D错误。
高考模拟 随堂集训
对应学生用书P095
1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。
2．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
答案 A
解析 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识有：G＝ma，得向心加速度a＝，G＝m，得线速度v＝ ，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确。
3．(2019·天津高考)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
答案 A
解析 探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝ ，A正确；由G＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错误；由G＝mrω2得，角速度ω＝ ，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。
4．(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝ B．v1>v2，v1>
C．v1
答案 B
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝ ，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1> ，B正确。
5．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
6．(2019·全国卷Ⅰ)(多选) 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC
解析 如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。
7．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
8．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒第三定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。
9．(2018·北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案 B
解析 设月球质量为M月，地球质量为M，地球半径为r，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝，苹果受到的万有引力为F＝，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律＝M月·a月，＝ma，整理可以得到a月＝a，故B正确；在月球表面处G＝m′g月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到引力为F′＝G，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面引力之间的关系，故D错误。
10．(2018·天津高考)(多选) 2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、B错误；由G＝mr，G＝mg，解得r＝ ，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
11．(2019·湖北荆州中学、宜昌第一中学等三校联考)假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，已知地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的质量为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 在两极有G＝mg0，在赤道有G－mg＝mR，联立两式解得M＝，B正确。
第4讲 万有引力与航天
主干梳理 对点激活
对应学生用书P089
知识点 开普勒行星运动定律 Ⅰ
1．定律内容
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
知识点 万有引力定律及应用 Ⅱ
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F＝G，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。
3．适用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
知识点 环绕速度 Ⅱ
1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m，解得：v＝ ；
(2)由mg＝m，解得：v＝。
知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
1．第二宇宙速度(脱离速度)
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
知识点 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝；
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
一 堵点疏通
1．只有天体之间才存在万有引力。( )
2．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。( )
3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( )
4．地球同步卫星一定在赤道的正上方。( )
5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。( )
6．发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s。( )
答案 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√
二 对点激活
1．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
答案 C
解析 万有引力公式F＝G适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看做质点，故F＝G已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪许测得的，D错误。
2．(人教版必修2·P48·T3改编)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为( )
A.v B.v
C.v D.v
答案 A
解析 第一宇宙速度由＝求得，v＝ ，故＝ ＝ ，所以v火＝v，故A正确。
3．(人教版必修2·P36·T4)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍(如图所示)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球大约将在哪一年？
答案 2062年
解析 设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，根据开普勒第三定律＝k，有＝，则哈雷彗星的公转周期T＝T0≈76.4年，所以它下次飞近地球大约将在1986＋76.4≈2062年。
4．(人教版必修2·P41·T3)一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成。一个夸克的质量是7.1×10－30 kg，求两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力。
答案 3.36×10－37 N
解析 两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力F＝G＝3.36×10－37 N。
考点细研 悟法培优
对应学生用书P090
考点1 开普勒三定律的理解与应用
1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看做匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
例1 (2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
(1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？
提示：不相等。
(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？
提示：没有。
尝试解答 选CD。
由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。
[变式1－1] (2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的原因，A、C错误，B正确；万有引力定律是牛顿发现的，D错误。
[变式1－2] (2019·陕西八校高三4月联考) 我国在2018年12月成功发射“嫦娥四号”月球探测器。探测器要经过多次变轨，最终降落到月球表面上。如图所示，轨道Ⅰ为圆形轨道，其半径为R；轨道Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为a，半短轴为b。如果把探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上扫过的面积速率之比是(已知椭圆的面积S＝πab)( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设探测器在轨道Ⅰ上运动的周期为T1，在轨道Ⅱ上运动的周期为T2，则在轨道Ⅰ上扫过的面积速率为：，在轨道Ⅱ上扫过的面积速率为：，由开普勒第三定律可知：＝，由以上三式联立解得，＝·＝·＝，故C正确。
考点2 天体质量和密度的估算
1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用G＝m得M＝。若已知v、T，可先求出r＝，再利用G＝m或G＝m2r求M。若已知ω、T则不能求出M。
例2 货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体，如图所示。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T1。如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动，轨道半径为R1，周期为T2。已知地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体。则( )
A．月球的质量可表示为
B．组合体与月球运转的线速度比值为
C．地球的密度可表示为
D．组合体的向心加速度可表示为2g
(1)已知月球绕地球的周期和轨道半径，能求月球的质量吗？
提示：不能。只能求中心天体地球的质量。
(2)距地面高度为h的圆形轨道半径为多少？
提示：R＋h。
尝试解答 选C。
由于月球是环绕天体，根据题意可以求出地球的质量，不能求月球的质量，A错误；对于组合体和月球绕地球运动的过程，万有引力提供向心力，设地球质量为M，则由牛顿第二定律可知G＝m，解得v＝，则组合体和月球的线速度比值为 ，B错误；对于组合体，由G＝m·(R＋h)，解得M＝，又因为地球的体积为V＝πR3，整理解得ρ＝＝，C正确；由G＝ma，G＝mg，知组合体的向心加速度大小为a＝2g，D错误。
估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。
[变式2－1] (2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D
解析 根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G＝m及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G＝mr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。
[变式2－2] (2019·宁夏育才中学月考)如图所示，两颗人造卫星绕地球运动，其中一颗卫星绕地球做圆周运动，轨道半径为r，另一颗卫星绕地球沿椭圆形轨道运动，半长轴为a。已知椭圆形轨道卫星绕地球n圈所用时间为t，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 椭圆形轨道卫星的运行周期为T0＝，根据开普勒第三定律得＝，则圆形轨道卫星的周期为T＝T0，对于圆形轨道卫星，万有引力等于向心力，G＝mr，地球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝，A正确。
考点3 人造卫星的运动规律
1.人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
物理量
推导依据
表达式
最大值或最小值
线速度
G＝m
v＝
当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度
G＝mω2r
ω＝
当r＝R时有最大值
周期
G＝m2r
T＝2π
当r＝R时有最小值，约85 min
向心
加速度
G＝ma向
a向＝
当r＝R时有最大值，最大值为a＝g
轨道
平面
圆周运动的圆心与中心天体中心重合
共性：半径越小，运动越快，周期越小
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝ ＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例3 (2019·山东济南高三模拟)我国计划2020年发射火星探测器，实现火星的环绕、着陆和巡视探测。已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，火星公转轨道半径约为地球公转轨道半径的，火星的半径约为地球半径的，火星的质量约为地球质量的，以下说法正确的是( )
A．火星的公转周期比地球小
B．火星的公转速度比地球大
C．探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小
D．探测器环绕火星表面运行的速度比环绕地球表面运行的速度大
(1)比较周期大小常采用哪两个有用的结论？
提示：一是开普勒第三定律＝k；二是T＝2π 。
(2)比较线速度大小常用的公式是什么？
提示：v＝。
尝试解答 选C。
火星的公转轨道半径大于地球公转轨道半径，根据开普勒第三定律可知，火星的公转周期比地球大，A错误；根据v＝可知，火星的公转速度比地球小，B错误；根据g＝，则＝·2＝×22＝，则探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小，C正确；根据v火＝＝＝ ＝v地，则探测器环绕火星表面运行的速度比环绕地球表面运行的速度小，D错误。
人造卫星问题的解题技巧
(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。
G＝man＝m＝mω2r＝m2r＝m(2πf)2r。
(2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r近似等于地球半径
v＝ ＝7.9 km/s
万有引力近似等于卫星的重力，即
mg＝m，v＝＝7.9 km/s。
(3)同步卫星：①具有特定的线速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和轨道半径；③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。
比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。
(4)天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1,2,3…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)
[变式3－1] (2019·甘肃武威六中二模)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在近地轨道上转动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角是
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20 h
答案 C
解析 地球同步卫星c的周期与地球的自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据an＝ω2r知，c的向心加速度比a的大；由G＝man，得an＝G，可知绕地球做圆周运动的卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为重力加速度g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误。c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×2 π＝，B错误。由v＝ωr知a的线速度比c的小，由G＝m，得v＝，可知绕地球做圆周运动的卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故C正确。由开普勒第三定律＝k知，绕地球做圆周运动的卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，故D错误。
[变式3－2] (2019·山东烟台一模)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度。赤道上一观察者发现，该卫星连续两次出现在观察者正上方的最小时间间隔为t，已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星离地面的高度为( )
A. －R B.
C. －R D. －R
答案 A
解析 该卫星由万有引力提供向心力，＝m(R＋h)22，解得该卫星离地面的高度h＝－R。设该卫星的运行周期为T，则有－＝1，解得T＝，由此可得h＝－R，代入黄金代换式GM＝gR2，可得h＝－R，A正确。
考点4 航天器的变轨问题
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行，前者是轨道的突变，后者是轨道的渐变。
1．卫星轨道的渐变
(1)当卫星的速度增加时，G
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
3．卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ
A．卫星在轨道Ⅰ上的运行速度大于7.9 km/s
B．卫星在轨道Ⅱ上运动时，在P点和Q点的速度大小相等
C．卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅱ后机械能增加
(1)卫星在轨道Ⅱ上运动时，如何比较在P点和在Q点的速度大小？
提示：由开普勒第二定律比较。
(2)卫星的机械能包括什么？如何判断机械能的变化？
提示：动能和引力势能。除万有引力外的其他力做正功，机械能增加，做负功，机械能减小。
尝试解答 选CD。
7．9 km/s是第一宇宙速度，是绕地球做圆周运动的卫星最大的环绕速度，根据轨道半径越大，线速度越小，可知卫星在轨道Ⅰ上的运行速度一定小于7.9 km/s，故A错误；卫星在轨道Ⅱ上运动时，P点为近地点，Q点为远地点，根据开普勒第二定律可知，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，B错误；根据a＝可知，卫星在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；卫星从轨道Ⅰ的P点加速进入轨道Ⅱ的过程中，牵引力做正功，故机械能增加，D正确。
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝ 判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度，如例4中的A选项。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，动能Ek增大，引力势能减小。
(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。
[变式4] (2019·山东淄博一模)2018年12月8日，“嫦娥四号”月球探测器在我国西昌卫星发射中心发射成功，并实现人类首次月球背面软着陆。“嫦娥四号”从环月圆轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是( )
A．沿轨道Ⅰ运行至P点时，需加速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度
D．沿轨道Ⅱ从P点运行到Q点的过程中，月球对探测器的万有引力做的功为零
答案 C
解析 沿轨道Ⅰ运动至P时，需要制动减速，使万有引力大于所需向心力，才能进入轨道Ⅱ，A错误；根据开普勒第三定律＝k可知，探测器绕月球运行轨道的半长轴a越大，运动周期越大，显然轨道Ⅰ的半长轴(半径)大于轨道Ⅱ的半长轴，故沿轨道Ⅱ运动的周期小于沿轨道Ⅰ运动的周期，B错误；根据G＝ma得a＝，可知沿轨道Ⅱ运行时经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运动经P点时的加速度，C正确；在轨道Ⅱ上从P点运行到Q点的过程中，速度变大，月球的引力对探测器做正功，D错误。
建模提能2 双星、多星模型
对应学生用书P094
前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看做近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。
1．双星模型
(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，
＝m2ωr2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
＝。
⑤双星的运动周期T＝2π。
⑥双星的总质量m1＋m2＝。
2．三星模型
(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
【典题例证】
(多选)在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星。已知组成某双星系统的两颗恒星质量分别为m1和m2，相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知万有引力常量为G。m1的动能为Ek，则m2的动能为( )
A．G－Ek B．G－Ek
C.Ek D.Ek
[解析] 对双星，都是万有引力提供向心力，故：G＝m1ω2R1＝m2ω2R2；其中：L＝R1＋R2，联立解得：R1＝，R2＝，根据v＝rω，则＝＝，则＝＝＝，即Ek2＝Ek，C正确，D错误；G＝m2＝，即Ek2＝·，同理Ek1＝·，则Ek1＋Ek2＝·＝，则Ek2＝G－Ek，B正确，A错误。
[答案] BC
名师点睛 解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
【针对训练】
(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统运动的线速度大小为v＝
B．直线三星系统的运动周期为T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为v′＝
答案 BC
解析 对直线三星系统中的其中一颗环绕星，有G＋G＝M，解得v＝ ，A错误；根据T＝，可知B正确；对三角形三星系统中的任意一颗星体，有2Gcos30°＝M2，三角形三星系统的周期等于直线三星系统的周期T＝4πR·，联立解得L＝R，C正确；根据T＝，若按照r＝R计算，就会得到v′＝，但r＝≠R，故D错误。
高考模拟 随堂集训
对应学生用书P095
1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。
2．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
答案 A
解析 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识有：G＝ma，得向心加速度a＝，G＝m，得线速度v＝ ，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确。
3．(2019·天津高考)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
答案 A
解析 探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝ ，A正确；由G＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错误；由G＝mrω2得，角速度ω＝ ，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。
4．(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝ B．v1>v2，v1>
C．v1
答案 B
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝ ，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1> ，B正确。
5．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
6．(2019·全国卷Ⅰ)(多选) 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC
解析 如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。
7．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
8．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒第三定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。
9．(2018·北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案 B
解析 设月球质量为M月，地球质量为M，地球半径为r，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝，苹果受到的万有引力为F＝，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律＝M月·a月，＝ma，整理可以得到a月＝a，故B正确；在月球表面处G＝m′g月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到引力为F′＝G，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面引力之间的关系，故D错误。
10．(2018·天津高考)(多选) 2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、B错误；由G＝mr，G＝mg，解得r＝ ，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
11．(2019·湖北荆州中学、宜昌第一中学等三校联考)假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，已知地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的质量为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 在两极有G＝mg0，在赤道有G－mg＝mR，联立两式解得M＝，B正确。
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