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2021高三统考人教物理一轮（经典版）学案：第10章第2讲 法拉第电磁感应定律 自感现象
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第2讲 法拉第电磁感应定律 自感现象
主干梳理 对点激活
知识点 法拉第电磁感应定律 Ⅱ
1．感应电动势
(1)概念：在电磁感应现象中产生的电动势。
(2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关。
(3)方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则来判断。
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
(2)公式：E＝n，其中n为线圈匝数。
(3)感应电流与感应电动势的关系：遵守闭合电路欧姆定律，即I＝。
3．导体切割磁感线时的感应电动势
切割方式
电动势表达式
说明
垂直切割
E＝Blv
①导体棒与磁场方向垂直，磁场为匀强磁场
②式中l为导体切割磁感线的有效长度
③旋转切割中导体棒的平均速度等于中点位置的线速度lω
倾斜切割
E＝Blvsinθ(θ为v与B的夹角)
旋转切割(以一端为轴)
E＝Bl ＝Bl2ω
知识点 自感、涡流 Ⅰ
1．互感现象
两个互相靠近的线圈，当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场会在另一个线圈中产生感应电动势的现象。
2．自感现象
(1)定义：当一个线圈中的电流变化时，它产生的变化的磁场在它本身激发出感应电动势。
(2)自感电动势
①定义：由于自感而产生的感应电动势。
②表达式：E＝L。
③自感系数L
相关因素：与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯等因素有关。
单位：亨利(H)，1 mH＝10－3 H,1 μH＝10－6 H。
3．涡流、电磁阻尼和电磁驱动
当线圈中的电流发生变化时，在它附近的任何导体中都会产生感应电流，这种电流像水的旋涡，所以叫涡电流，简称涡流。
(1)电磁阻尼：当导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力的方向总是阻碍导体的运动。
(2)电磁驱动：如果磁场相对于导体转动，在导体中会产生感应电流，使导体受到安培力的作用，安培力使导体运动起来。
交流感应电动机就是利用电磁驱动的原理工作的。
(3)电磁阻尼和电磁驱动的原理体现了楞次定律的推广应用。
一 堵点疏通
1．导体棒在磁场中运动一定能产生感应电动势。( )
2．公式E＝Blv中的l就是导体的长度。( )
3．断电自感中，感应电流方向与原电流方向一致。( )
4．回路中磁通量变化量越大，回路产生的感应电流越大。( )
5．在自感现象中，感应电流一定和原电流方向相反。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.×
二 对点激活
1．(人教版选修3－2·P17·T1改编)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是( )
A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
答案 C
解析 由法拉第电磁感应定律可知E＝n，感应电动势的大小与匝数成正比，A错误。感应电动势大小与磁通量的变化率成正比，磁通量变化越快，感应电动势越大，C正确。感应电动势的大小与磁通量的大小以及磁通量的变化量的大小无关，所以B错误。感应电流产生的磁场阻碍原磁场的变化，可能与原磁场方向相同，也可能与原磁场方向相反，D错误。
2．(人教版选修3－2·P18·T6改编)A、B两个闭合线圈用同样的导线制成，匝数均为10匝，半径rA＝2rB，分别按下图甲、乙两种方式放入匀强磁场中，且磁感应强度随时间均匀减小，则下列说法正确的是( )
A．甲图中，A、B两线圈中电动势之比为4∶1
B．甲图中，A、B两线圈中电流之比为2∶1
C．乙图中，A、B两线圈中电动势之比为4∶1
D．乙图中，A、B两线圈中电流之比为4∶1
答案 C
解析 由法拉第电磁感应定律可知，E＝n＝nS，其中S为有效面积，在甲图中，A、B两线圈的有效面积相等，所以感应电动势之比就是匝数比，为1∶1，由电阻定律R＝ρ可知，电阻之比为两线圈周长之比，也就是2∶1，所以甲图中电流之比为1∶2，故A、B错误。同理，乙图中，电动势之比为4∶1，电流之比为2∶1，故C正确，D错误。
3．(2015·海南高考)如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε；将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为ε′。则等于( )
A. B.
C．1 D.
答案 B
解析 设金属棒的长度为l，磁感应强度为B，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势ε＝Blv；当将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线时，有效长度变为l′＝l，所以此时的感应电动势ε′＝Bl′v＝Blv。所以＝，故B正确。
4.(人教版选修3－2·P22·演示实验改编)(多选)如图所示，两个灯泡A1和A2的规格相同，A1与线圈L串联后接到电路中，A2与可变电阻R串联后接到电路中，先闭合开关S，调节R，使两个灯泡的亮度相同，再调节R1，使它们正常发光，然后断开开关S，下列说法正确的是( )
A．重新接通电路，A1、A2同时亮
B．重新接通电路，A1逐渐变亮
C．接通电路，一段时间电路稳定后再次断开S，A1、A2逐渐熄灭
D．接通电路，一段时间电路稳定后再次断开S，A2闪亮一下再熄灭
答案 BC
解析 重新接通电路，由于L有自感电动势产生，阻碍电流增大，所以A1逐渐变亮，故A错误，B正确。再次断开S，A1、A2与L、R构成回路，L相当于电源，因原来两支路电流相等，所以不会出现A2闪亮一下的现象，都会逐渐熄灭，故C正确，D错误。
5．(人教版选修3－2·P29·T3改编)如图所示，上下开口、内壁光滑的铜管P和塑料管Q竖直放置。小磁块先后在两管中从相同高度处由静止释放，并落至底部。则小磁块( )
A．在P和Q中都做自由落体运动
B．在两个下落过程中的机械能都守恒
C．在P中的下落时间比在Q中的长
D．落至底部时在P中的速度比在Q中的大
答案 C
解析 小磁块在铜管中下落的过程，根据电磁感应知铜管中产生涡流，小磁块受到阻力，P中小磁块的部分机械能转化为铜管中产生涡流的焦耳热，机械能不守恒，故A、B均错误。Q管为塑料管，小磁块下落过程为自由落体，所以比在P中下落时间短，落至底部时比P中速度大，故C正确，D错误。
考点细研 悟法培优
考点1 法拉第电磁感应定律的应用
1.磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ、磁通量的变化率的比较
物理量
项目
磁通量Φ
磁通量的变化量ΔΦ
磁通量的变化率
意义
某时刻穿过某个面的磁感线的条数
某段时间内穿过某个面的磁通量变化的多少
穿过某个面的磁通量变化的快慢
大小
Φ＝BS
ΔΦ＝Φ2－Φ1＝Δ(B·S)
两种特例：
①ΔΦ＝B·ΔS
②ΔΦ＝S·ΔB
＝
两种特例：
①＝B
②＝S
注意
若有相反方向的磁场，磁通量可抵消；S为有效面积
转过180°前后穿过平面的磁通量是一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零
等于单匝线圈上产生的感应电动势，即E＝
提示：①Φ、ΔΦ、的大小之间没有必然的联系，Φ＝0，不一定等于0；②感应电动势E与线圈匝数n有关，但Φ、ΔΦ、的大小均与线圈匝数无关。
2．法拉第电磁感应定律公式的物理意义：E＝n求的是Δt时间内的平均感应电动势，当Δt→0时，E为瞬时感应电动势。
3．法拉第电磁感应定律应用的三种情况
(1)磁通量的变化是由有效面积变化引起时，ΔΦ＝B·ΔS，则E＝n。
(2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝ΔB·S，则E＝n，S是磁场范围内的有效面积。
(3)磁通量的变化是由有效面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝Φ末－Φ初，E＝n。
4．在图象问题中磁通量的变化率是Φt图象上某点切线的斜率，利用斜率和线圈匝数可以确定感应电动势的大小。
例1 (2019·河北唐山一模)(多选)如图所示，半径为2r的弹性螺旋线圈内有垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁场区域的半径为r，已知弹性螺旋线圈的电阻为R，线圈与磁场区域共圆心，则以下说法中正确的是( )
A．保持磁场不变，线圈的半径由2r变到3r的过程中，有顺时针的电流
B．保持磁场不变，线圈的半径由2r变到0.5r的过程中，有逆时针的电流
C．保持半径不变，使磁场随时间按B＝kt变化，线圈中的电流为
D．保持半径不变，使磁场随时间按B＝kt变化，线圈中的电流为
(1)保持磁场不变，线圈的半径由2r变到3r的过程中磁通量变化吗？
提示：不变。
(2)保持半径不变，使磁场随时间按B＝kt变化的过程中，求感应电动势时的面积是多少？
提示：πr2。
尝试解答 选BC。
由于磁场的面积不变，线圈的半径由2r变到3r的过程中，穿过线圈的磁通量不变，所以在线圈中没有感应电流产生，故A错误；由于磁场的面积不变，线圈的半径由2r变到0.5r的过程中，线圈包含磁场的面积变小，磁通量变小，根据“楞次定律”可知，产生逆时针的电流，故B正确；保持半径不变，使磁场随时间按B＝kt变化，磁场增强，穿过线圈的磁通量增大，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律：I＝＝＝＝k＝，故C正确。
法拉第电磁感应定律的规范应用
(1)一般解题步骤
①分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况；
②利用楞次定律确定感应电流的方向；
③灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解。
(2)应注意的问题
①用公式E＝nS求感应电动势时，S为线圈在磁场范围内的有效面积，且不变，在Bt图象中为图线切线的斜率。
②用公式E＝n求解的是一个回路中某段时间内的平均感应电动势，只有在磁通量均匀变化时，瞬时值才等于平均值。
③通过回路的电荷量q仅与n、ΔΦ和回路总电阻R有关，与变化过程所用的时间长短无关，推导过程：q＝Δt＝Δt＝。
[变式1] (多选)一圆形线圈的匝数n＝10，面积S＝50 cm2，电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，如图甲所示。t＝0时刻把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．线圈中感应电流沿顺时针方向
B．线圈电阻r消耗的电功率为4×10－4 W
C．电阻R两端的电压为0.1 V
D．前2 s内通过电阻R的电荷量为零
答案 AB
解析 由楞次定律可知，线圈中感应电流沿顺时针方向，A正确；由法拉第电磁感应定律知，线圈中产生的感应电动势恒为E＝＝0.1 V，根据闭合电路欧姆定律知，回路中的电流I＝＝0.02 A，则线圈电阻r消耗的电功率为P＝I2r＝4×10－4 W，B正确；电阻R两端的电压U＝IR＝0.08 V，C错误；前2 s内通过电阻R的电荷量q＝It＝0.04 C，D错误。
考点2 导体切割磁感线产生感应电动势的计算
切割磁感线的那部分导体相当于电路中的电源，常见的情景有以下两种：
1．导体平动切割磁感线
对于导体平动切割磁感线产生感应电动势的计算式E＝Blv，应从以下几个方面理解和掌握。
(1)正交性
本公式是在一定条件下得出的，除了磁场是匀强磁场，还需B、l、v三者相互垂直。当它们不相互垂直时，应取垂直的分量进行计算。如果v与l垂直，且B与l垂直，v与B的夹角为θ，则E＝Blvsinθ；如果l与B垂直，且v与B垂直，l与v的夹角为α，则E＝Blvsinα；如果l与v垂直，且B与v垂直，l与B的夹角为β，则E＝Blvsinβ。
(2)平均性
导体平动切割磁感线时，若v为平均速度，则E为平均感应电动势，即＝Bl。
(3)瞬时性
导体平动切割磁感线时，若v为瞬时速度，则E为相应的瞬时感应电动势。
(4)有效性
公式中的l为导体有效切割长度，即导体在与v共同所在平面上垂直于v的方向上的投影长度。下图中有效长度分别为：
甲图：l＝cdsinβ(容易错算成l＝absinβ)。
乙图：沿v1方向运动时，l＝MN；沿v2方向运动时，l＝0。
丙图：沿v1方向运动时，l＝R；沿v2方向运动时，l＝0；沿v3方向运动时，l＝R。
(5)相对性
E＝Blv中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动时，应注意速度间的相对关系。
2．导体转动切割磁感线
当导体在垂直于磁场的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势为E＝Bl＝Bl2ω，如图所示。
(1)以中点为轴时，E＝0(相同两段的代数和)。
(2)以端点为轴时，E＝Bωl2(平均速度取中点位置的线速度ωl)。
(3)以任意点为轴时，E＝Bω(l－l)(不同两段的代数和，其中l1>l2)。
例2 如图所示，abcd为水平放置的平行“匚”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨电阻不计。已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿平行于cd的方向滑动(金属杆滑动过程中与导轨接触良好)。则( )
A．电路中感应电动势的大小为
B．电路中感应电流的大小为
C．金属杆所受安培力的大小为
D．金属杆的发热功率为
(1)金属杆MN的有效切割长度为多少？
提示：l。
(2)金属杆电阻多大？
提示：R＝·r。
尝试解答 选B。
金属杆MN切割磁感线产生的电动势E＝Blv，故A错误。金属棒电阻R＝·r，所以电路中感应电流大小为I＝＝，故B正确。金属杆所受安培力大小F＝BI＝，故C错误。金属杆的发热功率P＝I2R＝·＝，故D错误。
(1)注意理解和掌握E＝Blv，特别是B、l、v三者方向的关系。
(2)求瞬时电动势(电流)E＝Blv为首选式，并同时注意有效长度l。
(3)对于转动切割，如果记不住公式或情况复杂(如转动中心不在导体棒上)时，可用E＝Bl计算，也可以用假想的导线将导体棒连接，组成回路，用E＝B计算。
(4)如果在导体切割磁感线时，磁感应强度B也在变化，则只能用E＝计算。
[变式2－1] (2019·宁夏第四次模拟)(多选)如图所示，用粗细均匀的铜导线制成半径为r、电阻为4R的圆环，PQ为圆环的直径，在PQ的左右两侧均存在垂直圆环所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，但方向相反。一根长为2r、电阻不计的金属棒MN绕着圆心O以角速度ω顺时针匀速转动，金属棒与圆环紧密接触。下列说法正确的是( )
A．金属棒MN两端的电压大小为Bωr2
B．金属棒MN中的电流大小为
C．图示位置金属棒中电流方向为从M到N
D．金属棒MN在转动一周的过程中电流方向不变
答案 AC
解析 金属棒MO和NO都切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则可知两端产生的感应电动势方向相同，所以MN产生的感应电动势为E＝2××Bωr2＝Bωr2，又因为MN的电阻不计，所以MN两端的电压就等于MN棒产生的电动势Bωr2，故A正确；MN棒把圆环分为相等的两部分，每部分的电阻为2R，且两部分是并联的，所以电路中的总电阻为R，由闭合电路欧姆定律可知MN中的电流为，故B错误；由右手定则可知图示位置金属棒中电流方向为从M到N，故C正确；由右手定则可知MO转到右侧磁场时，金属棒中电流方向为从N到M，故D错误。
[变式2－2] (2015·全国卷Ⅱ)如图，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时，a、b、c三点的电势分别为Ua、Ub、Uc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是( )
A．Ua>Uc，金属框中无电流
B．Ub>Uc，金属框中电流方向沿a－b－c－a
C．Ubc＝－Bl2ω，金属框中无电流
D．Uac＝Bl2ω，金属框中电流方向沿a－c－b－a
答案 C
解析 在三角形金属框内，有两边切割磁感线，其一为bc边，根据E＝Blv可得：电动势大小为Bl2ω；其二为ac边，ac边有效的切割长度为l，根据E＝Blv，可得：电动势大小也为Bl2ω；由右手定则可知：金属框内无电流，且Uc>Ub＝Ua，A、B、D错误；Ubc＝Uac＝－Bl2ω，C正确。
考点3 自感现象
1.自感现象的四大特点
(1)自感电动势总是阻碍导体中原电流的变化。
(2)通过线圈中的电流不能发生突变，只能缓慢变化。
(3)电流稳定时，自感线圈就相当于普通导体。
(4)线圈的自感系数越大，自感现象越明显，自感电动势只是延缓了过程的进行，但它不能使过程停止，更不能使过程反向。
2．自感中“闪亮”与“不闪亮”问题
与线圈串联的灯泡
与线圈并联的灯泡
电路图
通电时
电流逐渐增大，灯泡逐渐变亮
电流突然增大，灯泡立刻变亮，然后电流逐渐减小达到稳定，灯泡比刚通电时暗些
断电时
电流逐渐减小，灯泡逐渐变暗，电流方向不变
电路中稳态电流为I1、I2
①若I2≤I1，灯泡逐渐变暗；
②若I2>I1，灯泡闪亮后逐渐变暗。两种情况灯泡中电流方向均改变
例3 (人教版选修3－2·P25·T3改编)如图所示，线圈L的自感系数很大，且其电阻可以忽略不计，L1、L2是两个完全相同的小灯泡，随着开关S闭合和断开的过程中，L1、L2的亮度变化情况是(灯丝不会断)( )
A．S闭合，L1亮度不变，L2亮度逐渐变亮，最后两灯一样亮；S断开，L2立即不亮，L1逐渐变亮
B．S闭合，L1亮度不变，L2很亮；S断开，L1、L2立即不亮
C．S闭合，L1、L2同时亮，而后L1逐渐熄灭，L2亮度不变；S断开，L2立即不亮，L1亮一下才灭
D．S闭合，L1、L2同时亮，而后L1逐渐熄灭，L2则逐渐变得更亮；S断开，L2立即熄灭，L1亮一下才灭
(1)开关闭合瞬间、电路稳定时、开关断开瞬间线圈分别相当于什么？
提示：L分别相当于阻值减小的大电阻、导线、电动势减小的电源。
(2)当自感电流满足什么条件时，灯泡L1才会闪一下？
提示：当自感电流大于电路稳定时灯泡L1的原电流时灯泡L1才会闪一下。
尝试解答 选D。
S闭合瞬间，自感线圈L相当于一个大电阻，以后阻值逐渐减小到0，所以观察到的现象是灯泡L1和L2同时亮，以后L1逐渐变暗到熄灭，L2逐渐变得更亮。S断开瞬间，自感线圈相当于一个电动势逐渐减小的内阻不计的电源，它与灯泡L1组成闭合回路，所以L2立即熄灭，L1亮一下才熄灭。所以A、B、C选项都是错误的，只有D选项正确。
(1)断电自感现象中电流方向是否改变的判断：与线圈在同一条支路的用电器中的电流方向不变；与线圈并联的用电器中的电流方向改变。
(2)通电自感：线圈相当于一个变化的电阻——阻值由无穷大逐渐减小，通电瞬间自感线圈处相当于断路。
(3)断电自感：断电时自感线圈相当于电源，电动势由某值逐渐减小到零。
(4)电流稳定时，自感线圈就是导体，是否需要考虑其电阻，根据题意而定。
[变式3－1] (多选)如图甲、乙所示的电路中，电阻R和自感线圈L的电阻值都很小，且小于灯泡A的电阻，接通S，使电路达到稳定，灯泡A发光，则( )
A．在电路甲中，断开S后，A将逐渐变暗
B．在电路甲中，断开S后，A将先变得更亮，然后才逐渐变暗
C．在电路乙中，断开S后，A将逐渐变暗
D．在电路乙中，断开S后，A将先变得更亮，然后才逐渐变暗
答案 AD
解析 在电路甲中，灯A和线圈L串联，它们的电流相同，断开S时，线圈上产生自感电动势，阻碍原来通过它的电流减小，但流过灯A的电流仍逐渐减小，故灯A逐渐变暗。在电路乙中，电阻R和灯A串联，灯A的电阻大于线圈L的电阻，电流则小于线圈L中的电流，断开S时，电源不再给灯供电，而线圈产生自感电动势阻碍通过它本身的电流减小，通过A、R形成回路，灯A中电流突然变大，灯A变得更亮，然后渐渐变暗，故A、D正确。
[变式3－2] (2019·福州模拟)(多选)如图所示，A、B、C是三个完全相同的灯泡，L是一自感系数较大的线圈(直流电阻可忽略不计)。则( )
A．S闭合时，A灯立即亮，然后逐渐熄灭
B．S闭合时，B灯立即亮，然后逐渐熄灭
C．电路接通稳定后，B灯和C灯亮度相同
D．电路接通稳定后，S断开时，C灯立即熄灭
答案 AC
解析 当S闭合时，由于自感现象，L视为断路，电路结构为A、B串联再与C并联，A、B、C立即亮，当电路稳定后，L视为短路，A灯熄灭，B灯变得更亮，且B、C一样亮，故A、C正确，B错误；当S断开时，L相当于电源，A灯闪亮一下再熄灭，B、C逐渐熄灭，故D错误。
[变式3－3] (多选)如图所示的电路中，L是一个自感系数很大、直流电阻不计的线圈，D1、D2和D3是三个完全相同的灯泡，E是内阻不计的电源。在t＝0时刻，闭合开关S，电路稳定后在t1时刻断开开关S。规定电路稳定时流过D1、D2的电流方向为正方向，分别用I1、I2表示流过D1和D2的电流，则四个选项中能定性描述电流I随时间t变化关系的是( )
答案 BC
解析 闭合开关S，D1缓慢变亮，D2和D3立即变亮。在t1时刻断开开关S后，由于自感现象，通过D1的电流逐渐减小，方向不变，而通过D2和D3的电流方向立即改变，且电流大小先变大后逐渐减小，B、C正确。
高考模拟 随堂集训
1．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图a中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上。t＝0时磁感应强度的方向如图a所示；磁感应强度B随时间t的变化关系如图b所示。则在t＝0到t＝t1的时间间隔内( )
A．圆环所受安培力的方向始终不变
B．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C．圆环中的感应电流大小为
D．圆环中的感应电动势大小为
答案 BC
解析 由于通过圆环的磁通量均匀变化，故圆环中产生的感应电动势、感应电流的大小和方向不变，但t0时刻磁场方向发生变化，故安培力方向发生变化，A错误；根据楞次定律，圆环中感应电流的方向始终沿顺时针方向，B正确；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势大小E＝·S′＝·＝，根据闭合电路欧姆定律知，感应电流大小I＝＝＝，C正确，D错误。
2.(2018·全国卷Ⅲ)(多选)如图a，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图b所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势( )
A．在t＝时为零
B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向
D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
答案 AC
解析 由图b可知，导线PQ中电流在t＝时达到最大值，变化率为零，导线框R中磁通量变化率为零，根据法拉第电磁感应定律，在t＝时导线框中产生的感应电动势为零，A正确；在t＝时，导线PQ中电流图象斜率正负不变，导致导线框R中磁通量变化率的正负不变，根据楞次定律，所以在t＝时，导线框中产生的感应电动势方向不变，B错误；由于在t＝时，导线PQ中电流图象斜率最大，电流变化率最大，导致导线框R中磁通量变化率最大，根据法拉第电磁感应定律，在t＝时导线框中产生的感应电动势最大，由楞次定律可判断出感应电动势的方向为顺时针方向，C正确；由楞次定律可判断出在t＝T时感应电动势的方向为逆时针方向，D错误。
3．(2018·全国卷Ⅰ)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于( )
A. B.
C. D．2
答案 B
解析 通过导体横截面的电荷量为：q＝·Δt＝·Δt＝n，过程Ⅰ流过OM的电荷量为：q1＝；过程Ⅱ流过OM的电荷量：q2＝，依题意有：q1＝q2，即：B·πr2＝(B′－B)·πr2，解得：＝，正确答案为B。
4．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1 m、总电阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图a所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场。线框中感应电动势随时间变化的图线如图b所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正)。下列说法正确的是( )
A．磁感应强度的大小为0.5 T
B．导线框运动速度的大小为0.5 m/s
C．磁感应强度的方向垂直于纸面向外
D．在t＝0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1 N
答案 BC
解析 由图象可知，从导线框的cd边进入磁场到ab边刚好进入磁场，用时为0.2 s，可得导线框运动速度的大小v＝ m/s＝0.5 m/s，故B正确。由图象可知，cd边切割磁感线产生的感应电动势E＝0.01 V，由公式E＝BLv，可得磁感应强度的大小B＝ T＝0.2 T，故A错误。感应电流的方向为顺时针时，对cd边应用右手定则可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，故C正确。t＝0.4 s至t＝0.6 s时间段为cd边离开磁场，ab边切割磁感线的过程，由闭合电路欧姆定律及安培力公式得安培力F＝，代入数据得F＝0.04 N，故D错误。
5．(2017·北京高考)图1和图2是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈。实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮，而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同。下列说法正确的是( )
A．图1中，A1与L1的电阻值相同
B．图1中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流大于L1中电流
C．图2中，变阻器R与L2的电阻值相同
D．图2中，闭合S2瞬间，L2中电流与变阻器R中电流相等
答案 C
解析 断开开关S1瞬间，线圈L1产生自感电动势，阻碍电流的减小，通过L1的电流反向通过灯A1，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗，说明IL1>IA1，即RL1
答案 A
解析 底盘上的紫铜薄板出现扰动时，其扰动方向不确定，在C这种情况下，紫铜薄板出现上下或左右扰动时，穿过薄板的磁通量难以改变，不能发生电磁感应现象，没有阻尼效应；在B、D这两种情况下，紫铜薄板出现上下扰动时，也没有发生电磁阻尼现象；在A这种情况下，紫铜薄板出现上下或左右扰动时，都发生电磁感应现象，产生电磁阻尼效应，A正确。
7．(2016·全国卷Ⅱ)(多选)法拉第圆盘发电机的示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触。圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中。圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是( )
A．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定
B．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动
C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化
D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
答案 AB
解析 设圆盘的半径为L，可认为圆盘由无数根辐条构成，则每根辐条切割磁感线产生的感应电动势E＝BL2ω，整个回路中的电源为无数个电动势为E的电源并联而成，电源总内阻为零，故回路中电流I＝＝，由此可见A正确；R上的热功率P＝I2R＝，由此可见，ω变为原来的2倍时，P变为原来的4倍，故D错误；由右手定则可判知B正确；电流方向与导体切割磁感线的方向有关，而与切割的速度大小无关，故C错误。
8．(2019·江苏高考)如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S＝0.3 m2、电阻R＝0.6 Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2 T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt＝0.5 s时间内合到一起。求线圈在上述过程中
(1)感应电动势的平均值E；
(2)感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
(3)通过导线横截面的电荷量q。
答案 (1)0.12 V (2)0.2 A 电流方向见解析图 (3)0.1 C
解析 (1)感应电动势的平均值E＝
磁通量的变化量ΔΦ＝BΔS
解得E＝
代入数据得E＝0.12 V。
(2)平均感应电流I＝
代入数据得I＝0.2 A(电流方向如图)。
(3)通过导线横截面的电荷量
q＝IΔt
代入数据得q＝0.1 C。
9．(2017·江苏高考)如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：
(1)MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；
(2)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
(3)PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)MN刚扫过金属杆时，金属杆的感应电动势
E＝Bdv0①
回路的感应电流I＝②
由①②式解得I＝③
(2)金属杆所受的安培力F＝BId④
由牛顿第二定律得，对金属杆F＝ma⑤
由③④⑤式得a＝⑥
(3)金属杆切割磁感线的相对速度v′＝v0－v⑦
感应电动势E′＝Bdv′⑧
感应电流的电功率P＝⑨
由⑦⑧⑨式得P＝。
第2讲 法拉第电磁感应定律 自感现象
主干梳理 对点激活
知识点 法拉第电磁感应定律 Ⅱ
1．感应电动势
(1)概念：在电磁感应现象中产生的电动势。
(2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关。
(3)方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则来判断。
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
(2)公式：E＝n，其中n为线圈匝数。
(3)感应电流与感应电动势的关系：遵守闭合电路欧姆定律，即I＝。
3．导体切割磁感线时的感应电动势
切割方式
电动势表达式
说明
垂直切割
E＝Blv
①导体棒与磁场方向垂直，磁场为匀强磁场
②式中l为导体切割磁感线的有效长度
③旋转切割中导体棒的平均速度等于中点位置的线速度lω
倾斜切割
E＝Blvsinθ(θ为v与B的夹角)
旋转切割(以一端为轴)
E＝Bl ＝Bl2ω
知识点 自感、涡流 Ⅰ
1．互感现象
两个互相靠近的线圈，当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场会在另一个线圈中产生感应电动势的现象。
2．自感现象
(1)定义：当一个线圈中的电流变化时，它产生的变化的磁场在它本身激发出感应电动势。
(2)自感电动势
①定义：由于自感而产生的感应电动势。
②表达式：E＝L。
③自感系数L
相关因素：与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯等因素有关。
单位：亨利(H)，1 mH＝10－3 H,1 μH＝10－6 H。
3．涡流、电磁阻尼和电磁驱动
当线圈中的电流发生变化时，在它附近的任何导体中都会产生感应电流，这种电流像水的旋涡，所以叫涡电流，简称涡流。
(1)电磁阻尼：当导体在磁场中运动时，感应电流会使导体受到安培力，安培力的方向总是阻碍导体的运动。
(2)电磁驱动：如果磁场相对于导体转动，在导体中会产生感应电流，使导体受到安培力的作用，安培力使导体运动起来。
交流感应电动机就是利用电磁驱动的原理工作的。
(3)电磁阻尼和电磁驱动的原理体现了楞次定律的推广应用。
一 堵点疏通
1．导体棒在磁场中运动一定能产生感应电动势。( )
2．公式E＝Blv中的l就是导体的长度。( )
3．断电自感中，感应电流方向与原电流方向一致。( )
4．回路中磁通量变化量越大，回路产生的感应电流越大。( )
5．在自感现象中，感应电流一定和原电流方向相反。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.×
二 对点激活
1．(人教版选修3－2·P17·T1改编)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是( )
A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
答案 C
解析 由法拉第电磁感应定律可知E＝n，感应电动势的大小与匝数成正比，A错误。感应电动势大小与磁通量的变化率成正比，磁通量变化越快，感应电动势越大，C正确。感应电动势的大小与磁通量的大小以及磁通量的变化量的大小无关，所以B错误。感应电流产生的磁场阻碍原磁场的变化，可能与原磁场方向相同，也可能与原磁场方向相反，D错误。
2．(人教版选修3－2·P18·T6改编)A、B两个闭合线圈用同样的导线制成，匝数均为10匝，半径rA＝2rB，分别按下图甲、乙两种方式放入匀强磁场中，且磁感应强度随时间均匀减小，则下列说法正确的是( )
A．甲图中，A、B两线圈中电动势之比为4∶1
B．甲图中，A、B两线圈中电流之比为2∶1
C．乙图中，A、B两线圈中电动势之比为4∶1
D．乙图中，A、B两线圈中电流之比为4∶1
答案 C
解析 由法拉第电磁感应定律可知，E＝n＝nS，其中S为有效面积，在甲图中，A、B两线圈的有效面积相等，所以感应电动势之比就是匝数比，为1∶1，由电阻定律R＝ρ可知，电阻之比为两线圈周长之比，也就是2∶1，所以甲图中电流之比为1∶2，故A、B错误。同理，乙图中，电动势之比为4∶1，电流之比为2∶1，故C正确，D错误。
3．(2015·海南高考)如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为ε；将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为ε′。则等于( )
A. B.
C．1 D.
答案 B
解析 设金属棒的长度为l，磁感应强度为B，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势ε＝Blv；当将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线时，有效长度变为l′＝l，所以此时的感应电动势ε′＝Bl′v＝Blv。所以＝，故B正确。
4.(人教版选修3－2·P22·演示实验改编)(多选)如图所示，两个灯泡A1和A2的规格相同，A1与线圈L串联后接到电路中，A2与可变电阻R串联后接到电路中，先闭合开关S，调节R，使两个灯泡的亮度相同，再调节R1，使它们正常发光，然后断开开关S，下列说法正确的是( )
A．重新接通电路，A1、A2同时亮
B．重新接通电路，A1逐渐变亮
C．接通电路，一段时间电路稳定后再次断开S，A1、A2逐渐熄灭
D．接通电路，一段时间电路稳定后再次断开S，A2闪亮一下再熄灭
答案 BC
解析 重新接通电路，由于L有自感电动势产生，阻碍电流增大，所以A1逐渐变亮，故A错误，B正确。再次断开S，A1、A2与L、R构成回路，L相当于电源，因原来两支路电流相等，所以不会出现A2闪亮一下的现象，都会逐渐熄灭，故C正确，D错误。
5．(人教版选修3－2·P29·T3改编)如图所示，上下开口、内壁光滑的铜管P和塑料管Q竖直放置。小磁块先后在两管中从相同高度处由静止释放，并落至底部。则小磁块( )
A．在P和Q中都做自由落体运动
B．在两个下落过程中的机械能都守恒
C．在P中的下落时间比在Q中的长
D．落至底部时在P中的速度比在Q中的大
答案 C
解析 小磁块在铜管中下落的过程，根据电磁感应知铜管中产生涡流，小磁块受到阻力，P中小磁块的部分机械能转化为铜管中产生涡流的焦耳热，机械能不守恒，故A、B均错误。Q管为塑料管，小磁块下落过程为自由落体，所以比在P中下落时间短，落至底部时比P中速度大，故C正确，D错误。
考点细研 悟法培优
考点1 法拉第电磁感应定律的应用
1.磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ、磁通量的变化率的比较
物理量
项目
磁通量Φ
磁通量的变化量ΔΦ
磁通量的变化率
意义
某时刻穿过某个面的磁感线的条数
某段时间内穿过某个面的磁通量变化的多少
穿过某个面的磁通量变化的快慢
大小
Φ＝BS
ΔΦ＝Φ2－Φ1＝Δ(B·S)
两种特例：
①ΔΦ＝B·ΔS
②ΔΦ＝S·ΔB
＝
两种特例：
①＝B
②＝S
注意
若有相反方向的磁场，磁通量可抵消；S为有效面积
转过180°前后穿过平面的磁通量是一正一负，ΔΦ＝2BS，而不是零
等于单匝线圈上产生的感应电动势，即E＝
提示：①Φ、ΔΦ、的大小之间没有必然的联系，Φ＝0，不一定等于0；②感应电动势E与线圈匝数n有关，但Φ、ΔΦ、的大小均与线圈匝数无关。
2．法拉第电磁感应定律公式的物理意义：E＝n求的是Δt时间内的平均感应电动势，当Δt→0时，E为瞬时感应电动势。
3．法拉第电磁感应定律应用的三种情况
(1)磁通量的变化是由有效面积变化引起时，ΔΦ＝B·ΔS，则E＝n。
(2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝ΔB·S，则E＝n，S是磁场范围内的有效面积。
(3)磁通量的变化是由有效面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝Φ末－Φ初，E＝n。
4．在图象问题中磁通量的变化率是Φt图象上某点切线的斜率，利用斜率和线圈匝数可以确定感应电动势的大小。
例1 (2019·河北唐山一模)(多选)如图所示，半径为2r的弹性螺旋线圈内有垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁场区域的半径为r，已知弹性螺旋线圈的电阻为R，线圈与磁场区域共圆心，则以下说法中正确的是( )
A．保持磁场不变，线圈的半径由2r变到3r的过程中，有顺时针的电流
B．保持磁场不变，线圈的半径由2r变到0.5r的过程中，有逆时针的电流
C．保持半径不变，使磁场随时间按B＝kt变化，线圈中的电流为
D．保持半径不变，使磁场随时间按B＝kt变化，线圈中的电流为
(1)保持磁场不变，线圈的半径由2r变到3r的过程中磁通量变化吗？
提示：不变。
(2)保持半径不变，使磁场随时间按B＝kt变化的过程中，求感应电动势时的面积是多少？
提示：πr2。
尝试解答 选BC。
由于磁场的面积不变，线圈的半径由2r变到3r的过程中，穿过线圈的磁通量不变，所以在线圈中没有感应电流产生，故A错误；由于磁场的面积不变，线圈的半径由2r变到0.5r的过程中，线圈包含磁场的面积变小，磁通量变小，根据“楞次定律”可知，产生逆时针的电流，故B正确；保持半径不变，使磁场随时间按B＝kt变化，磁场增强，穿过线圈的磁通量增大，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律：I＝＝＝＝k＝，故C正确。
法拉第电磁感应定律的规范应用
(1)一般解题步骤
①分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况；
②利用楞次定律确定感应电流的方向；
③灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解。
(2)应注意的问题
①用公式E＝nS求感应电动势时，S为线圈在磁场范围内的有效面积，且不变，在Bt图象中为图线切线的斜率。
②用公式E＝n求解的是一个回路中某段时间内的平均感应电动势，只有在磁通量均匀变化时，瞬时值才等于平均值。
③通过回路的电荷量q仅与n、ΔΦ和回路总电阻R有关，与变化过程所用的时间长短无关，推导过程：q＝Δt＝Δt＝。
[变式1] (多选)一圆形线圈的匝数n＝10，面积S＝50 cm2，电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，如图甲所示。t＝0时刻把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．线圈中感应电流沿顺时针方向
B．线圈电阻r消耗的电功率为4×10－4 W
C．电阻R两端的电压为0.1 V
D．前2 s内通过电阻R的电荷量为零
答案 AB
解析 由楞次定律可知，线圈中感应电流沿顺时针方向，A正确；由法拉第电磁感应定律知，线圈中产生的感应电动势恒为E＝＝0.1 V，根据闭合电路欧姆定律知，回路中的电流I＝＝0.02 A，则线圈电阻r消耗的电功率为P＝I2r＝4×10－4 W，B正确；电阻R两端的电压U＝IR＝0.08 V，C错误；前2 s内通过电阻R的电荷量q＝It＝0.04 C，D错误。
考点2 导体切割磁感线产生感应电动势的计算
切割磁感线的那部分导体相当于电路中的电源，常见的情景有以下两种：
1．导体平动切割磁感线
对于导体平动切割磁感线产生感应电动势的计算式E＝Blv，应从以下几个方面理解和掌握。
(1)正交性
本公式是在一定条件下得出的，除了磁场是匀强磁场，还需B、l、v三者相互垂直。当它们不相互垂直时，应取垂直的分量进行计算。如果v与l垂直，且B与l垂直，v与B的夹角为θ，则E＝Blvsinθ；如果l与B垂直，且v与B垂直，l与v的夹角为α，则E＝Blvsinα；如果l与v垂直，且B与v垂直，l与B的夹角为β，则E＝Blvsinβ。
(2)平均性
导体平动切割磁感线时，若v为平均速度，则E为平均感应电动势，即＝Bl。
(3)瞬时性
导体平动切割磁感线时，若v为瞬时速度，则E为相应的瞬时感应电动势。
(4)有效性
公式中的l为导体有效切割长度，即导体在与v共同所在平面上垂直于v的方向上的投影长度。下图中有效长度分别为：
甲图：l＝cdsinβ(容易错算成l＝absinβ)。
乙图：沿v1方向运动时，l＝MN；沿v2方向运动时，l＝0。
丙图：沿v1方向运动时，l＝R；沿v2方向运动时，l＝0；沿v3方向运动时，l＝R。
(5)相对性
E＝Blv中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动时，应注意速度间的相对关系。
2．导体转动切割磁感线
当导体在垂直于磁场的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势为E＝Bl＝Bl2ω，如图所示。
(1)以中点为轴时，E＝0(相同两段的代数和)。
(2)以端点为轴时，E＝Bωl2(平均速度取中点位置的线速度ωl)。
(3)以任意点为轴时，E＝Bω(l－l)(不同两段的代数和，其中l1>l2)。
例2 如图所示，abcd为水平放置的平行“匚”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨电阻不计。已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿平行于cd的方向滑动(金属杆滑动过程中与导轨接触良好)。则( )
A．电路中感应电动势的大小为
B．电路中感应电流的大小为
C．金属杆所受安培力的大小为
D．金属杆的发热功率为
(1)金属杆MN的有效切割长度为多少？
提示：l。
(2)金属杆电阻多大？
提示：R＝·r。
尝试解答 选B。
金属杆MN切割磁感线产生的电动势E＝Blv，故A错误。金属棒电阻R＝·r，所以电路中感应电流大小为I＝＝，故B正确。金属杆所受安培力大小F＝BI＝，故C错误。金属杆的发热功率P＝I2R＝·＝，故D错误。
(1)注意理解和掌握E＝Blv，特别是B、l、v三者方向的关系。
(2)求瞬时电动势(电流)E＝Blv为首选式，并同时注意有效长度l。
(3)对于转动切割，如果记不住公式或情况复杂(如转动中心不在导体棒上)时，可用E＝Bl计算，也可以用假想的导线将导体棒连接，组成回路，用E＝B计算。
(4)如果在导体切割磁感线时，磁感应强度B也在变化，则只能用E＝计算。
[变式2－1] (2019·宁夏第四次模拟)(多选)如图所示，用粗细均匀的铜导线制成半径为r、电阻为4R的圆环，PQ为圆环的直径，在PQ的左右两侧均存在垂直圆环所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，但方向相反。一根长为2r、电阻不计的金属棒MN绕着圆心O以角速度ω顺时针匀速转动，金属棒与圆环紧密接触。下列说法正确的是( )
A．金属棒MN两端的电压大小为Bωr2
B．金属棒MN中的电流大小为
C．图示位置金属棒中电流方向为从M到N
D．金属棒MN在转动一周的过程中电流方向不变
答案 AC
解析 金属棒MO和NO都切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则可知两端产生的感应电动势方向相同，所以MN产生的感应电动势为E＝2××Bωr2＝Bωr2，又因为MN的电阻不计，所以MN两端的电压就等于MN棒产生的电动势Bωr2，故A正确；MN棒把圆环分为相等的两部分，每部分的电阻为2R，且两部分是并联的，所以电路中的总电阻为R，由闭合电路欧姆定律可知MN中的电流为，故B错误；由右手定则可知图示位置金属棒中电流方向为从M到N，故C正确；由右手定则可知MO转到右侧磁场时，金属棒中电流方向为从N到M，故D错误。
[变式2－2] (2015·全国卷Ⅱ)如图，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时，a、b、c三点的电势分别为Ua、Ub、Uc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是( )
A．Ua>Uc，金属框中无电流
B．Ub>Uc，金属框中电流方向沿a－b－c－a
C．Ubc＝－Bl2ω，金属框中无电流
D．Uac＝Bl2ω，金属框中电流方向沿a－c－b－a
答案 C
解析 在三角形金属框内，有两边切割磁感线，其一为bc边，根据E＝Blv可得：电动势大小为Bl2ω；其二为ac边，ac边有效的切割长度为l，根据E＝Blv，可得：电动势大小也为Bl2ω；由右手定则可知：金属框内无电流，且Uc>Ub＝Ua，A、B、D错误；Ubc＝Uac＝－Bl2ω，C正确。
考点3 自感现象
1.自感现象的四大特点
(1)自感电动势总是阻碍导体中原电流的变化。
(2)通过线圈中的电流不能发生突变，只能缓慢变化。
(3)电流稳定时，自感线圈就相当于普通导体。
(4)线圈的自感系数越大，自感现象越明显，自感电动势只是延缓了过程的进行，但它不能使过程停止，更不能使过程反向。
2．自感中“闪亮”与“不闪亮”问题
与线圈串联的灯泡
与线圈并联的灯泡
电路图
通电时
电流逐渐增大，灯泡逐渐变亮
电流突然增大，灯泡立刻变亮，然后电流逐渐减小达到稳定，灯泡比刚通电时暗些
断电时
电流逐渐减小，灯泡逐渐变暗，电流方向不变
电路中稳态电流为I1、I2
①若I2≤I1，灯泡逐渐变暗；
②若I2>I1，灯泡闪亮后逐渐变暗。两种情况灯泡中电流方向均改变
例3 (人教版选修3－2·P25·T3改编)如图所示，线圈L的自感系数很大，且其电阻可以忽略不计，L1、L2是两个完全相同的小灯泡，随着开关S闭合和断开的过程中，L1、L2的亮度变化情况是(灯丝不会断)( )
A．S闭合，L1亮度不变，L2亮度逐渐变亮，最后两灯一样亮；S断开，L2立即不亮，L1逐渐变亮
B．S闭合，L1亮度不变，L2很亮；S断开，L1、L2立即不亮
C．S闭合，L1、L2同时亮，而后L1逐渐熄灭，L2亮度不变；S断开，L2立即不亮，L1亮一下才灭
D．S闭合，L1、L2同时亮，而后L1逐渐熄灭，L2则逐渐变得更亮；S断开，L2立即熄灭，L1亮一下才灭
(1)开关闭合瞬间、电路稳定时、开关断开瞬间线圈分别相当于什么？
提示：L分别相当于阻值减小的大电阻、导线、电动势减小的电源。
(2)当自感电流满足什么条件时，灯泡L1才会闪一下？
提示：当自感电流大于电路稳定时灯泡L1的原电流时灯泡L1才会闪一下。
尝试解答 选D。
S闭合瞬间，自感线圈L相当于一个大电阻，以后阻值逐渐减小到0，所以观察到的现象是灯泡L1和L2同时亮，以后L1逐渐变暗到熄灭，L2逐渐变得更亮。S断开瞬间，自感线圈相当于一个电动势逐渐减小的内阻不计的电源，它与灯泡L1组成闭合回路，所以L2立即熄灭，L1亮一下才熄灭。所以A、B、C选项都是错误的，只有D选项正确。
(1)断电自感现象中电流方向是否改变的判断：与线圈在同一条支路的用电器中的电流方向不变；与线圈并联的用电器中的电流方向改变。
(2)通电自感：线圈相当于一个变化的电阻——阻值由无穷大逐渐减小，通电瞬间自感线圈处相当于断路。
(3)断电自感：断电时自感线圈相当于电源，电动势由某值逐渐减小到零。
(4)电流稳定时，自感线圈就是导体，是否需要考虑其电阻，根据题意而定。
[变式3－1] (多选)如图甲、乙所示的电路中，电阻R和自感线圈L的电阻值都很小，且小于灯泡A的电阻，接通S，使电路达到稳定，灯泡A发光，则( )
A．在电路甲中，断开S后，A将逐渐变暗
B．在电路甲中，断开S后，A将先变得更亮，然后才逐渐变暗
C．在电路乙中，断开S后，A将逐渐变暗
D．在电路乙中，断开S后，A将先变得更亮，然后才逐渐变暗
答案 AD
解析 在电路甲中，灯A和线圈L串联，它们的电流相同，断开S时，线圈上产生自感电动势，阻碍原来通过它的电流减小，但流过灯A的电流仍逐渐减小，故灯A逐渐变暗。在电路乙中，电阻R和灯A串联，灯A的电阻大于线圈L的电阻，电流则小于线圈L中的电流，断开S时，电源不再给灯供电，而线圈产生自感电动势阻碍通过它本身的电流减小，通过A、R形成回路，灯A中电流突然变大，灯A变得更亮，然后渐渐变暗，故A、D正确。
[变式3－2] (2019·福州模拟)(多选)如图所示，A、B、C是三个完全相同的灯泡，L是一自感系数较大的线圈(直流电阻可忽略不计)。则( )
A．S闭合时，A灯立即亮，然后逐渐熄灭
B．S闭合时，B灯立即亮，然后逐渐熄灭
C．电路接通稳定后，B灯和C灯亮度相同
D．电路接通稳定后，S断开时，C灯立即熄灭
答案 AC
解析 当S闭合时，由于自感现象，L视为断路，电路结构为A、B串联再与C并联，A、B、C立即亮，当电路稳定后，L视为短路，A灯熄灭，B灯变得更亮，且B、C一样亮，故A、C正确，B错误；当S断开时，L相当于电源，A灯闪亮一下再熄灭，B、C逐渐熄灭，故D错误。
[变式3－3] (多选)如图所示的电路中，L是一个自感系数很大、直流电阻不计的线圈，D1、D2和D3是三个完全相同的灯泡，E是内阻不计的电源。在t＝0时刻，闭合开关S，电路稳定后在t1时刻断开开关S。规定电路稳定时流过D1、D2的电流方向为正方向，分别用I1、I2表示流过D1和D2的电流，则四个选项中能定性描述电流I随时间t变化关系的是( )
答案 BC
解析 闭合开关S，D1缓慢变亮，D2和D3立即变亮。在t1时刻断开开关S后，由于自感现象，通过D1的电流逐渐减小，方向不变，而通过D2和D3的电流方向立即改变，且电流大小先变大后逐渐减小，B、C正确。
高考模拟 随堂集训
1．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图a中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上。t＝0时磁感应强度的方向如图a所示；磁感应强度B随时间t的变化关系如图b所示。则在t＝0到t＝t1的时间间隔内( )
A．圆环所受安培力的方向始终不变
B．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C．圆环中的感应电流大小为
D．圆环中的感应电动势大小为
答案 BC
解析 由于通过圆环的磁通量均匀变化，故圆环中产生的感应电动势、感应电流的大小和方向不变，但t0时刻磁场方向发生变化，故安培力方向发生变化，A错误；根据楞次定律，圆环中感应电流的方向始终沿顺时针方向，B正确；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势大小E＝·S′＝·＝，根据闭合电路欧姆定律知，感应电流大小I＝＝＝，C正确，D错误。
2.(2018·全国卷Ⅲ)(多选)如图a，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图b所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势( )
A．在t＝时为零
B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向
D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
答案 AC
解析 由图b可知，导线PQ中电流在t＝时达到最大值，变化率为零，导线框R中磁通量变化率为零，根据法拉第电磁感应定律，在t＝时导线框中产生的感应电动势为零，A正确；在t＝时，导线PQ中电流图象斜率正负不变，导致导线框R中磁通量变化率的正负不变，根据楞次定律，所以在t＝时，导线框中产生的感应电动势方向不变，B错误；由于在t＝时，导线PQ中电流图象斜率最大，电流变化率最大，导致导线框R中磁通量变化率最大，根据法拉第电磁感应定律，在t＝时导线框中产生的感应电动势最大，由楞次定律可判断出感应电动势的方向为顺时针方向，C正确；由楞次定律可判断出在t＝T时感应电动势的方向为逆时针方向，D错误。
3．(2018·全国卷Ⅰ)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于( )
A. B.
C. D．2
答案 B
解析 通过导体横截面的电荷量为：q＝·Δt＝·Δt＝n，过程Ⅰ流过OM的电荷量为：q1＝；过程Ⅱ流过OM的电荷量：q2＝，依题意有：q1＝q2，即：B·πr2＝(B′－B)·πr2，解得：＝，正确答案为B。
4．(2017·全国卷Ⅱ)(多选)两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1 m、总电阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图a所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场。线框中感应电动势随时间变化的图线如图b所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正)。下列说法正确的是( )
A．磁感应强度的大小为0.5 T
B．导线框运动速度的大小为0.5 m/s
C．磁感应强度的方向垂直于纸面向外
D．在t＝0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1 N
答案 BC
解析 由图象可知，从导线框的cd边进入磁场到ab边刚好进入磁场，用时为0.2 s，可得导线框运动速度的大小v＝ m/s＝0.5 m/s，故B正确。由图象可知，cd边切割磁感线产生的感应电动势E＝0.01 V，由公式E＝BLv，可得磁感应强度的大小B＝ T＝0.2 T，故A错误。感应电流的方向为顺时针时，对cd边应用右手定则可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，故C正确。t＝0.4 s至t＝0.6 s时间段为cd边离开磁场，ab边切割磁感线的过程，由闭合电路欧姆定律及安培力公式得安培力F＝，代入数据得F＝0.04 N，故D错误。
5．(2017·北京高考)图1和图2是教材中演示自感现象的两个电路图，L1和L2为电感线圈。实验时，断开开关S1瞬间，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关S2，灯A2逐渐变亮，而另一个相同的灯A3立即变亮，最终A2与A3的亮度相同。下列说法正确的是( )
A．图1中，A1与L1的电阻值相同
B．图1中，闭合S1，电路稳定后，A1中电流大于L1中电流
C．图2中，变阻器R与L2的电阻值相同
D．图2中，闭合S2瞬间，L2中电流与变阻器R中电流相等
答案 C
解析 断开开关S1瞬间，线圈L1产生自感电动势，阻碍电流的减小，通过L1的电流反向通过灯A1，灯A1突然闪亮，随后逐渐变暗，说明IL1>IA1，即RL1
答案 A
解析 底盘上的紫铜薄板出现扰动时，其扰动方向不确定，在C这种情况下，紫铜薄板出现上下或左右扰动时，穿过薄板的磁通量难以改变，不能发生电磁感应现象，没有阻尼效应；在B、D这两种情况下，紫铜薄板出现上下扰动时，也没有发生电磁阻尼现象；在A这种情况下，紫铜薄板出现上下或左右扰动时，都发生电磁感应现象，产生电磁阻尼效应，A正确。
7．(2016·全国卷Ⅱ)(多选)法拉第圆盘发电机的示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触。圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中。圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是( )
A．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定
B．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动
C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化
D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
答案 AB
解析 设圆盘的半径为L，可认为圆盘由无数根辐条构成，则每根辐条切割磁感线产生的感应电动势E＝BL2ω，整个回路中的电源为无数个电动势为E的电源并联而成，电源总内阻为零，故回路中电流I＝＝，由此可见A正确；R上的热功率P＝I2R＝，由此可见，ω变为原来的2倍时，P变为原来的4倍，故D错误；由右手定则可判知B正确；电流方向与导体切割磁感线的方向有关，而与切割的速度大小无关，故C错误。
8．(2019·江苏高考)如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈，线圈平面与磁场垂直。已知线圈的面积S＝0.3 m2、电阻R＝0.6 Ω，磁场的磁感应强度B＝0.2 T。现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt＝0.5 s时间内合到一起。求线圈在上述过程中
(1)感应电动势的平均值E；
(2)感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
(3)通过导线横截面的电荷量q。
答案 (1)0.12 V (2)0.2 A 电流方向见解析图 (3)0.1 C
解析 (1)感应电动势的平均值E＝
磁通量的变化量ΔΦ＝BΔS
解得E＝
代入数据得E＝0.12 V。
(2)平均感应电流I＝
代入数据得I＝0.2 A(电流方向如图)。
(3)通过导线横截面的电荷量
q＝IΔt
代入数据得q＝0.1 C。
9．(2017·江苏高考)如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：
(1)MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；
(2)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
(3)PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)MN刚扫过金属杆时，金属杆的感应电动势
E＝Bdv0①
回路的感应电流I＝②
由①②式解得I＝③
(2)金属杆所受的安培力F＝BId④
由牛顿第二定律得，对金属杆F＝ma⑤
由③④⑤式得a＝⑥
(3)金属杆切割磁感线的相对速度v′＝v0－v⑦
感应电动势E′＝Bdv′⑧
感应电流的电功率P＝⑨
由⑦⑧⑨式得P＝。
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