2021高考物理沪科版新课程一轮复习关键能力·题型突破9.2　磁场对运动电荷的作用

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关键能力·题型突破
考点一　对洛伦兹力的理解

1.如图中曲线a、b、c、d为气泡室中某放射物发生衰变放出的部分粒子的径迹，气泡室中磁感应强度方向垂直于纸面向里。以下判断可能正确的是 (　　)

A.a、b为β粒子的径迹　　　 B.a、b为γ粒子的径迹
C.c、d为α粒子的径迹 D.c、d为β粒子的径迹
【解析】选D。由于α粒子带正电，β粒子带负电，γ粒子不带电，据左手定则可判断a、b可能为α粒子的径迹，c、d可能为β粒子的径迹，选项D正确。
2.目前，我国柔性直流输电技术世界领先。上海南汇风电场柔性直流输电工程，输送容量为2×104 kW，直流电压等级±30 kV。设某段输电线路的两导线在同一竖直平面内，若宇宙射线中的质子、电子以速率v0到达输电线所在处，不考虑地磁场的影响和粒子速率的变化，质子的运动轨迹大致是图中的 (　　)

【解析】选B。上面导线电流向右，下面导线电流向左，根据右手定则可判断输电线间磁场方向垂直纸面向里，且靠近导线磁场增强，根据r=知粒子的轨道半径减小；两导线下方磁场垂直纸面向外，离导线越远，磁场越弱，质子轨道半径越大，不可能为圆周，由左手定则可判断质子轨迹偏转方向，故A、C、D错误；B正确。
3.(2020·佛山模拟)两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b,以不同的速率沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域,其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力,则下列说法正确的是 (　　)

A.a粒子带正电,b粒子带负电
B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C.b粒子的动能较大
D.b粒子在磁场中运动时间较长
【解析】选C。由左手定则可知,a粒子带负电,b粒子带正电,A错误;由qvB=m 得r=,故运动的轨迹半径越大,对应的速率越大,所以b粒子的速率较大,在磁场中所受洛伦兹力较大,B错误;由Ek=mv2可得b粒子的动能较大,C正确;由T=知两者的周期相同,b粒子运动的轨迹对应的圆心角小于a粒子运动的轨迹对应的圆心角,所以b粒子在磁场中运动时间较短,D错误。

1.洛伦兹力的特点：
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力一定不做功。
2.洛伦兹力与安培力的联系及区别：
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3.洛伦兹力与电场力的比较：
项目
洛伦兹力
电场力
性质
磁场对在其中运动的电荷的作用力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电场中的电荷一定受到电场力作用
大小
F=qvB(v⊥B)
F=qE
力方向与场
方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
项目
洛伦兹力
电场力
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时
场的情况
F为零，B不一定为零
F为零，E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向
【加固训练】
1.在同一匀强磁场中，α粒子He)和质子H)做匀速圆周运动，若它们的动量大小相等，则α粒子和质子 (　　)
A.运动半径之比是2∶1
B.运动周期之比是2∶1
C.运动速度大小之比是4∶1
D.受到的洛伦兹力之比是2∶1
【解析】选B。α粒子He)和质子H)的质量之比=，动量大小相等，即mαvα=mHvH，运动速度大小之比==，选项C错误；根据qvB=m，得r=，所以运动半径之比==，选项A错误；由T=知，运动周期之比=·=×=，选项B正确；根据F=qvB，洛伦兹力之比=·=×=，选项D错误。
2.如图所示，a为带正电的小物块，b是一不带电的绝缘物块(设a、b间无电荷转移)，a、b叠放于粗糙的水平地面上，地面上方有垂直于纸面向里的匀强磁场。现用水平恒力F拉b物块，使a、b一起无相对滑动地向左做加速运动，则在加速运动阶段 (　　)

A.a对b的压力不变
B.a对b的压力变大
C.a、b物块间的摩擦力变大
D.a、b物块间的摩擦力不变
【解析】选B。a、b整体受总重力、拉力F、向下的洛伦兹力qvB、地面的支持力FN和摩擦力Ff，竖直方向有FN=(ma+mb)g+qvB，水平方向有F-Ff=(ma+mb)a，Ff=μFN。在加速阶段，v增大，FN增大，Ff增大，加速度a减小。对a受力分析，a受重力mag、向下的洛伦兹力qvB、b对a向上的支持力FN′、b对a向左的静摩擦力Ff′，竖直方向：FN′=mag+qvB，水平方向：Ff′=maa。随着v的增大，FN′增大，选项A错误，B正确；加速度a减小，所以a、b物块间的摩擦力变小，选项C、D均错误。
考点二　带电粒子在匀强磁场中的运动
直线边界
【典例1】(多选)(2019·海南高考)如图，虚线MN的右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，两电荷量相同的粒子P、Q从磁场边界的M点先后射入磁场，在纸面内运动。射入磁场时，P的速度vP垂直于磁场边界，Q的速度vQ与磁场边界的夹角为45°。已知两粒子均从N点射出磁场，且在磁场中运动的时间相同，则 (　　)
世纪金榜导学号

A.P和Q的质量之比为1∶2
B.P和Q的质量之比为∶1
C.P和Q速度大小之比为∶1
D.P和Q速度大小之比为2∶1
【通型通法】
1.题型特征：带电粒子在单边界磁场中运动问题。
2.思维导引：
(1)模型构建：匀速圆周运动规律应用。
(2)解题方法：圆周运动向心力公式和几何关系解题。
【解析】选A、C。作出两粒子在磁场中的运动图象如图所示，可知其半径rP、rQ之比为1∶，因为两粒子在磁场中运动的时间相同，所以TP∶TQ=1∶2，根据qvB=得r===，则T==，==，选项A正确，B错误；==∶1，所以选项C正确，D错误。

平行边界
【典例2】(2018·江苏高考)如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场。当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场。取sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。 世纪金榜导学号

(1)求磁感应强度大小B。
(2)入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t。
(3)入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场(磁场不重叠)，可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt，求Δt的最大值。
【解析】(1)粒子圆周运动的半径r0=
由题意知r0=，解得B=
(2)设粒子在矩形磁场中的偏转角为α，半径为r，
由r=得r=5r0=d
由d=rsin α，得sin α=，即α=53°
在一个矩形磁场中的运动时间t1=×，
解得t1=
直线运动的时间t2=，解得t2=
则t=4t1+t2=
(3)将中间两磁场分别向中央移动距离x，
粒子向上的偏移量
y=2r(1-cos α)+xtan α
由y≤2d，解得x≤d
则当xm=d时，Δt有最大值
粒子做直线运动路程的最大值
sm=+(2d-2xm)=3d
增加路程的最大值Δsm=sm-2d=d
增加时间的最大值Δtm==
答案：(1)　(2)　(3)
【多维训练】(多选)如图所示，在区域Ⅰ和区域Ⅱ内分别存在与纸面垂直但方向相反的匀强磁场，区域Ⅱ内磁感应强度大小是区域Ⅰ内磁感应强度大小的2倍，一带正电粒子在区域Ⅰ左侧边界处以垂直边界的速度进入区域Ⅰ，发现粒子离开区域Ⅰ时速度方向改变了30°，然后进入区域Ⅱ，测得粒子在区域Ⅱ内的运动时间与区域Ⅰ内的运动时间相等，则下列说法正确的是 (　　)

A.粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中的速率之比为1∶1
B.粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中的角速度之比为2∶1
C.粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中的圆心角之比为1∶2
D.区域Ⅰ和区域Ⅱ的宽度之比为1∶1
【解析】选A、C、D。由于洛伦兹力对带电粒子不做功，故粒子在两磁场中的运动速率不变，故A正确；由洛伦兹力F=qBv=ma和a=v·ω可知，粒子运动的角速度之比为ω1∶ω2=B1∶B2=1∶2，则B错误；由于粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ内的运动时间相等，由t=可得t==，且B2=2B1，所以可得θ1∶θ2=1∶2，则C正确；由题意可知，粒子在区域Ⅰ中运动的圆心角为30°，则粒子在区域Ⅱ中运动的圆心角为60°，由R=可知粒子在区域Ⅰ中的运动半径是在区域Ⅱ中运动半径的2倍，设粒子在区域Ⅱ中的运动半径为r，作粒子运动的轨迹如图所示，则由图可知，区域Ⅰ的宽度d1=2rsin30°=r；区域Ⅱ的宽度d2=rsin30°+rcos(180°-60°-60°)=r，故D正确。

圆形边界
【典例3】如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力) 世纪金榜导学号(　　)

A. B. C. D.
【解析】选B。如图所示，粒子做圆周运动的圆心O2必在过入射点垂直于入射速度方向的直线EF上，由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60°，故圆弧ENM对应圆心角为60°，所以△EMO2为等边三角形。由于O1D=，所以
∠EO1D=60°，△O1ME为等边三角形，所以可得到粒子做圆周运动的半径EO2=O1E=R，由qvB=，得v=，B正确。

举一反三
1.在【典例3】中，带电粒子在圆柱形匀强磁场区域中的运行时间为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B。由T=，t=·T
可得：t=，故选项B正确。
2.在【典例3】中，若带电粒子对准圆心沿直径ab的方向射入磁场区域，粒子射出磁场与射入磁场时运动方向的夹角仍为60°，则粒子的速率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C。粒子进入磁场后做匀速圆周运动的轨迹如图所示，根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r=R，由qvB=m可得，v=。选项C正确。

3.在【典例3】中，若带电粒子速率不变，磁场方向改为垂直纸面向里，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】选D。磁场方向改为垂直纸面向里，粒子进入磁场后向左偏转，运动轨迹如图所示，△OAB和△OBC都是等边三角形，所以∠AOC=120°，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角也是120°。选项D正确。

其他边界
【典例4】(2019·全国卷Ⅱ)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为 (　　)
世纪金榜导学号

A.kBl，kBl B.kBl，kBl
C.kBl，kBl D.kBl，kBl
【通型通法】
1.题型特征：正方形区域的带电粒子在磁场中运动。
2.思维导引：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”。

【解析】选B。电子的运动轨迹如图所示，由牛顿第二定律得evB=m，得r=①，电子从a点射出，r=②，联立①②解得v1=kBl；电子从d点射出，由几何关系得l2+(r-)2=r2，解得r=l③，联立①③解得v2=kBl，故B正确，A、C、D错误。


1.有界磁场三种情况：
(1)直线边界。
粒子进出磁场具有对称性(如图所示)。

图a中粒子在磁场中运动的时间
t==
图b中粒子在磁场中运动的时间
t=T==
图c中粒子在磁场中运动的时间
t=T=
(2)平行边界(如图所示)。

图a中粒子在磁场中运动的时间t1=，t2==
图b中粒子在磁场中运动的时间t=
图c中粒子在磁场中运动的时间
t=(1-)T==
图d中粒子在磁场中运动的时间t=T=
(3)圆形边界。
沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)

粒子做圆周运动的半径r=
粒子在磁场中运动的时间
t=T=
2.带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动解题的一般步骤：

基本思路
图例
说明
圆心
的确
定
①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心

P、M点速度的垂线交点

P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点

某点的速度垂线与切点法线的交点
半径
的确
定
利用平面几何知识求半径

常用解三角形法。例：R=，或由R2=L2+(R-d)2求得R=
运动
时间
的确
定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t=T
②t=

(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ=2α；φ>180°时，φ=360°-2α
【加固训练】
　　如图所示，圆形区域内存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P点为磁场边界上的一点。相同的带正电荷粒子，以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向。这些粒子射出磁场区域的位置均处于磁场边界的位置的某一段弧上，这段圆弧的弧长是磁场边界圆周长的。若只将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为磁场边界圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则等于 (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】选B。当磁感应强度为B2时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，即∠POM=120°，如图所示，所以粒子
做圆周运动的半径r2=Rsin60°=，同理可知，r1=Rsin30°=，解得：=，故B正确。

考点三　带电粒子在匀强磁场中的运动的多解问题
带电性质不确定
【典例5】如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少？ 世纪金榜导学号

【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论。若带电粒子带正电荷，则轨迹是图中与NN′相切的圆弧，轨迹半径R=

又d=R-R·sin45°
解得v=
若带电粒子带负电荷，则轨迹是图中与NN′相切的圆弧，轨迹半径
R′=
又d=R′+R′sin45°
解得v′=
答案：(2+)(q为正电荷)或(2-)(q为负电荷)
磁场方向不确定
【典例6】(多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是 (　　)
世纪金榜导学号
A. B. C. D.
【解析】选A、C。依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv=m，得v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω==；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv=m，v=，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω==。故A、C正确。
临界状态不唯一
【典例7】匀强磁场区域由一个半径为R的半圆和一个长为2R、宽为的矩形组成，磁场的方向如图所示。一束质量为m、电荷量为+q的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以速度v从边界AN的中点P垂直于AN和磁场方向射入磁场中。 世纪金榜导学号

(1)当磁感应强度为多大时，粒子恰好从A点射出？
(2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？
【解析】(1)由左手定则判定，粒子向左偏转，只能从PA、AC和CD三段边界射出，如图所示。当粒子从A点射出时，运动半径r1=。

由qvB1=
得B1=。
(2)当粒子从C点射出时，由勾股定理得：
(R-r2)2+=，解得r2=R
由qvB2=，得B2=
据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断：当B>时，粒子从PA段射出；
当 当B<时，粒子从CD段射出。
答案：(1)　(2)见解析
题型　运动周期性、往复性
【典例】(2019·江苏高考)如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d
(1)求粒子运动速度的大小v；
(2)欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm；
(3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=，求粒子从P到Q的运动时间t。
【解析】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有：qvB=m，解得：R=
由题可得：R=d解得v=。
(2)如图所示，粒子碰撞薄板后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切，由几何关
系得dm=d(1+sin60°)

解得dm=d
(3)粒子的运动周期T=
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t′，则
t=n+t′(n=1，3，5，…)
A.当L=nd+(1-)d时，粒子斜向上射出磁场
t′=T，解得t=(+)
B.当L=nd+(1+)d时，粒子斜向下射出磁场
t′=T，解得t=(-)
答案： (1)　(2)d
(3)A.当L=nd+(1-)d(n=1，3，5…)时，t=(+)
B.当L=nd+(1+)d(n=1，3，5…)时，
t=(-)

带电粒子在磁场中运动的多解问题
多解分类
多解原因
示意图
带电粒
子电性
不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同

磁场方向
不确定
题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况

临界状态
不唯一
带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出

【加固训练】
(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷=k，则质子的速度可能为 (　　)

A.2BkL　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选B、D。因质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运行半径r=(n=1，2，3…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv=m，即v==Bk·(n=1，2，3…)，选项B、D正确。

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