2021高考物理（选择性考试）人教版一轮学案：4.4万有引力定律及其应用

第四节　万有引力定律及其应用

1．内容

2.应用

(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．

(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动等．

(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．

1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

解析：开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误．

答案：B

1．内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．

2．表达式

F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

4．天体运动问题分析

(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．

(2)基本公式：

G＝ma＝

2．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”在运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则(　　)

A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大

B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长

C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大

D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大

解析：航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G＝m＝mrω2＝mr＝ma，解得v＝，T＝，ω＝，a＝，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B正确．

答案：B

1．三个宇宙速度

2.第一宇宙速度

(1)意义：是人造地球卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．

(2)计算方法：由G＝m得v＝，或由mg＝m得v＝.

3．金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？

解析：根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg＝，

故＝·，

金星表面的自由落体加速度

g金＝g地×0.82× m/s2≈8.9 m/s2，

由万有引力充当向心力，知

＝，解得v＝，

所以＝＝≈0.93，

v金＝0.93×7.9 km/s≈7.3 km/s.

答案：8.9 m/s2　7.3 km/s

万有引力作用是宇宙中四种相互作用之一(另外三种分别是电磁相互作用强相互作用和弱相互作用)，万有引力是存在于宇宙中的任何两个物体之间，大到天体之间，小到核子之间，只是对微观粒子这种作用较弱，可以忽略不计．

考点一  开普勒三定律

(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．

(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．

(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．

　(多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)

A．从P到M所用的时间等于

B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大

C．从P到Q阶段，速率逐渐变小

D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

[思维点拨]　按开普勒第二定律，海王星在P点附近速度较大，可知时间较短．

解析：在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速率越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确．

答案：CD

开普勒第一定律解决了行星绕太阳运动的轨道问题；第二定律解决运行速率问题；第三定律解决周期问题．可推广到天体绕中心天体运动都遵循此规律．

考点二  万有引力定律

1．地球表面的重力与万有引力

地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．

(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；

(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；

(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.

2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力

物体在地球表面附近(脱离地面)绕地球转时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg＝，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，上式变形得GM＝gR2.

3．距地面一定高度处的重力与万有引力

物体在距地面一定高度h处绕地球转时，mg′＝，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度．

4．万有引力的“两个推论”

推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.

推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.

　(2019·沈阳一模)假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)

A．1－　　　　　　　　B．1＋

C.  D.

[思维点拨]　由于“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可将物体看成是在半径为R－d的天体的表面上，求出该中心天体的质量，利用重力近似等于万有引力求解．

解析：如图所示，根据题意“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可知地面与矿井底部之间的环形部分对放在矿井底部的物体的引力为零，设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，由地球表面的物体m1受到的重力近似等于万有引力，故m1g＝G，再将矿井底部所在的球体抽取出来，设矿井底部处的重力加速度为g′，该球体质量为M′，半径r＝R－d，同理可得矿井底部处的物体m2受到的重力m2g′＝G，且由M＝ρV＝ρπR3，M′＝ρV′＝ρπ(R－d)3，联立解得＝1－，A正确．

答案：A

万有引力定律公式适用条件

此公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离，一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．

考点三  天体质量和密度的估算

1.常用的天体质量和密度估算方法

2.估算中心天体的质量、密度时的两点区别

(1)天体半径和卫星的轨道半径．

通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．

(2)自转周期和公转周期．

自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．

　(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)

A．5×109 kg/m3　　　　　B．5×1012 kg/m3

C．5×1015 kg/m3  D．5×1018 kg/m3

[思维点拨]　先找出符合条件的中心天体的最大体积，然后求出中心天体的质量，进一步求出中心天体的最小密度．

解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用．以周期T稳定自转的星体，当星体的密度最小时，其表面物体受到的万有引力提供向心力，即＝mR，星体的密度ρ＝，得其密度ρ＝＝ kg/m3≈5×1015 kg/m3，故选项C正确．

答案：C

估算天体质量和密度的“四点注意”

1．利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量．

2．区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径．

3．天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等．

4．注意黄金代换式GM＝gR2的应用．

考点四  卫星的运行规律

1.卫星运行的四个关系

＝越高越慢

2．三类特殊位置的转动比较

　(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)

A．2∶1  B．4∶1

C．8∶1  D．16∶1

[思维点拨]　根据万有引力提供向心力得到周期的表达式，然后根据周期与半径的关系即可求解．

解析：卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝mR，则T＝，＝＝，选项C正确．

答案：C

1．卫星运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G＝m＝mrω2＝m＝man.

2．解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动关系的桥梁还是牛顿第二定律．

(1)卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．

(2)an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．

1.(多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆．设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则(　　)

A．T卫＜T月　　　 B．T卫＞T月

C．T卫＜T地     D．T卫＝T地

解析：设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r卫、r同和r月，因r月＞r同＞r卫，由开普勒第三定律＝k，可知T月＞T同＞T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月＞T地＞T卫，选项A、C正确．

答案：AC

2.如图所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点．下列说法中正确的是(　　)

A．卫星在A点的角速度大于B点的角速度

B．卫星在A点的加速度小于B点的加速度

C．卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加

D．卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大

解析：由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由ω＝知，卫星在A点的角速度小于B点的角速度，选项A错误；设卫星的质量为m，地球的质量为M，卫星的轨道半径为r，由万有引力定律得G＝ma，解得a＝，由此可知，r越大，加速度越小，故卫星在A点的加速度小于B点的加速度，选项B正确；卫星由A运动到B的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C错误；卫星由A运动到B的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D错误．

答案：B

3．(2019·惠州模拟)假设地球为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极处大小为g0、在赤道处大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为(　　)

A．2π  B．2π

C．2π  D．2π

答案：B

4.如图所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷．如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度(　　)

A．一直增大

B．一直减小

C．先增大后减小

D．先减小后增大

解析：设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·＝πGρmr，此处的重力加速度a＝＝πGρr，故选项D正确．

答案：D

5．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．某潜艇下潜深度为d，某近地卫星轨道距离地面高度为h，则此潜艇所在处与此近地卫星所在处的加速度之比为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等有g＝G.由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故潜艇的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，近地卫星的加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误．

答案：C

6．(2019·乐山一调)一卫星绕某行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：B

7．(2017·北京卷)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)

A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)

B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

解析：根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量；根据G＝及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量；根据G＝mr，可知已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量．故选D.

答案：D

8．(2019·济南模拟)热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为(　　)

A.3∶2  B．2∶3

C．4∶1  D．6∶1

解析：在星球表面附近，万有引力近似等于重力，即G＝mg，解得星球质量M＝.地球和月球的质量之比＝·＝，由密度公式ρ＝，体积公式V＝πR3，联立解得地球和月球的密度之比＝·＝.

答案：A

9．(2019·四川棠湖中学开学考)“墨子号”卫星的工作高度约为500 km，在轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运动周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G.则下列关于“墨子号”的说法正确的是(　　)

A．线速度大于第一宇宙速度

B．环绕周期为

C．质量为

D．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度

答案：B

10．(多选)(2019·烟台期末)我国计划到2020年左右，将完成35颗“北斗三号”卫星的组网，实现全球服务能力．“北斗三号”卫星导航系统空间段由5颗同步卫星和30颗非静止轨道卫星组成．以下关于地球同步卫星的说法正确的是(　　)

A．同步卫星绕地球运动的周期比月球绕地球运动的周期小

B．同步卫星可以从北半球上方通过

C．同步卫星绕地球运动的线速度比第一宇宙速度小

D．同步卫星绕地球运动的向心加速度大小大于地球表面的重力加速度大小

解析：根据万有引力提供向心力有G＝mr，可得T＝，即轨道半径越大，周期越长，月球和地球同步卫星都绕地球转动，月球的轨道半径更大，则周期较大，A正确；同步卫星只能位于地球赤道正上方，不能从北半球上方通过，B错误；由G＝m得v＝，即轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度近似等于近地卫星的线速度，而同步卫星的轨道半径比近地卫星的轨道半径大，则其线速度比第一宇宙速度小，C正确；由G＝ma得a＝，同步卫星的轨道半径比地球的半径大，故其向心加速度大小小于地球表面的重力加速度大小，D项错误．

答案：AC