2021高考物理（选择性考试）人教版一轮学案：5.3机械能守恒定律及其应用


第三节　机械能守恒定律及其应用


1.重力势能
（1）定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积.
（2）表达式：Ep＝mgh.
（3）矢标性：重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面大还是小.
（4）重力势能的特点.
①系统性：重力势能是物体和地球所共有的.
②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关.
2.重力做功的特点
（1）重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关.
（2）重力做功不引起物体机械能的变化.
3.重力做功与重力势能变化的关系
（1）定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大.
（2）定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－（Ep2－Ep1）＝Ep1－Ep2.
（3）重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关.

1.关于重力势能，下列说法中正确的是（　　）
A.物体的位置一旦确定.它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案：D

1.弹性势能
（1）定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫作弹性势能.
（2）弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关.
（3）矢标性：标量.
（4）一般选弹簧形变为零的状态为弹性势能零点.
2.弹力做功与弹性势能变化的关系
（1）弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp.
（2）对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大.

2.（多选）关于弹性势能，下列说法中正确的是（　　）
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
答案：AB

1.内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变.
2.机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功.
3.对守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒.
（2）受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功.例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒.
4.机械能守恒的三种表达式

表达角度
表达公式
表达意义
守恒观点
Ek＋Ep＝E′k＋E′p
系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
转化观点
ΔEk＝－ΔEp
表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的势能等于系统增加（或减少）的动能
转移观点
ΔE增＝ΔE减
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等

3.（多选）如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上.若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A.重力对物体做的功为mgh
B.物体在海平面上的势能为mgh
C.物体在海平面上的动能为mv－mgh
D.物体在海平面上的机械能为mv
答案：AD

机械能守恒定律是能量守恒定律在机械运动中的表现形式，揭示出机械能转化的规律，一定要正确理解机械能守恒的条件.


考点一 机械能守恒的判断
1.对机械能守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒.
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零.
（3）除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少.
2.机械能是否守恒的三种判断方法
（1）利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒.
（2）利用守恒条件判断.
（3）利用能量转化判断：若系统与外界没有能量交换，系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒.
　如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ＜45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长.现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是（　　）

A.小球的动能与重力势能之和保持不变
B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变
D.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
[思维点拨]　判断是否守恒，首先要明确研究对象，是选的小球与地球组成的系统，还是小球、弹簧和地球组成的系统；然后根据守恒条件进行判断.
解析：小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒.弹簧原长时弹性势能为零，小球从C到最低点过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错误，B项正确；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错误；小球的初、末动能均为零，所以上述过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错误.
答案：B

对机械能守恒观念的认识应把握以下几点：
1.机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”.
2.对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.
3.对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断.严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功（表明系统与外界之间无能量交换），系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功（表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换），则系统的机械能守恒.


考点二 单个物体的机械能守恒问题
1.表达式

2.一般步骤

3.选用技巧
（1）在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面.
（2）在处理连接体问题时.通常应用转化观点和转移观点，都不用选取零势能面.
　如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接.AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动.
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点.
[思维点拨]　审题后要明确临界点和物理过程：第一，由“当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零”可知初始具有的机械能；第二，从P到达B点时的过程可应用动能定理列方程求解；第三，从B到D的过程机械能守恒；弄清两个关键点：一是B点，一是竖直平面圆周运动的最高点D.
解析：（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg，①
设小球在B点的动能为EkB，
同理有EkB＝mg，②
由①②式得＝5.③
（2）若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0.④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m，⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m.⑥
由机械能守恒定律得mg＝mv，⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点.
答案：（1）5∶1　（2）能沿轨道运动到C点，理由见解析

在涉及圆周运动和抛体运动的多运动过程中，应用机械能守恒定律进行科学推理时应做好以下三点：
1.临界点分析：对于物体在临界点相关的多个物理量，需要区分哪些物理量能够突变，哪些物理量不能突变，而不能突变的物理量（一般指线速度）往往是解决问题的突破口.
2.运动过程分析：对于物体参与的多个运动过程，要仔细分析每个运动过程做何种运动.若为圆周运动，应明确是水平面的匀速圆周运动，还是竖直平面的变速圆周运动，机械能是否守恒；若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度方向的力是哪个力.
3.明确用机械能守恒定律解题的基本思路.


考点三 多个物体的机械能守恒
1.多物体机械能守恒问题常见模型
模型一　速率相等的连接体模型
（1）如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等的时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等.

（2）从能量转化的角度判断系统的机械能是否守恒，即如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒.这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用.
模型二　角速度相等的连接体模型
（1）如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等.

（2）系统机械能守恒的特点.
①一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移.
②内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零.
2.多物体机械能守恒问题注意事项
（1）对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒.
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp，或ΔEA增＝ΔEB减的形式.
　（多选）如图所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为R的半球形碗，碗口直径AB水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑，右侧是一个足够长的固定光滑斜面.一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及竖直固定的轻质光滑定滑轮，细绳两端分别系有可视为质点的小球m1和物块m2，且m1＞m2.开始时m1恰在A点，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接m1、m2的细绳与斜面平行且恰好伸直，C点是圆心O的正下方.当m1由静止释放开始运动，则下列说法正确的是（　　）

A.在m1从A点运动到C点的过程中，m1与m2组成的系统机械能守恒
B.当m1运动到C点时，m1的速率是m2速率的
C.m1不可能沿碗面上升到B点
D.m2沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定
[思维点拨]　在m1从A点运动到C点的过程中，m1与m2组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒.将m1到达最低点C时的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于m2的速度，根据平行四边形定则求出两个速度的关系.对系统，运用机械能守恒定律，m1沿碗面上升的最大高度.分析斜面的受力情况，由平衡条件判断地面对斜面的支持力如何变化.
解析：在m1从A点运动到C点的过程中，m1与m2组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确.设小球m1到达最低点C时m1、m2的速度大小分别为v1、v2，由运动的合成分解得v1cos 45°＝v2，则＝，故B错误.在m1从A点运动到C点的过程中，对m1、m2组成的系统由机械能守恒定律，得
m1gR－m2g·R＝m1v＋m2v，
结合＝，解得v1＜.
若m1运动到C点时绳断开，至少需要有的速度m1才能沿碗面上升到B点，现由于m1上升的过程中绳子对它做负功，所以m1不可能沿碗面上升到B点，故C正确.m2沿斜面上滑过程中，m2对斜面的压力是一定的，斜面的受力情况不变，由平衡条件可知地面对斜面的支持力始终保持恒定，故D正确.
答案：ACD


对机械能守恒定律三种表达形式的理解

角度
公式
意义
注意事项
守恒观点
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
初、末状态必须用同一零势能面计算势能
转化观点
ΔEk＝－ΔEp
系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移观点
ΔEA增＝ΔEB减
若系统由A、B两物体组成，则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题


考点四 含弹簧类机械能守恒问题
（1）由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.
（2）在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大.
（3）如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧由静止释放）.
（4）一般步骤.
①选取研究对象
②分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械能守恒条件.
③确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况.
④选择合适的表达式列出方程，进行求解.
⑤对计算结果进行必要的讨论和说明.
（5）注意事项.
①列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同.
②应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同.
　如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上.一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球在位置C由静止释放，小球达到是低点D时，细绳刚好被拉断.之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm.（g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）求：
（1）细绳受到的拉力的最大值；
（2）D点到水平线AB的高度h；
（3）弹簧所获得的最大弹性势能Ep.
[思维点拨]　（1）小球由C→D过程中，受哪些力，哪些力不做功？
（2）小球恰好沿斜面方向压缩弹簧，小球的速度方向向哪？（3）弹簧获得最大弹性势能时，小球的速度是多少？
解析：（1）小球由C到D，由机械能守恒定律得：
mgL＝mv，
解得v1＝.①
在D点，由牛顿第二定律，得
F－mg＝m，②
由①②解得F＝30 N.
由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N.
（2）由D到A，小球做平抛运动，得
v＝2gh，③
tan 53°＝，④
联立解得h＝16 cm.
（3）小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Ep＝mg（L＋h＋xsin 53°），代入数据得：Ep＝2.9 J.
答案：（1）30 N　（2）16 cm　（3）2.9 J

弹簧类问题的突破要点
1.弹簧的弹力大小由形变大小决定，解题时一般应从弹簧的形变分析入手，确定原长位置、现长位置、平衡位置等，再结合其他力的情况分析物体的运动状态.
2.因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬间变化时可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.
3.在求弹簧的弹力做功或弹簧的弹性势能时，通常可以根据系统的机械能守恒或功能关系进行分析.



1.（多选）如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道与光滑水平面相切，质量均为m的小球A、B与轻杆连接，置于圆轨道上，A与圆心O等高，B位于O的正下方，它们由静止释放，最终在水平面上运动.下列说法正确的是（　　）

A.下滑过程中A的机械能守恒
B.当A滑到圆轨道最低点时，轨道对A的支持力大小为2mg
C.下滑过程中重力对A做功的功率一直增加
D.整个过程中轻杆对B做的功为mgR
答案：BD
2.（2018·天津卷）滑雪运动深受人民群众喜爱.某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中（　　）
A.所受合外力始终为零
B.所受摩擦力大小不变
C.合外力做功一定为零
D.机械能始终保持不变
解析：运动员从A点滑到B点的过程中速率不变，则运动员做匀速圆周运动.运动员做匀速圆周运动，合外力指向圆心，A错误；如图所示，运动员受到的沿圆弧切线方向的合力为零，即Ff＝mgsin α，下滑过程中α减小，sin α变小，故摩擦力Ff变小，B错误；由动能定理知，匀速下滑动能不变，合外力做功为零，C正确；运动员下滑过程中动能不变，重力势能减小，机械能减小，D错误.
答案：C
3.（多选）如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能守恒的是（　　）
A.子弹射入物块B的过程
B.物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程
C.弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D.带着子弹的物块B因惯性继续向右运动的过程
解析：子弹射入物块B的过程中，子弹和物块B组成的系统，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功.一部分机械能转化成内能，所以机械能不守恒.在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B、弹簧和子弹组成的系统，虽然墙壁给A一个推力作用，系统的外力之和不为零，但该力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒.同理，到弹簧恢复原长，机械能也守恒.弹簧恢复原长后，整个系统向右运动，物块和弹簧组成的系统中只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，选项B、C、D正确.
答案：BCD
4.（2019·江西南昌模拟）如图所示，光滑轨道由AB，BCDE两段细圆管平滑连接组成，其中AB段水平，BCDE段为半径为R的四分之三圆弧，圆心O及D点与AB等高，整个轨道固定在竖直平面内，现有一质量为m，初速度v0＝的光滑小球水平进入圆管AB，设小球经过轨道交接处无能量损失，圆管孔径远小于R，则（小球直径略小于管内径）（　　）

A.小球到达C点时的速度大小vC＝
B.小球能通过E点且抛出后恰好落至B点
C.无论小球的初速度v0为多少，小球到达E点时的速度都不能为零
D.若将DE轨道拆除，则小球能上升的最大高度与D点相距2R
解析：对小球从A点至C点过程，根据机械能守恒定律有mv＋mgR＝mv，解得vC＝，选项A错误；对小球从A点至E点的过程，由机械能守恒定律有mv＝mv＋mgR，解得vE＝，小球从E点抛出后，做平抛运动，有x＝vEt，R＝gt2，解得x＝R，则小球恰好落至B点，选项B正确；因为内管壁可提供支持力，所以小球到达E点时的速度可以为零，选项C错误；若将DE轨道拆除，设小球能上升的最大高度为h，则有mv＝mgh，而vD＝v0，解得h＝R，选项D错误.
答案：B
5.（多选）如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上.a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动.不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则（　　）
A.a落地前，轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
解析：由题意知，系统机械能守恒.设某时刻a、b的速度分别为va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图.因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v是相等的，即vacos θ＝vbsin θ.当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mv，解得va＝，选项B正确.同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误.杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误.b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确.正确选项为B、D.

答案：BD
6.如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧.当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为（g取10 m/s2）（　　）
A.10 J　　　　　　　　　　B.15 J
C.20 J D.25 J
解析：由h＝gt2，tan 60°＝，可得v0＝ m/s.小球被弹射过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，则Ep＝mv＝10 J，故A正确.
答案：A
7.如图所示，A的质量为M，B和C的质量都是m，有m＜M＜2m，用劲度系数为k的轻弹簧连接A与地面，A与B，B与C用不可伸长的细绳通过光滑定滑轮相连，C距离地面足够高，A、B物块距定滑轮足够远，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　）
A.剪断B与C之间的细绳，B的机械能先减少后增加
B.若剪断B与C之间的细绳，A的动能不断增加
C.若剪断轻弹簧，B与C的机械能减少量等于A的动能增加量
D.若剪断轻弹簧，A、B、C系统的重力势能减少量等于系统动能增加量
解析：若剪断B与C之间的细绳，开始一段时间内B加速上升，故B的机械能先增加，A项错误；若剪断B与C之间的细绳，当A、B的加速度为零时，A的动能最大，再压缩弹簧，A的动能又随之减小，B项错误；若剪断轻弹簧A、B、C组成的系统机械能守恒，故B与C的机械能减少量等于A的机械能增加量，系统的重力势能减少量等于系统动能增加量，C项错误，D项正确.
答案：D
8.如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C、D为圆轨道的最低点和最高点），已知∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出小滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，g取10 m/s2.

（1）求滑块的质量和圆轨道的半径；
（2）是否存在某个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点？若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由.
解析：（1）设小滑块的质量为m，圆轨道的半径为R.
根据机械能守恒定律，得
mg（H－2R）＝mv，F＋mg＝，
联立解得：F＝－mg.
取点（0.50 m，0）和（1.00 m，5.0 N）代入上式，得：
m＝0.1 kg，R＝0.2 m.
（2）假设小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点（如图所示）.

由几何关系，可得
OE＝.
设小滑块经过最高点D时的速度为v′D.
由题意可知，小滑块从D运动到E，水平方向的位移为OE，竖直方向上的位移为R，
则OE＝v′Dt，R＝gt2，
解得v′D＝2 m/s，
而小滑块过D点的临界速度vD0＝＝ m/s.
由于v′D＞vD0，所以存在一个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点，则
mg（H－2R）＝mv′，
解得H＝0.6 m.
答案：（1）0.1 kg　0.2 m　（2）存在　0.6 m
9.（2019·山东潍坊模拟）如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，AB＝2 m，滑块可视为质点，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

（1）滑块在斜面上运动的时间；
（2）若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速释放，释放点至少应距A点多远.
解析：（1）滑块到达A点时的速度vA，从A到C机械能守恒：
mv＝mgRcos 37°，
从B到A过程匀加速运动：v＝2axAB，
vA＝at，
解得t＝1 s.
（2）能从D点抛出速度最小为vD，则mg＝m，
从A到D由机械能守恒得：
mv′＝mgR（1＋cos 37°）＋mv，v′＝2ax′，
解得x′＝5.75 m.
答案：（1）1 s　（2）5.75 m
10.半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和m的小球A和B.A、B之间用一长为R的轻杆相连，如图所示.开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：（重力加速度为g）

（1）B球到达最低点时的速度大小；
（2）B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功；
（3）B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置.
解析：（1）释放后B到达最低点的过程中A、B和杆组成的系统机械能守恒，mAgR＋mBgR＝mAv＋mBv，又OA与OB相互垂直，AB杆长l＝R，故OA、OB与杆间夹角均为45°，可得vA＝vB，
解得vB＝.
（2）对小球A应用动能定理，可得
W杆A＋mAgR＝mAv，
又vA＝vB，
解得杆对A球做功W杆A＝0.
（3）设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为θ，取圆环的圆心O所在水平面为零势能面，由系统机械能守恒，可得
mAgR＝mBgRcos θ－mAgRsin θ，
代入数据可得θ＝30°.
所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度hB＝Rcos θ＝R.
答案：（1）　（2）0　（3）高于O点R处
11.（2018·宁夏银川模拟）如图所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆.质量为ma＝1 kg的小球a套在半圆环上，质量为mb＝0.36 kg的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m的轻杆通过两铰链连接.现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a，b均视为质点，重力加速度g取10 m/s2.求：

（1）小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
（2）小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功.
解析：（1）当a滑到与O同高度的P点时，a的速度v沿圆环切向向下，b的速度为零，
根据机械能守恒定律，可得magR＝mav2，
解得v＝.
对小球a，根据牛顿第二定律，
可得F＝＝2mag＝20 N.
（2）杆与圆环相切时，此时a的速度沿杆方向，设此时b的速度为vb，将vb分解，如图所示，则知va＝vbcos θ，
由几何关系，可得cos θ＝＝0.8，
从P到Q球a下降的高度h＝Rcos θ，
由于a，b及杆组成的系统机械能守恒，则有
magh＝mav＋mbv－mav2，
对滑块b，由动能定理，得W＝mbv＝1.944 J.
答案：（1）20 N　（2）1.944 J
12.轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接.AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示.物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动.重力加速度大小为g.

（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围.
解析：（1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能.由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl.①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝Mv＋μMg·4l，②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据，得
vB＝.③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0，④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律，得
mv＝mv＋mg·2l，⑤
联立③⑤式，得
vD＝.⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出.设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式，得
2l＝gt2，⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt，⑧
联立⑥⑦⑧式，得
s＝2l.⑨
（2）为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零.由①②式，可知
5mgl>μMg·4l，⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律，有
Mv≤Mgl，⑪
联立①②⑩⑪式，得
m≤M 答案：（1）　2l　（2）m≤M