2021高考物理（选择性考试）人教版一轮学案：5.4功能关系　能量守恒定律

第四节　功能关系　能量守恒定律

（1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化.

（2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现.

（3）常见的功能关系.

1.升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s，则此过程中（g取10 m/s2，不计空气阻力）（　　）

A.升降机对物体做功5 800 J

B.合外力对物体做功5 800 J

C.物体的重力势能增加500 J

D.物体的机械能增加800 J 

答案：A

2.如图所示，一个质量为m的铁块沿半径为R的固定半圆轨道上边缘由静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的1.5倍，则此过程中铁块损失的机械能为（　　）

A.mgR　　　　　　　　B.mgR

C.mgR  D.mgR

答案：D

1.内容

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变.

2.表达式

ΔE减＝ΔE增.

3.对定律的理解

（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；

（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等.

3.

质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，

如图所示.已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为（　　）

A.mv－μmg（s＋x）  B.mv－μmgx

C.μmgs  D.μmg（s＋x）

解析：根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为Wf＝μmg（s＋x），由能量守恒定律可得mv＝W弹＋Wf，W弹＝mv－μmg（s＋x），故选项A正确.

答案：A

能量守恒定律是自然界的客观规律，一种形式能的减少一定伴随其它形式能的增加，但总的能量守恒.

考点一  对功能关系的理解和应用

1.对功能关系的理解

（1）做功的过程是能量转化的过程.不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的.

（2）功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现为不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等.

2.功能关系应用的思路

（1）只涉及动能的变化用动能定理分析.

（2）只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析.

（3）只涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析.

　（多选）如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连.现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点.已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<.在小球从M点运动到N点的过程中（　　）

A.弹力对小球先做正功后做负功

B.小球的机械能一直增加

C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零

D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点间的重力势能差

[思维点拨]　本题中小球初末状态时弹簧的弹力大小相等，且∠ONM＜∠OMN＜，M处的弹簧处于压缩状态，N处的弹簧处于伸长状态；竖直方向的受力情况.

解析：弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等，为分析D项提供了“该过程中弹簧的弹力做功为零”这一条件.小球在从M点运动到N点的过程中，弹簧的压缩量先增大，后减小，到某一位置时，弹簧处于原长，再继续向下运动到N点的过程中，弹簧又伸长.弹簧的弹力方向与小球速度的方向的夹角先大于90°，再小于90°，最后又大于90°，因此弹力先做负功，再做正功，最后又做负功，A项错误；弹簧对小球先做负功，再做正功，最后又做负功，所以小球的机械能先减小后增加，然后再减小，B错误；弹簧长度最短时，弹力与小球的速度方向垂直，这时弹力对小球做功的功率为零，C项正确；由于在M、N两点处，弹簧的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，根据动能定理可知，小球从M点到N点的过程中，弹簧的弹力做功为零，重力做功等于动能的增量，即小球到达N点时的动能等于其在M、N两点间的重力势能差，D项正确.

答案：CD

涉及做功与能量转化问题的解题方法

1.分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根据功能之间的对应关系，判断能的转化形式，确定能量之间的转化情况.

2.对于涉及弹簧相关的功能关系要把握两点：

（1）弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关，对同一根弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只要形变量相同，则其储存的弹性势能就相同.

（2）弹性势能公式Ep＝kx2在高考中不作要求，可记住该式做定性分析；与弹簧相关的功能问题一般利用动能定理或能量守恒定律求解.

考点二  摩擦力做功与能量转化

1.静摩擦力做功

（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.

（2）相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零.

（3）静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能.

2.滑动摩擦力做功的特点

（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功.

（2）相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：

①机械能全部转化为内能；

②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能.

（3）摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对.其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程.

从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量.

3.求解相对滑动物体的能量问题的方法

（1）正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析.

（2）利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系.

（3）公式Q＝Ff·l相对中l相对为两接触物体间的相对位移.

　如图所示，AB为半径R＝0.8 m的光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接.小车质量m0＝3 kg，车长l＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m.现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车.已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运动了1.5 s时，车被地面装置锁定.（g取10 m/s2）试求：

（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；

（2）车被锁定时，车右端距轨道B点的距离；

（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小.

[思维点拨]　（1）滑块从A点到B点的运动为圆周运动.B点为圆轨道的最低点，重力和支持力的合力提供向心力.

（2）滑块在小车上的运动，属于滑块—木板模型.滑块和小车所受摩擦力及运动示意图如图所示.

解析：（1）由机械能守恒定律和牛顿第二定律，得

mgR＝mv，FNB－mg＝m，

则FNB＝30 N.

（2）设m滑上小车后经过时间t1与小车同速，共同速度大小为v.

对滑块有：μmg＝ma1，v＝vB－a1t1，

对于小车：μmg＝Ma2，v＝a2t1，

解得：v＝1 m/s，t1＝1 s.

因t1＜t0，故滑块与小车同速后，小车继续向左匀速行驶了0.5 s，则小车右端距B端的距离为l车＝t1＋v（t0－t1），

解得l车＝1 m.

（3）Q＝μmgl相对＝μmg（t1－t1），

解得Q＝6 J.

答案：（1）30 N　（2）1 m　（3）6 J

考点三  能量守恒及转化问题的理解与应用

1.对能量守恒定律的理解

（1）转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等.

（2）转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量相等.

2.运用能量守恒定律解题的基本思路

　如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m.当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，到达的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m.挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：

（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ.

（2）弹簧的最大弹性势能Epm.

[思维点拨]　（1）物体到达C点时，原来在A点的动能和重力势能转化成了何种能量？

（2）物体由A到C的整个过程中，能量是如何转化的？

解析：（1）物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为

ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37°，①

物体克服摩擦力产生的热量为Q＝Ffx，②

其中x为物体的路程，即x＝5.4 m，③

Ff＝μmgcos 37°，④

由能量守恒定律可得ΔE＝Q，⑤

由①②③④⑤式解得μ＝0.52.

（2）由A到C的过程中，动能减少量

ΔE′k＝mv，⑥

重力势能减少ΔE′p＝mglACsin 37°，⑦

摩擦生热Q＝FflAC＝μmgcos 37°lAC，⑧

由能量守恒定律，得弹簧的最大弹性势能为

ΔEpm＝ΔE′k＋ΔE′p－Q，⑨

联立⑥⑦⑧⑨，解得ΔEpm＝24.5 J.

答案：（1）0.52　（2）24.5 J

用能量转化观点解决问题的基本解题思路：

1.当涉及摩擦力做功、机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律.

2.解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解.

1.（多选）（2019·湖北鄂州第三次模拟）如图所示，一辆货车用轻绳通过光滑轻质定滑轮提升一箱货物，货箱质量为M，货物质量为m.货车由静止开始向左先做加速运动，再以速度v做匀速运动，最后减速运动直到静止，在货车的牵引下，将货物提升高度h.重力加速度为g，则（　　）

A.整个过程中，货物的机械能先增加后减少

B.货车匀速运动过程中，货物与货箱的总重力做功的瞬时功率一直增大

C.货车匀速运动时，货物对货箱底部的压力始终等于mg

D.整个过程中，绳的拉力做的功为（M＋m）gh

答案：BD

2.（多选）（2019·内蒙古巴彦淖尔一中月考）如图所示，粗糙斜面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点.现将物块拉到A点后由静止释放，物块运动到最低点B，图中B点未画出.下列说法正确的是（　　）

A.B点一定在O点左下方

B.速度最大时，物块的位置可能在O点左下方

C.从A到B的过程中，物块和弹簧的总机械能一定减小

D.从A到B的过程中，物块减小的机械能一定等于它克服摩擦力做的功

解析：弹簧处于自然长度时物块处于O点，所以在O点弹簧弹力为零，物体从A向B运动过程，受重力、支持力、弹簧的拉力和滑动摩擦力，由于不知道滑动摩擦力的具体大小，所以无法判断B点在O点的上方还是下方，故选项A错误；重力沿斜面向下的分力可能大于、等于、小于摩擦力，若mgsin θ＜f，只有当弹力和重力沿斜面的分力等于摩擦力时，速度最大，此时弹簧处于伸长状态，所以速度最大时物块的位置在O点上方，同理，若mgsin θ＞f，速度最大时物块的位置在O点下方，故选项B正确；从A到B的过程中，滑动摩擦力一直做负功，故物块和弹簧组成的系统机械能减小，故选项C正确；从A到B的过程中，物块减小的机械能等于克服弹力和摩擦力做的功之和，则物块减小的机械能大于它克服摩擦力做的功，故选项D错误.

答案：BC

3.（多选）（2019·衡水模拟）如图甲所示，物体以一定初速度从倾角α＝37°的斜面底端沿斜面向上运动，上升的最大高度为3.0 m，选择斜面底端为参考平面，上升过程中，物体的机械能E随高度h的变化如图乙所示，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是（　　）

A.物体的质量m＝1 kg

B.物体可能静止在斜面顶端

C.物体回到斜面底端时的动能Ek＝10 J

D.物体上升过程的加速度大小a＝15 m/s2

解析：物体在最高点时的机械能等于重力势能，即mgh＝30 J，解得m＝1 kg，故A正确；物体上升到最高点的过程中，机械能减少20 J，即克服摩擦力做功等于20 J，有fs＝ΔE，即fs＝20 J，而s＝＝ m＝5 m，则摩擦力f＝4 N，因为mgsin 37°＞f，知物体不能静止在斜面的顶端，故B错误；上升过程克服摩擦力做功为20 J，则整个过程克服摩擦力做功为40 J，根据动能定理得Ek－Ek0＝2Wf，解得回到斜面底端的动能Ek＝Ek0＋2Wf＝50 J＋2×（－20）J＝10 J，故C正确；根据牛顿第二定律得mgsin α＋f＝ma，上升过程中的加速度大小a＝10 m/s2，故D错误.

答案：AC

4.（多选）如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v匀速运动.现将质量为m的某物块无初速地放在传送带的左端，经过时间t物块保持与传送带相对静止.设物块与传送带间的动摩擦因数为μ，对于这一过程，下列说法正确的是（　　）

A.摩擦力对物块做的功为mv2

B.传送带克服摩擦力做的功为mv2

C.系统摩擦生热为mv2

D.电动机多做的功为mv2

解析：设物块与传送带之间的滑动摩擦大小为Ff，在时间t内，物块的位移大小为x1，则x1＝vt，传送带的位移x2＝vt＝2x1，对物块，由动能定理得Wf＝Ffx1＝mv2，选项A正确；传送带克服摩擦力做的功为Wf′＝Ffx2＝2Ffx1＝mv2，选项B错误；系统摩擦生热为Q＝Ffx相对＝Ff（x2－x1）＝Ffx1＝mv2，选项C正确；电动机多做的功应为传送带克服摩擦力做的功，即为mv2，选项D正确.

答案：ACD

5.（多选）（2018·河北衡水中学四调）如图所示，光滑水平面上放着足够长的木板B，木板B上放着木块A，A、B间的接触面粗糙，现在用一水平拉力F作用在A上，使其由静止开始运动，则下列说法正确的是（　　）

A.拉力F做的功等于A、B系统动能的增加量

B.拉力F做的功大于A、B系统动能的增加量

C.拉力F和B对A做的功之和小于A的动能的增加量

D.A对B做的功等于B的动能的增加量

解析：对整体分析，可知F做功转化为两个物体的动能及系统的内能，故F做的功一定大于A、B系统动能的增加量，故A错误，B正确；由动能定理可知，拉力F和B对A做的功之和等于A的动能的增加量，A对B做的功等于B的动能的增加量，选项C错误，D正确.

答案：BD

6.（多选）（2019·湖北宜昌调研）如图所示，一倾角为45°的足够长的斜面固定在水平面上，其底端有一垂直斜面的挡板P，质量为0.8 kg的滑块从距离水平面高度为1 m处以一定的初速度沿斜面向下运动，若每次滑块与挡板P相碰无机械能损失，取水平面重力势能为0，第1次碰后滑块沿斜面上滑的最大重力势能为6.4 J.已知滑块与斜面的动摩擦因数为0.25，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　）

A.滑块最终静止在斜面上某一高度处

B.滑块的初动能为2 J

C.第1次碰后滑块的动能为8 J

D.滑块运动的全过程中机械能损失1.6 J

答案：BC

7.（2018·河北唐山一模）如图所示，半圆形轨道MON竖直放置且固定在地面上，直径MN水平.一小物块从M点正上方高度为H处自由下落，正好在M点滑入半圆轨道，测得其第一次离开N点后上升的最大高度为.小物块接着下落，从N点滑入半圆轨道，在向M点滑行过程中（整个过程不计空气阻力）（　　）

A.小物块正好能到达M点

B.小物块一定到不了M点

C.小物块一定能冲出M点

D.不能确定小物块能否冲出M点

解析：物块从释放到第一次经过半圆轨道运动的过程，由能量守恒定律可得mg＝Wf（Wf为物块克服摩擦力做功大小），解得Wf＝mgH，则根据功能原理得知第一次物块在半圆轨道中滑动损失的机械能为mgH；由于第二次物块在半圆轨道中运动时，对应位置处速度变小，因此半圆轨道给物块的弹力变小，摩擦力变小，摩擦力做功小于mgH，机械能损失小于mgH，因此物块再次冲出M点时，能上升的高度大于零而小于H，故选项A、B、D错误，C正确.

 答案：C

8.（多选）（2019·四川泸州一诊）如图所示，一个质量为m的刚性圆环套在粗糙的竖直固定细杆上，圆环的直径略大于细杆的直径，圆环的两边与两个相同的轻质弹簧的一端相连，轻质弹簧的另一端连在和圆环同一高度的墙壁上的P、Q两点处，弹簧的劲度系数为k，起初圆环处于O点，弹簧处于原长状态且弹簧的原长为L.细杆上面的A、B两点到O点的距离都为L.将圆环拉至A点由静止释放，重力加速度为g，对于圆环从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　）

A.圆环通过O点的加速度小于g

B.圆环在O点的速度最大

C.圆环在A点时的加速度大小为g＋

D.圆环在B点的速度为2

解析：圆环通过O点时只受重力，加速度等于g，由于有加速度，速度继续增加，A、B项错误；圆环在A点时，根据牛顿第二定律mg＋k（L－L）·＝ma，得a＝g＋，C正确；从A到B过程中，由于弹性势能始末状态相等，根据能量守恒定律，则有2mgL＝mv2，所以v＝2，D正确.

答案：CD

9.一质量m＝0.6 kg的物体以v0＝20 m/s的初速度从倾角α＝30°的斜坡底端沿斜坡向上运动.当物体向上滑到某一位置时，其动能减少了ΔEk＝18 J，机械能减少了ΔE＝3 J.不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：

（1）物体向上运动时加速度的大小；

（2）物体返回斜坡底端时的动能.

解析：（1）设物体在运动过程中所受的摩擦力大小为Ff，向上运动的加速度为a，由牛顿定律有a＝，①

设物体动能减少ΔEk时，在斜坡上运动的距离为s，由动能关系得ΔEk＝（mgsin α＋Ff）s，②

ΔE＝Ffs，③

联立①②③式并代入数据得a＝6 m/s2.④

（2）设物体沿斜坡向上运动的最大距离为sm，

由运动学规律可得sm＝，⑤

设物体返回底端时的动能为Ek，由动能定理，有

Ek＝（mgsin α－Ff）sm，⑥

联立①④⑤⑥式并代入数据得Ek＝80 J.

答案：（1）6 m/s2　（2）80 J